Édition de 1822, en ligne à l'Université Louis Pasteur à Strasbourg .
L'introduction
Parcourir son introduction -déjà fort longue!- révèle les deux idées fondamentales et novatrices de l'auteur: tendre à effacer la multitude de "cas" de la Géométrie traditionnelle par une approche plus unificatrice, et utiliser un principe de continuité dans la déformation des figures, vision topologique avant l'heure... Elle rend aussi, comme on va le voir, un hommage vibrant à ses maîtres -Monge surtout- et à ceux qu'ils considère comme ses prédécesseurs: Desargues, en tout premier lieu, mais aussi Pascal. Extraits choisis (en italiques; les mises en gras sont de l'auteur de cette page)L'hommage au Maître, avant toutes choses...
A l'époque où MONGE commença à professer la Géométrie descriptive ou plutôt cette Géométrie générale qui fait le caractère principal des ouvrages de cet illustre Professeur et de ceux qui ont suivi ses traces dans la même carrière, MONGE , disons-nous, avait raison de recommander aux Élèves l'étude de la Géométrie analytique, celle-ci étant très propre à donner aux conceptions géométriques cette extension et cette généralité qui sont essentiellement dans sa nature. [.../...]
Les ouvrages mêmes de MONGE, ceux de ses Élèves, parmi lesquels nous devons surtout citer l'auteur des Développements de Géométrie, ont prouvé que la Géométrie descriptive, la langue de l'artiste et de l'homme de génie, peut se suffire à elle-même, et atteindre à toute la hauteur des conceptions de l'Analyse algébrique.Cependant il reste encore quelque chose à faire; toutes les lacunes, tous les vides ne sont pas encore remplis, et ces lacunes, ces vides se font surtout sentir dans ce qui semble tenir de plus près aux connaissances préliminaires de la Géométrie. Les grandes questions sont résolues, la doctrine est faite, mais elle repose sur certaines données particulières... [.../...]
A la recherche d'un principe de généralité...
C'est donc cette Géométrie particulière qu'il faut chercher actuellement à perfectionner, à généraliser, à rendre enfin indépendante de l'Analyse algébrique; c'est l'étude des propriétés des lignes et des surface individuelles qu'il faut chercher à ramener dans le domaine de la simple Géométrie, á laquelle elle semble encore se soustraire dans certains genres de questions. [.../...]En
effet, tandis que la
Géométrie analytique offre, par la marche qui lui
est
propre, des moyens généraux et uniformes pour
procéder
à la solution des questions qui se présentent,
à
la recherche des propriétés des figures; tandis
qu'elle
arrive à des résultats dont la
généralité
est pour ainsi dire sans bornes, l'autre procède au hasard;
sa
marche dépend tout à fait de la
sagacité de
celui qui l'emploie, et ses résultats sont, presque
toujours,
bornés à l'état particulier de
la figure que
l'on considère. [.../...] Par les efforts
successifs des géomètres, les
vérités
particulières se sont multipliées sans cesse,
mais il
est arrivé rarement que la méthode et la
théorie
générale y aient
gagné [.../...]
Ce reproche ne saurait s'adresser à
la Géométrie dans l'espace, à cette
Géométrie
générale créée par le
génie de MONGE; sa marche est exempte d'
hésitations, elle procède
avec ordre, les lignes et les surfaces qu'elle contemple sont
indéfinies, rien ne limite la pensée, et ses
résultats
ont, jusqu'à un certain point, toute l'extension de ceux de
l'Analyse algébrique, extension qui souvent
étonne et
embarrasse celui qui l'emploie. [.../...]
On a failli avoir peur un instant, mais... Ouf! Voilà Monge, son vénéré maitre, blanchi de toute suspicion. Il est amusant tout de même de constater que l'argument reviendra, tout aussi fort et définitif, quelques pages plus loin; "Encore une fois,..." s'excusera-t-il avant de remarteler à l'usage du lecteur distrait; on ne sait jamais!
Dans la Géométrie ordinaire, qu'on nomme souvent la synthèse, les principes sont tout autres, la marche est plus timide ou plus sévère; la figure est décrite, jamais on ne la perd de vue, toujours on raisonne sur des grandeurs, des formes réelles et existantes, et jamais on ne tire de conséquences qui ne puissent se peindre, à l'imagination ou à la vue, par des objets sensibles; on s'arrête dès que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue, une existence physique. La rigueur est même poussée jusqu'au point de ne pas admettre les conséquences d'un raisonnement, établi dans une certaine disposition générale des objets d'une figure, pour une autre disposition également générale de ces objets, et qui aurait toute l'analogie possible avec la premiére; en un mot, dans cette Géométrie restreinte, on est forcé de reprendre toute la série des raisonnements primitifs, dès l'instant où une ligne, un point ont passé de la droite à la gauche d'un autre, etc.
Or voilà précisément ce qui en fait la faiblesse; voilà ce qui la met si fort au-dessous de la Géométrie nouvelle , surtout de la Géométrie analytique.
Le principe de continuité...
Considérons une figure quelconque, dans une position générale et en quelque sorte indéterminée, parmi toutes celles qu'elle peut prendre sans violer les lois, les conditions, la laison qui subsistent entre les diverses parties du système; supposons que d'après ces données, on ait trouvé une ou plusieurs relations ou propriétés, soit métriques, soit descriptives, appartenant à la figure [.../...] N'est-il pas évident que si, en conservant ces mêmes données, on vient à faire varier la figure primitive par degrés insensibles, ou qu'on imprime à à certaines parties de cette figure un mouvement continu d'ailleurs quelconque, n'est-il pas évident que les propriétés et les relations, trouvées pour le premier système, demeureront applicables aux états successifs de ce système, pourvu toutefois qu'on ait égard aux modifications particulières qui auront pu y survenir, comme lorsque certaines grandeurs se seront évanouies, auront changé de sens ou de signe, etc., modifications qu'il sera toujours aisé de reconnaître a priori, et par des règles sûres?
C'est du moins ce que l'on conclurait sans peine du raisonnement implicite, et c'est ce qui, de nos jours, est assez généralement admis comme une sorte d'axiome dont l'évidence est manifeste, incontestable, et n'a pas besoin d'être démontrée : témoin le principe de la corrélation des figures, admis par M. CARNOT, dans sa Géométrie dePosition, pour établir la régle des signes; témoin encore le principe des fonctions, employé par nos plus grands géomètres pour établir les bases de la Géométrie et de la Mécanique; témoin enfin le Calcul infinitésimal, la Théorie des Limites, la Théorie générale des équations, et tous les écrits de nos jours, oú l'on s'attache à une certaine généralité dans les conceptions. Or ce principe, regardé comme un axiome par les plus savants géométres, est ce qu'on peut nommer le principe ou la loi de continuité des relations Mathématiques de la grandeur abstraite et figurée.
Monge
et Carnot, figures tutellaires
(École Polytechnique)
La solution: la vision Projective
En réfléchissant attentivement à ce qui fait le principal avantage de la Géométrie descriptive et de la Méthode des coordonnées, á ce qui fait que ces branches des Mathématiques ofirerit le caractére d'une véritable doctrine, dont les principes, peu nombreux, sont liés et enchaînés d'une manière nécessaire et par une marche uniforme, on ne tarde pas à reconnaître que cela tient uniquement à l'usage qu'elles font de la projection. [.../...] Voici donc quel est l'avantage de ces différentes méthodes: par la projection des figures planes sur des droites, on réduit l'examen des relations de ces figures à celui de ces relations beaucoup plus simples entre les distances comprises sur les axes de projections; au lieu de deux dimensions, on n'en a souvent plus qu'une à considérer, ou, si l'on en a deux, elles sont toujours mesurées dans des directions parallèles ou sur les mêmes droites.Poncelet fait alors le lien avec la Géométrie Descriptive:
En un mot, toutes les relations ou propriétés descriptives du plan sont traduites, par elles, en relations ou propriétés descriptives de l'espace, et réciproquement. De là [.../...] doit résulter une foule de rapprochements et de conséquences infiniment profitables à la simple Géométrie et la Géométrie à trois dimensions, ce dont MONGE a montré les plus beaux exemples dans sa Géométrie Descriptive.[.../...] Il est évident que ces avantages sont uniquement dus à la nature même de la projection qui, en modifiant la forme et l'espèce particulière des figures, les place dans des circonstances ou plus générales ou au contraire plus restreintes, sans pour cela en détruire les relations et propriétés génériques, ou en les modifiant seulement d'après des lois fort simples et toujours faciles à deviner et à saisir.
Enfin, jusqu'ici nous avons supposé les coordonnées, ou projetantes, parallèles entre elles;mais cette condition n'est pas indispensable, ou plutôt on peut la remplacer par la condition, que toutes ces projetantes aillent concourir vers un point ou centre de projection unique du plan de la figure ou de l'espace: alors la projection sera proprement ce qu'on nomme conique ou centrale; ce sera, si l'on veut encore, une sorte de perspective dont le point de vue sera ce que nous venons de nommer le centre de projection [.../...].
Vient le temps de conclure cette première partie de l'Introduction, avant de passer à son volet historique:
Agrandir les ressources de la simple Géométrie, en généraliser les conceptions et le langage ordinairement assez restreints, les rapprocher de ceux de la Géométrie analytique, et surtout offrir des moyens généraux propres à démontre et à faire découvrir, d'une manière facile, cette classe de propriétés dont jouissent les figures quand on les considère d'une manière purement abstraite et indépendamment d'aucune grandeur absolue et déterminée, tel est l'objet qu'on s'est spécialement proposé dans cet Ouvrage. De telles propriétés subsistent, avons nous dit, à la fois pour une figure donnée et pour toutes ses projections ou perspectives; on a donc dû les distinguer de toutes les autres par le nom générique de propriétés projectives, qui en rappelle, de manière abrégée, la véritable nature.
En souvenir des illustres qui montrèrent la voie...
DESARGUES,
ami de l'illustre DESCARTES,
et dont celui-ci faisait le plus grand cas comme
géomètre; DESARGUES,
qu'on peut appeler, à plus d'un titre, le MONGE
de son siécle, que les biographes n'ont point assez connu,
ni
assez compris; DESARGUES , enfin, que des contemporains,
indignes du
beau titre de géomètre, ont noirci,
persécuté
et dégoûté, pour n'avoir pu se mettre
á la
hauteur de ses idées et de son génie, fut, je
crois, le
premier, d'entre les modernes qui envisagea la
Géométrie
sous le point de vue général que je viens de
faire
connaitre.[.../...]. On peut en voir
un exemple
dans une petite note placée à la fin de certains
exemplaires du Traité de Perspective publié, en
1648,
par BOSSE, qui n'était rien moins
que géomètre,
bien qu'il füt excellent graveur, et qu'il eût
reçu
des leçons de DESARGUES.
DESCARTES
écrivait, en janvier 1639, au sujet d'un, papier de DESARGUES,
que lui avait transmis le P. MERSENNE:
«La façon
dont il commence son raisonnement, en l'appliquant tout ensemble aux
lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle est
plus-générale, et semble être, prise de
ce que
j'ai coutume de nommer la Métaphysique de la
Géométrie;
qui est une science dont je n'ai point remarqué qu'aucun
autre
se soit jamais servi, sinon ARCHIMÈDE.
Pour moi, je m'en sers toujours pour juger , en
général
des choses qui sont trouvables, et en quels lieux je les dois
trouver.» [.../...] Il parait bien
évident, d'aprés
cette lettre, que DESARGUES avait
deviné et connu l'extension
qu'on pouvait donner aux principes élémentaires
de la
Théorie des transversales, en les appliquant indistinctement
aux systémes de lignes droites et aux lignes courbes [.../...]
PASCAL, qui n'avait encore que seize ans, et qui déjà comptait parmi les plus grands géométres de son temps, guidé d'ailleurs par les préceptes et l'exemple de DESARGUES, comme il a soin de nous l'apprendre lui-même, fit paraître, en 1640, c'est-à-dire peu de temps aprés l'écrit de ce dernier, son Essai sur les Coniques: c'est une notice très courte, remarquable par l'usage que PASCAL y fait des considérations de la perspective ou projection centrale, et par un passage où, en donnant les plus grands éloges à DESARGUES, il dit que ce géométre, dans la méthode qu'il avait suivie, traitait généralement des sections du cône, sans se servir du triangle par l'axe. Parmi plusieurs propositions dans le genre de celles de la Géométrie de la régle et de la Théorie des transversales, cet Essai renferme l'énoncé de la propriété de l'hexagone inscrit aux coniques, attribuée á DESARGUES par DESCARTES, et que PASCAL a ensuite employée sous le nom d' hexagrammum mysticum, dans un Traité inédit sur les sections coniques, que LEIBNITZ a eu entre les mains, lors ale son séjour en France, en 1676, et dont ce grand homme nous a transmis une analyse très succincte, qui est tout ce qui reste de cet ouvrage dePASCAL. A en juger par les titres des six livres dont il était composé, cet ouvrage, beaucoup plus étendu que celui de DESARGUES sur le même sujet, devait renfermer les plus belles des propriétés projectives des sections coniques, aujourd'hui généralement connues des géomètres; et, en effet, elles ne sont, pour la plupart, que des corollaires fort simples de l'hexagramme mystique, qui lui-même n'est qu'une extension eu Porisme de PAPPUS, ou plutôt d'EUCLIDE, sur l'hexagone inscrit à l'angle formé par deux droites. Quelle fatalité a donc fait. disparaitre ces productions de trois hommes doués d'un génie également original et profond? [.../...]
La figure de l'Hexagramme Mystique de Pascal, dans le Traité de Poncelet
Voir la Planche Complète contenant cette figure.
Arrive enfin la conclusion de toute l'Introduction:
D'ailleurs, le but de l'ouvrage que nous mettons au jour est d'offrir un tableau, sinon complet, du moins assez étendu, des Propriétés projectives; et nous saisirons toutes les occasions qui pourront s'offrir de signaler les premiers inventeurs. Cet ouvrage sera donc un véritable exposé historique et scientifique de cette branche intéressante de la Géométrie. Nous regrettons toutefois que le défaut d'espace ne nous permette pas d'y faire entrer nos recherches relatives aux propriétés projectives des courbes géométriques des divers ordres, et nous oblige à en renvoyer la publication à une époque plus reculée: cet ensemble, plus complet, aurait montré qu'il est peu de propriétés générales de l'étendue qu'on ne puisse ramener dans le domaine de la simple Géométrie, au moyen des ressources offertes, soit par la doctrine des projections, soit par la loi de continuité.
La méthode en action: les théorèmes de PASCAL, BRIANCHON, PAPPUS
Le théorème de l'hexagramme mystique de Pascal -dont la démonstration originale ne nous est pas connue- offre à Poncelet un terrain idéal pour appliquer ses principes: établir le résultat dans un cas extrêmement simple, et déduire le cas général par projection. Il l'énonce ainsi:Dans tout hexagone inscrit à une conique, les points de concours des côtés respectivement opposés sont tous trois situés sur une même droite.
Hexagramme Mystique de Pascal et Théorème de Pappus, dans le Traité de Poncelet
Voir la Planche Complète contenant la figure 24 (Pappus).
Soit ABCDEF un hexagone quelconque inscrit à une telle courbe; prolongeons, deux à deux, les côtés opposés AB et DE, BC et EF, CD et AF jusqu'à leur rencontres respectives en L, K, I; concevons qu'on mette (109) la figure en projection sur un nouveau plan, de façon que la droite qui renferme les deux premiers points L , K, passe à l'infini, et que la section conique devienne en même temps un cercle;
[ Le n°109 est l'endroit où il a établi qu'un tel choix est réalisable ]
les côtés opposés AB et DE, de concourants qu'ils étaient, deviendront parallèles, et il en sera de même des côtés BC et EF. Or cela ne peut avoir lieu pour un hexagone quelconque (convexe ou non convexe) inscrit au cercle, à moins que les deux derniers côtés CD et AF, qui sont opposés, ne soient également parallèles; car l'angle en B étant égal à l'angle en E, puisqu'ils ont, par hypothèse, les côtés parallèles, l'arc ABC sera nécessairement égal à l'arc DEF.
[ Le parallèlisme de CD et AF se prouve alors par quelques manipulations élémentaires d'angles, qu'il ne mentionne pas. ]
Donc les points de concours I, K, L de la première figure sont tous trois rangés sur une même droite.
N.B: Cette démonstration est peu présentée, aujourd'hui! On lui préfère une preuve issue du Théorème de Ménélaüs (voir ce lien) ou un argument de Géométrie Algébrique: deux cubiques se coupent en 9 points (théorème de Bézout)
Le Théorème de Pappus n'est alors plus qu'un cas particulier qu'on peut "récupérer", par exemple, grâce au principe de continuité: c'est le cas limite d'une hyperbole dégénérée en ses deux asymptotes:
Cette propriété, qui subsiste quelle que soit la position relative des six sommets A, B, C, D, E, F de l'hexagone sur la courbe, et qui s'applique comme cas particulier au système de deux lignes droites quelconques AE, BD, tracées dans un même plan, est une des plus fécondes qui existent sur les sections coniques...
Le principe de continuité œuvre encore pour tirer du théorème une construction de tangente:
Lorsque cinq points A, B, C, D, E d'une section conique sont donnés sur un plan, les fig. 33 et 34 indiquent un moyen fort simple d'en trouver à volonté un sixième F, et successivement autant d'autres qu'on voudra, en ne faisant usage que de la règle [...]
Supposons que dans l'hexagone ABCDEF (fig. 33 et 34) , inscrit à une section conique, l'un des côtés devienne infiniment petit, ou que sa direction soit tangente à la courbe, la propriété de l'hexagone subsistera toujours: étant donnés cinq points A, B, C, D, E (fig. 35) d'une section conique, on peut, en l'un deux E, mener une tangente KF à la courbe, en ne faisant usage que de la règle.
Le Théorème de Brianchon quant à lui illustre une troisième idée force de Poncelet , la dualité -ou symétrie- entre les points et les droites.
Revenons à l'hexagone inscrit ABCDEF (fig. 33), et supposons qu'on circonscrive à la courbe le nouvel hexagone abcdef dont les points de contact sont les sommets du premier; d'après la construction, les sommets opposés a et d de l'hexagone circonscrit ont pour polaires deux côtés opposés AF et CD de l'hexagone inscrit; donc la diagonale ad est la polaire du point d'intersection I de ces côtés, donc elle renferme le pôle P de la droite IKL qui appartient aux points de concours des côtés opposés de l'hexagone inscrit, et par conséquent le point P est à la fois le croisement des trois diagonales qui joignet les sommets opposés de l'hexagone circonscrit.[...]
Dans tout hexagone circonscrit à une section conique, les diagonales qui joignent deux à deux les sommets respectivement opposés se croisent toutes trois en un même point.
Ce principe, non moins élégant et non moins fécond que celui de Pascal, et qui subsiste également quelle que soit la position respective des côtés de l'hexagone autour de la courbe, appartient à M. Brianchon, qui l'a démontré dans le XIII-ème Cahier de l'École Polytechnique...
Le Grand Théorème de PONCELET
"Quand un polygone est à la fois inscrit à une section conique et circonscrit à une autre, il en existe une infinité de semblables qui jouissent de la même propriété à l'égard des deux courbes; ou plutôt tous ceux qu'on essaierait de décrire à volonté, d'après ces conditions, se fermeraient eux-mêmes sur ces courbes.
Et réciproquement, s'il arrive qu'en essayant d'inscrire à volonté, à une section conique, un polygone dont les côtés en touchent une autre, ce polygone ne se ferme pas sur lui-même, il ne saurait nécessairement y en avoir d'autres qui jouissent de cette propriété."
Le Grand Théorème, pour des quadrilatères, puis des hexagones, dans le Traité de Poncelet
Voir la Planche Complète contenant cette figure.
Poncelet étudie d'abord les triangles, puis les quadrilatères, avant de généraliser de manière assez rapide. C'est sans doute un peu optimiste, car, dit Marcel Berger, "Toutes les démonstrations connues de ce résultat sont assez cachées et longues." Il est effectivement possible de faire une récurrence sur le nombre de côtés du polygone -ce que suggère le texte de Poncelet- mais les plus élégantes sont basées sur les correspondances algébriques de Chasles, ou, mieux encore, la théorie des fonctions elliptiques de Jacobi (1881).
Pour approcher le Grand Théorème ("Poncelet's Porism")...
Il y a d'abord, pour le voir, de nombreuses Applets paramétrables (conique, nombre de côtés...)- sur le site CutTheKnot
- sur les Pages de Bob (nombreuses options possibles!)
- et ici (ex de figure ci-dessous)
- Une approche proposée par Jean-Pierre Friedelmeyer (IREM de Strasbourg)
- Quand les matheux jouent au billard...ou le théorème de Poncelet , par Marie Lhuissier (site web: Images des Mathématiques, du CNRS)
- Une page de Françoise PÉCAUT, qu'on retrouve dans un "feuilleton" téléchargeable au format pdf sur le site de la Régionale APMEP de Marseille: « Triangles et quadrilatères interscrits », Bull. Rég. Aix-Marseille Vert numéro3, numéro4, numéro5, numéro6, numéro7 (année 2000).
- Une page d'Eric Weisstein (Mathworld, Wolfram Research)
- l'approche elliptique, par S. Ervedoza, G. Pouchin (2003)
- un livre numérisé: H. LAURENT, La Théorie Élémentaire des Fonctions Elliptiques (1880)
- A.G. GREENHILL, Les Fonctions Elliptiques et leurs Applications (G. Carré, rééd. J.Gabay)
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