Quadriques Architecturales (I)...

Le Paraboloïde Hyperbolique 

modèle  z = x² - y² ( ou z = xy )

Son nom est compliqué pour celui qui le découvre -et souvent l'écorche! ; pourtant rien n'est plus simple que ses équations, rien n'est plus familier que sa forme dans la nature ou les objets. Avant de voir les belles réalisations architecturales que permet cette surface, démystifions son nom! Pour cela, observons en même temps un objet associé aux loisirs (faire de l'équitation, ou... regarder un western) et un modèle mathématique (destiné, jadis, à l'enseignement) conservé dans un haut lieu de cette science: ne voit-on pas la même chose?


Selle "Grimsley" (1847)
 The Cow-Boy Museum and Hall of Fame, Fort Worth (Texas)
Modèle en plâtre
Bibliothèque  de l'Institut Henri Poincaré (Paris)


Paraboloïde? Etymologiquement, "en forme de parabole". Les coutures de la selle dont des paraboles, toutes avec leur concavité vers le bas; dans les plans parallèles x = a, ce sont les z = a² - y² . C'est à dire qu'on a fixé des valeurs de x, régulièrement échelonnées; dans chaque tranche la couture est une parabole. Sur le modèle en plâtre, seule x = 0, ce sont les z - y² a été gravée.: c'est, lschématisée, la position des jambes du cavalier, si on les réduit à un fil.
Mais une deuxième, bien différente, apparait sur le modèle, dans un plan perpendiculaire (en l'occurence,
y = 0 ), avec la concavité cette fois vers le haut: z = x² , mais, si vous n'aimez pas les équations, c'est, sur la selle, la ligne qui joint le pommeau à l'arrière de la selle -ou, si l'on préfère, suit le dos du cheval- elle aussi matérialisée par une couture (agrandissez pour avoir une chance de l'apercevoir!). Il suffirait pour décrire parfaitement la surface, de dire que c'est la famille des paraboles du premier type, dont le sommet glisse le long de la seconde.

Hyperbolique? Cela se réfère aux sections horizontales z = h, ( ce sont les h = x² - y² ), bien en évidence sur le modèle en plâtre. Elles ne figurent pas sur la selle, mais il serait très facile de les faire apparaître: imaginez que le cow-boy traverse une rivière calme, et s'engage de plus en plus profond: ces hyperboles sont la marque laissée par le niveau de l'eau! (Au moment crucial où le héros va ressentir la fraîcheur à l'endroit le plus sensible de son individu, il pourra s'écrier: "Oh, bon sang! Deux droites!" ...
car 0 = x² - y² = ( x - y ).( x + y ) revient à x - y = 0 ou x + y = 0

L'allure est celle d'un col en montagne; le paraboloïde hyperbolique en est le modèle idéal et l'approximation la plus simple (si on se limite aux termes de degré 2). Les deux paraboles "principales" sont la ligne de crête (de sommet à sommet) et la  ligne de thalweg (de vallée à vallée), selon le vocabulaire géographique en usage pour un col), les hyperboles sont les lignes de niveau (courbes d'altitude constante).



Pas de Peyrol, vu du Puy Mary (Cantal)
jaune: ligne de crête; rouge: ligne de thalweg
(image source sur Wikipedia Commons)
extrait de carte IGN (1/25000éme) cporrespondante.
l'allure des lignes de niveau est, localement, hyperbolique

On ne s'étonnera donc pas que les mathématiciens parlent indifféremment, dans cette situation, de point-col ou de point-selle . Ils disent aussi P.H. plutôt que paraboloÏde hyperbolique, et comme c'est plus rapide à dire ou à écrire, on ne ds'en privera pas dans la suite.

En faire un toit? Mais c'est intuitif!

Et pour commencer, on a dégoté pour vous l'apparition -un peu sommaire, certes!- des hyperboles dans une forme d'habitat traditionnel des Pouilles, les fameux trulli d'Alberobello, inscrits au Patrimoine Mondial par l'UNESCO en 1996. Souvent, ces peites maisons à toits de lauzes, sans aucun mortier, sont isolées, à toit conique; mais il arrive que deux circonstances se combienent heureusement:
- une forme en dôme (parabolique?) plutôt qu'un cône;
- la proximité de deux constructions, qui force au raccordement de deux toits, l'ensemble prenant à la jonction une allure de selle.
Et comme les lauzes sont posées horizontalement, elles dessinent localement, au voisinage du point selle, (et grossièrement) les hyperboles lignes de niveau d'un P.H. ...



Trulli "jumelés" à Alberobello (Italie): vue générale


Les lignes de niveau sont hyperboliques...
... les lignes de crête à crête paraboliques...
... les lignes de vallée à vallée aussi! (concavité vers le bas)

La parabole "de jonction" à une fonction bien concrète: l'écoulement naturel de l'eau de pluie. Car, ainsi qu'en attestent nos images, il peut même pleuvoir ou faire un temps horriblement gris en Italie du Sud! En tout cas, ces braves habitants ont construit ainsi des P.H. fort intuitivement, sans connaissance des mathématiques. Ils ne sont pas les seuls!

Cependant, dès qu'une demeure est un peu plus grande, il faut une charpente au toit, laquelle est essentiellement faite de poutres rectilignes. C'est ici qu'intervient la deuxième forme d'équation, qui va mettre en évidence sa génération doublement réglée.
Posant en effet X x + y , Y x - y , c'est à dire par un simple changement de repèree, l'équation en devient
 z = X Y
( z = 2 XY pour un changement orthonormé, mais ce nest pas indispensable), on constate que la surface peut être décrite par deux familles de droites:
(Da) : X a , z = a Y  et   (Δb) : Y b , z = X b

L'architecte, qui voulait bâtir un toit qui fasse écho au paysage du Val d'Aran (Pyrénée), qui, derrière la maison, dessine un col, n'a eu qu'à appliquer ce principe... mais avec d'autant plus de mérite que la géométrie n'est pas, en France, le point fort de la formation qu'il a le plus probablement reçue! Bravo aussi au charpentier qui l'a réalisée, sans être effrayé à l'idée de sortir des sentiers battus. Le résultat est éloquent:


 Images parues dans une revue ayant pour thème la maison individuelle, circa 1980
Architecte: Luc Demolombe

Plus étonnant, voici de quoi prouver qu'avec de la réflexion et du sens pratique, on peut se transformer en mathématicien qui s'ignore. En inventant le P.H. comme solution à un problème technique, sans avoir étudié les surfaces ni écrit la moindre équation. Le bâtiment n'est qu'un petit garage, à loger dans la pointe d'un terrain en angle aigu entre deux voies. Mais le règlement d'urbanisme imposait au propriétaire qu'un mur soit parallèle à celui de sa maison, et le faîtage parallèle ou perpendiculaire à celui de la maison, contrainte assez courante pour éviter l'anarchie des orientations.
Au sol, il lui était facile de définir le plan par les deux petites rues, et leurs perpendiculaires, dessinant un quadrilatère en forme de cerf-volant. Mais qu'en est-il des contraintes sur la charpente?.



Position du problème: entre deux rues à angle aigu, la direction de faîtage AB imposée



Le faîte est horizontal, donc les points A et B sont à la même hauteur. Au sommet du mur, comme cela se vérifie en observant le rang de briques, C et D ont aussi une hauteur commune (plus basse que la précédente). De cette configuration imposée, il résulte que
 les droites AD et BC ne sont pas coplanaires
(un calcul facile le montre, mais nous laissons au lecteur le choix: nous croire... ou prendre son crayon et faire ces 4 lignes d'exercice...).
Or les poutres de la charpente doivent s'appuyer sur AD et BC, en restant dans des plans verticaux parallèles à celui du faîte.; cela définit exactement un P.H.!
Les lignes de tuiles reproduiront ces directions, ce qui permet de s'en rendre compte sur l'image cicontre, faute que le Mathouriste soit arrivé assez tôt, alors que la charpente était encore à nu.

Mais que dit le propriétaire, après avoir confirmé son peu d'accointance avec la noble science défendue dans ces pages?
"Mon père était charpentier, j'avais un peu de savoir-faire... mais quand même, le problème ne me paraissait pas évident; alors, j'ai fait une maquette! Elle m'a donné satisfaction, alors, je me suis lancé, et voilà."

Et voilà: bravo! L'auteur de ces lignes aura assez prêché l'utilité des croquis à ses étudiants pour savourer cette réponse... en 3D.

En faire un toit? De quoi fasciner plus d'un architecte...

Les progrès dans la réalisation de coques minces en béton, conjugués à la possibilité de coffrages simples grâce à la génération réglée, ont permis des réalisations de très grande envergure. URSS et pays de l'Est se sont montrés, en l'occurrence, moins frileux, moins traditionalistes que la vieille Europe.
Selon les cas, la réalisation souligne davantage l'aspect de selle, en courbes, ou fait plutôt ressortir la génération réglée

Faire ressortir la selle.



Théâtre d'été, Dniepropetrovsk (Ukraine)
 le Mathouriste remercie son étudiant Maxime Roetynck, auteur de ces 2 clichés.
stade de basket-ball à Wloclawek (Pologne)
architectes: W. Ryżyński, M. Sobisiak

Faire ressortit la génération réglée

Peut-être préférez-vous voir encore les génératrices une fois le toit terminé? Alors, rendez-vous à Washington, dans une église de quartier:
 

St Augustine's Episcopal Church (Washington, USA)

La photo centrale met en évidence le fait que les génératrices sont toutes située dans des plans parallèles (en l'espèce, verticaux, perpendiculaires aux murs).
Bien sûr, une plaque de zinc est un morceau de plan, et aucune portion de plan n'est incluse dans un paraboloïde hyperbolique. Mais l'approximation est excellente -et l'intention, évidente.
Les images de détail soulignent le fait que le paraboloïde hyperbolique est une surface gauche: le long d'une génératrice (matérialisée ici par une ligne de raccordement des plaques de zinc), le plan tangent change constamment; il n'y a pas deux points où il est le même.

600 M St SW, Washington, DC 20024, à l'angle de Maine Avenue SW ( localiser )

À Varsovie, voici une gare (construite entre 1954 et 1962) dont le toit est un voile de béton en P.H., mais la peinture en souligne astucieusement la génération réglée.


Gare Ochota, à Varsovie (Pologne)

pour sauver l'honneur de la France...

Il y a, d'abord, un Suisse et un Grec... qui ont pris la nationalité française. En 1958, Iannis Xenakis (célèbre comme musicien, mais dont il ne faut pas oublier qu'il fut aussi architecte) utilisait cette surface qu'il affectionne pour concevoir le Pavillon Philips de l'Expostion Universelle de Bruxelles. Le Corbusier, auprès de qui il fit ses armes, ne serait pas étranger à cette inspiration; d'ailleurs, l'intérêt de "Corbu" pour les surfaces réglées apparait nettement dans notre page Hyperboloïdes...( en apprendre plus sur la carrière d'architecte de Xenakis et sa collaboration avec Le Corbusier)




Croquis de l'architecte
En chantier...Achevé!
 (source Wikipedia : très grande image)


Le bâtiment était composé de neuf paraboloïdes hyperboliques assemblés entre eux (sur l'image agrandie, la génération réglée est bien en évidence), et, à l'intérieur, on pouvait entendre le Poème Électronique d'Edgar Varèse!
Assez stupidement, mais c'est souvent le sort de ces constructions considérées comme éphémères, il n'a malheureusement pas été conservé.

Quelques liens intéressants sur le sujet:
C'est, dit-on ce qui aurait inspiré cla gare Ochota de Varsovie...


Et puis, il y a le toit de remarquable cathédrale de Royan... Mais il est si haut qu'on est réduit, faute de survol, à croire sur parole les descriptifs (y compris à l'intérieur de l'église), car on ne le voit pas de dedans: il est caché par un plan de béton. 




D'en bas, on devine plus qu'on ne voit, un toit en selle. Il coiffe deux portions de cylindre elliptiques.
(la base est faite de deux portions d'ellipse symétriques, avec une rencontre anguleuse au milieu de la longueur de la nef).
un peu plus visible (?)
sur une carte postale ancienne (recolorisée?)
[ source de l'image ]             

Bien moins usuel: pour faire un mur!

Découverte au hasard d'une promenade dans Dresde -il y a les bâtiments qu'on signale au touriste dans tous les guides... et les autres, ceux que seules les longues flâneries urbaines vous révèlent, les jours de chance- la Nouvelle Synagogue a offert au  Mathouriste l'incroyable surprise que voici: le paraboloïde hyperbolique a ici toutes ses génératrices dans des plans horizontaux, chaque ligne de la maçonnerie se décalant légèrement par rapport à la précédente.
 



Vue du haut de la rue (1) Dresde (Allemagne): la Nouvelle Synagogue (2) Vue du bas de la rue (3)


  
Plan de la Nouvelle Synagogue; tracé (bleu et pointillés) de l'ancienne
 et localisation (approximative ) des points et angles des prises de vue ci-dessus.

Comme on le découvre sur ce plan, ce bâtiment moderne (achevé en 2001) s'est installé sur les fondations d'une ancienne synagogue, conçue par l'architecte Semper, édifiée en 1840, et incendiée par les nazis lors de la nuit de Cristal, (9 au 10 novembre 1938). Les ruines furent ensuite dynamitées, et une partie des pierres recyclée pour la construction de routes.
L'architecture est due au cabinet Wandel, Lorch und Hirsch (Saarbrücken), et le projet a fait partie des 43 nominés pour le Prix de l'Union Européenne pour l'Architecture Contemporaine 2003.
nte.  

Détail (3) Détail (1) Détail (2)

La localiser.



Et avec des fils?

Les mathématiciens sonr coutumiers des maquettes en fils pour les surfaces réglées: elles illustrent très concrètement la génération par droites, tout en donnant une bonne idée de la surface quand le réseau est assez dense. Mais il est possible de rencontrer des réalisations plus grandioses... témoin ce pont, à Rotterdam.




Croquis de l'architecte
En chantier...

Les câbles sont des droites, dont les points d'ancrage se situent sur deux droites horizontales non coplanaires (un côté du tablier, et dans une direction perpendiculaire en haut du portique. Grâce à l'intervalle fixe entre deux ancrages successifs, il s'agit bien d'un P.H. (le lecteur curieux et sachant former l'équation d'une droite dans l'espace le vérifiera aisément).

C'est exactement le même scénario: fils s'appuyant sur deux horizontales, perpendiculaires et à des niveaux différents, qu'on découvrira comme "écrin" de présentation du modèle de fusée imaginé par le grand pionnier russe de la conquête spatiale, Konstantin Tsiolkovski. C'est à voir dans le musée qui porte son nom, dans sa ville natale, Kalouga (Russie). Il y a même DEUX P.H, car on y a exploité deux côtés d'un carré au sol, et deux côtés d'un carrré au plafond.





Autour de la maquette inspirée par les dessins de Tsiolkovski (musée de Kalouga)

Plus surprenant... où les fils sont remplacés par des tuyaux!




En se promenant le long de la Coulée Verte, à Paris.

Les génératrices (épaissies en tuyaux de cheminées...) sont situées dans des plans verticaux parallèles, et s'appuient sur deux droites à l'évidence non coplanaires (la sortie de toit de la maison concernée d'une part, la droite de rencontre avec le haut mur vertical, d'autre part); c'est une fois de plus, la définition réglée de la surface.

Place aux Artistes!




Ces deux tableaux étaient présentés à la rétrospective consacrée à Martial Raysse par le Centre Pompidou en 2014. Inspirés à l'artiste par une photo de son épouse, France, ils se préteraient fort bien à un jeu des 7 erreurs... qu'est-ce qui les distingue le plus? De fins connaisseurs répondraient sans doute que celui de gauche avait appartenu au président Pompidou. (Les deu sont aujourd"hui propriétés du musée). Mais pour le géomètre...  la toile de gauche est  plane,  tandis que  celle de droite  est...  un paraboloïde hyperbolique, ou, du moins, l'approche.

Certes, au sens strict, une pièce de toile, plane, ne peut être appliquée sur un P.H. (au contraire d'un cône ou d'un cylindre, dénommés pour cette raison surfaces développables). Mais une certaine élasticité de la toile autorise ce léger gauchissement. Les deux bords verticaux sont les droites d'appui (à l'évidence non coplanaires), et si l'on regarde la toile comme une réunion de fils horizontaux s'appuyant sur ces deux droites, on retrouve bien la définition réglée du P.H.

On remarquera l'humour de l'artiste, qui pousse la provocation jusqu'à qualifier de convexe, dans son titre, une surface qui ne l'est certainement pas!
À gauche: Tableau dans le Style Français II (1966)
À droitee: Tableau métallique-  Portrait à Géométrie Convexe (1964)

Le vues de côté montrent clairement le support en P.H. de la seconde.




Par contraste, le peintre suivant (nettement plus ancien, et plus académique...) n'avait sans doute aucune intention géométrique... mais en représentant une machine à mâter (poser un mat sur un bateau en construction), il a représenté deux axes non coplanaires (le mât en cours d'installation, et celui, verticalde la machine)... certes, il n'y a que 3 droites en appui dessus, mais ne voit-on pas facilement un P.H. en les imaginant, glissant d'un mouvement continu de l'une à l'autre? C'est la génération rectiligne en action!



Vue du Port de Rochefort, par Antoine-Léon Morel-Fatio (1810-1871)
Me sujet principal est la machine à mâter.
Détail du tableau
(en luminosité augmentée)

Quand deux P.H. se rencontrent...





...C'est à Tromsö (Norvège). Ce bâtiment , aujourd'hui une bibliothèque, a été réaménagé en 2005 en réhabilitant l'ancien cinéma Focus, conçu par l'architecte Gunnar Böberg Haugen, inauguré le 16 Mars 1973. Seul le toit a été conservé, cette coque mince en béton étant apparue ne parfait état. Elle couvre une surface de 3710m² , sa base étant un carré d'environ 60m de côté.

Bâtie sur un modèle abondamment utilisé, sous diverses variantes, par l'architecte mexicain Felix Candela, la voûte est constituée de deux paraboloïdes hyperboliques identiques, le deuxième étant déduit du premier par une rotation de 90°.







Les deux P.H. se coupent suivant deux sections planes paraboliques; les images ci-contre -qui ne peuvent bien sûr en faire voir qu'une- mettent bien en évidence le fait qu'il s'agit d'une courbe plane. On peut le montrer facilement:

Le petit coin de la technique: (des calculs à lire ... ou à sauter!)

Avec un axe des sz orienté vers le haut, un des  P.H peut être représenté par une équation du type
z = x² - a²y²
avec a>1 (par exemple, a = 2 ou 3) La valeur exacte ne nous est pas connue, mais elle n'a rien d'essentiel; on observe juste ici que la parabole de façade (concavité vers le bas) est plus resserrée que celle des lignes de faîte.
L'autre est, par symétrie
z = y² - a²x²
si bien que l'intersection est donnée par
z = x² - a²y² = y² - a²x²
soit
x²  = y² ; z = x² - a²y²
i.e.
= y ; z = (1 - a² ) x²    ou = - y ; z = (1 - a² ) x² 

Une rotation de 45° du repère fournirait l'aquation de la parabole dans son plan, "en vraie grandeur".



À consulter  en complément: (en Italien, mais avec de nombreuses images, exemple ci-contre)


Voir comme exemples une église en Espagne, et un restaurant au Mexique sur cette page de R. Ferréol.


Pour en savoir plus mathématiquement...

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