Quadriques Architecturales (I)...

Le Paraboloïde Hyperbolique 

modèle  z = x² - y²

Presque naturel pour faire un toit!

Sa génération doublement réglée permet de... construire facilement une charpente pour un toit de cette forme.

 Images parues dans une revue ayant pour thème la maison individuelle, circa 1980
Architecte: Luc Demolombe

La volonté de l'architecte était de l'intégrer au paysage du Val d'Aran (Pyrénée), qui, derrière la maison, dessine un col.

Même thème: réalisation d'un toit, mais... un peu plus à l'Est! ( le Mathouriste remercie son étudiant d'alors, Maxime Roetynck, auteur de ces 2 clichés).
L'existence de génératrices rectilignes permet de réaliser un coffrage pour le béton.

Théâtre d'été, Dniepropetrovsk (Ukraine)

Peut-être préférez-vous l'Ouest? Et, surtout voir encore les génératrices une fois le toit terminé? Alors, rendez-vous à Washington, dans une église de quartier:
 
St Augustine's Episcopal Church (Washington, USA)

La photo centrale met en évidence le fait que les génératrices sont toutes située dans des plans parallèles (en l'espèce, verticaux, perpendiculaires aux murs).
Bien sûr, une plaque de zinc est un morceau de plan, et aucune portion de plan n'est incluse dans un paraboloïde hyperbolique. Mais l'approximation est excellente -et l'intention, évidente.
Les images de détail soulignent le fait que le paraboloïde hyperbolique est une surface gauche: le long d'une génératrice (matérialisée ici par une ligne de raccordement des plaques de zinc), le plan tangent change constamment; il n'y a pas deux points où il est le même.

600 M St SW, Washington, DC 20024, à l'angle de Maine Avenue SW ( localiser )

Cette propriété de surface réglée mais gauche a fasciné plus d'un architecte; déjà, en 1958, Iannis Xenakis (célèbre comme musicien, mais dont il ne faut pas oublier qu'il fut aussi architecte) utilisait cette surface qu'il affectionne pour concevoir le Pavillon Philips de l'Expostion Universelle de Bruxelles. Le Corbusier, auprès de qui il fit ses armes, ne serait pas étranger à cette inspiration...( en apprendre plus sur sa carrière d'architecte et sa collaboration avec Le Corbusier)



Croquis de l'architecte
En chantier...

Le bâtiment était composé de neuf paraboloïdes hyperboliques assemblés entre eux, et, à l'intérieur, on pouvait entendre le Poème Électronique d'Edgar Varèse!
Assez stupidement, mais c'est souvent le sort de ces constructions considérées comme provisoires, il n'a malheureusement pas été conservé.
C'est, dit-on ce qui aurait inspiré cette station ferroviaire à Varsovie... dont le Mathouriste, a égaré sa photo; grâces soient rendues à Wikipedia, qui lui permet d'en intégrer une!



Station Ochota, à Varsovie (Pologne)

Voir aussi une église en Espagne, et un restaurant au Mexique sur cette page de R. Ferréol.

Bien moins usuel: pour faire un mur!

Découverte au hasard d'une promenade dans Dresde -il y a les bâtiments qu'on signale au touriste dans tous les guides... et les autres, ceux que seules les longues flâneries urbaines vous révèlent, les jours de chance- la Nouvelle Synagogue a offert au  Mathouriste l'incroyable surprise que voici: le paraboloïde hyperbolique a ici toutes ses génératrices dans des plans horizontaux, chaque ligne de la maçonnerie se décalant légèrement par rapport à la précédente.
 



Vue du haut de la rue (1) Dresde (Allemagne): la Nouvelle Synagogue (2) Vue du bas de la rue (3)


  
Plan de la Nouvelle Synagogue; tracé (bleu et pointillés) de l'ancienne
 et localisation (approximative ) des points et angles des prises de vue ci-dessus.

Comme on le découvre sur ce plan, ce bâtiment moderne (achevé en 2001) s'est installé sur les fondations d'une ancienne synagogue, conçue par l'architecte Semper, édifiée en 1840, et incendiée par les nazis lors de la nuit de Cristal, (9 au 10 novembre 1938). Les ruines furent ensuite dynamitées, et une partie des pierres recyclée pour la construction de routes.
L'architecture est due au cabinet Wandel, Lorch und Hirsch (Saarbrücken), et le projet a fait partie des 43 nominés pour le Prix de l'Union Européenne pour l'Architecture Contemporaine 2003.
nte.  

Détail (3) Détail (1) Détail (2)

La localiser.

Et les paraboles? et les hyperboles? ... dans tout ça!

La génération réglée, c'est magnifique...
Mais peut-être regrettez-vous de ne pas voir assez le tracé des diverses courbes que porte la surface et à qui elle doit son nom de paraboloïde hyperbolique, n'est-ce pas?

Pemièrement, voici une authentique pièce de musée qui répondra à une partie de vos attentes: les coutures y dessinent des paraboles s'appuyant sur une autre parabole. Risquons une plaisante confrontation avec un modèle où seules subsistent les deux paraboles "principales" (ligne de crête et ligne de thalweg, selon le vocabulaire géographique en usage pour un col), mais où apparaissent les hyperboles lignes de niveau (courbes d'altitude constante); on remarquera, à la cote du col ( z = 0 ), les deux droites ( z = 0 , x = y ) et ( z = 0 , x = - y ).


Selle "Grimsley" (1847)
 The Cow-Boy Museum and Hall of Fame, Fort Worth (Texas)
Modèle en plâtre
Bibliothèque  de l'Institut Henri Poincaré (Paris)

De quoi se convaincre qu'en mathématiques, la dénomination point-selle n'est pas un vain mot!

Deuxièmement, on a dégoté pour vous l'apparition -un peu sommaire, certes!- des hyperboles dans une forme d'habitat traditionnel des Pouilles, les fameux trulli d'Alberobello, inscrits au Patrimoine Mondial par l'UNESCO en 1996. Souvent, ces peites maisons à toits de lauzes, sans aucun mortier, sont isolées, à toit conique; mais il arrive que deux circonstances se combienent heureusement:
- une forme en dôme (parabolique?) plutôt qu'un cône;
- la proximité de deux constructions, qui force au raccordement de deux toits, l'ensemble prenant à la jonction une allure de selle.
Et comme les lauzes sont posées horizontalement, elles dessinent localement, au voisinage du point selle, (et grossièrement) les hyperboles lignes de niveau d'un P.H. ...



Trulli "jumelés" à Alberobello (Italie): vue générale


Les lignes de niveau sont hyperboliques...
... les lignes de crête à crête paraboliques...
... les lignes de vallée à vallée aussi! (concavité vers le bas)

La parabole "de jonction" à une fonction bien concrète: l'écoulement naturel de l'eau de pluie. Car, ainsi qu'en attestent nos images, il peut même pleuvoir ou faire un temps horriblement gris en Italie du Sud...

Pour en savoir plus mathématiquement...

Vers les autres sections:


Revenir à la Home Page du Mathouriste