#2 : le Traité sur la Division du Quart de Cercle

( l'Artisan, le Triangle et le Mathématicien )

Curieux ouvrage, au premier abord: il commence abruptement, sans la moindre motivation, par un problème qui paraît tout à fait artificiel; il est souvent placé en annexe au Traité des Équations Algébriques, comme s'il le prolongeait par un exemple "concret". Or, nous verrons par son contenu qu'il le précède, et mieux, qu'il l'a motivé. Que le lecteur se rassure: il n'est pas indispensable de suivre l'ordre chronologique d'écriture; et il peut tout aussi bien lire d'abord la page consacrée au Traité des Équations Cubiques avant de revenir à celle-ci pour essayer d'approfondir la motivation de l'auteur.

Un début mystérieux

"Nous voulons diviser le quart AB d'un cercle ABCD en deux parties au point G, et mener la perpendiculaire GH au diamètre BD, telle que le rapport de AE à GH soit égal au rapport de EH à HB; E est le centre du cercle, et AE le demi-diamètre." O. K. , Traité sur la Division du Quart de Cercle

Voilà la toute première phrase de ce traité: difficle d'être plus mystérieux! Pourquoi résoudre cette question particulièrement? Quelle en est l'utilité? A-t-elle une source remarquable, antérieure ou non à Khayyam? Aucune réponse à ces questions, ni dans le traité lui-même, ni chez les commentateurs ultérieurs. Nous avons, dans notre page biographique, cité une possible motivation par les pratiques artisanales: cela se tient, mais aucune preuve ne vient soutenir cette proposition.

Une première Analyse

	Dans cette image (source inconnue) d'une copie manuscrite du Traité, on reconnait les deux figures tacées ci-dessus.
revient à  AE.BH = GH.EH (soit l'égalité des aires des rectangles vert et rose) BM.BH = GH.EH Ajoutant de part et d'autre l'aire du rectangle jaune BIGH, on aura, par égalité des aires des rectangles MIGL et BIKE: GL.ML = KE.BE ce qui nous dit, à la façon d'Apollonius, que les points L et E sont sur une même hyperbole de centre I, d'asymptotes portées par IM et IK. (Dans le repère des asymptotes, GL=IM est l'abcisse de L et ML=IG son ordonnée) Laissons la conclusion au Maître en personne:
" Le rectangle IE est égal au alors égal au rectangle IL. Si nous construisons une hyperbole qui ne rencontre aucune des deux droites KI et IM, et qui passe par le point E, comme l'a montré Apollonius [...] dans l'ouvrage des Coniques, alors l'hyperbole passe nécessairement par le point L [...] Si  le point L était de position connue, ou si la droite IK était de position connue, il serait possible de construire la figure et d'atteindre aisément notre but lors de la synthèse. Mais aucun de deux n'est facile à connaître. En évitant cette méthode, le chercheur qui pénètre le livre des Coniques est conduit à ce qu'on demande par une autre méthode, et il peut ainsi saisir la méthode que je vais exposer. Si j'ai proposé cette méthode, en dépit de sa difficulté, c'est en guise d'initiation et de préparation pour l'élève. Je ne l'ai pas achevée, et n'en ai pas effectué la synthèse d'une manière géométrique, en raison de sa difficulté [...]" O. K. , Traité sur la Division du Quart de Cercle

Toutefois, un point demeure extrêmemnt surprenant: si, au lieu de compléter les aires vertes et roses par le rectangle jaune BIHG, Khayyam avait utilisé le rectangle (bleu, sur la figure ci-contre) LHCE, il aurait placé le point G sur la même hyperbole d'asymptotes fixes CM et CA que le point B...  et c'était fini, plaçant G à l'intersection d'un cercle et d'une hyperbole entièrement déterminés. Comment n'a-t-il pas pu voir cela? Quoi qu'il en soit, il va se lancer dans une nouvelle analyse, qui va introduire son fameux triangle.

Deuxième Analyse... Naissance d'un Triangle

"Je dis, avec l'aide de Dieu: nous retraçons la figure, en supposant par l'analyse que nous avons fait ce que nous voulions: que le rapport de AE à GH soit égal au rapport de EH à HB; Menons du point G la tangente au cercle. Prolongeons EB jusqu'à ce qu'elle coupe la tangente au point I, et joignons GE. " O. K. , Traité sur la Division du Quart de Cercle

Voilà la toute première phrase de ce traité: difficle d'être plus mystérieux! Pourquoi résoudre cette question particulièrement? Quelle en est l'utilité? A-t-elle une source remarquable, antérieure ou non à Khayyam? Aucune réponse à ces questions, ni dans le traité lui-même, ni chez les commentateurs ultérieurs. Nous avons, dans notre page biographique, cité une possible motivation par les pratiques artisanales: cela se tient, mais aucune preuve ne vient soutenir cette proposition.