Le Théâtre d'Epidaure,
ou
les Fractions Continues Illustrées par l'Architecture
Epidaure (Grèce)
Les réduites du
développement
en fraction continue du Nombre d'Or Phi (on lui a
choisi pour nom l'initiale du sculpeur Phidias)
Phi = [ Sqrt (5) + 1 ] / 2
sont les quotients de deux termes
successifs de la célébrissime suite de Fibonacci
1,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , ...
dont chaque terme s'obtient par
addition des deux précédents. Or, les archéologues
ont remarqué l'emploi des termes mis en gras dans la
construction du théâtre: la partie inférieure,
construite vers 300 av J-C, possède 34 rangées de sièges,
et 13 escaliers (un de plus
que les douze travées, puisqu'il y en a un à chaque bout,
bien visible sur les photos). Elle a été
complétée, vers 170 av J-C (mais, semble-t-il,
conformément aux plans initiaux) par 21 rangées (la
délimitation est nette, tant sur les clichés que sur le
plan ci-dessous): cela porte le nombre total de rangées à
55, par définition de la
suite de Fibonacci!
Plan du Théâtre
On peut, il est vrai, se demander
pourquoi le nombre d'escaliers de la partie supérieure n'a pas
été réduit à 21... Il aurait suffi de supprimer
ceux des extrémités! (Ils sont bien présents: on
voit quelqu'un qui monte les marches...)
Non seulement le Nombre d'Or était prisé des Grecs, mais il était particulièrement chéri des Pythagoriciens. Phi est intimement associé à la construction du pentagone régulier, et le principe du théâtre repose sur la division en 10 du demi-cercle (Observez bien le plan: dans chaque partie, il y a une travée au delà du demi-cercle...) 10 est le nombre de côtés d'une étoile à 5 branches (ou pentagramme), associée dans la mystique Pythagoricienne à la santé. Les théâtres grecs faisaient partie de vastes "ensembles de cure", dirait-on aujourd'hui (le spectacle soignait l'esprit près de l'endroit où l'on soignait le corps), et selon les historiens, la volonté de baser secrètement le plan sur le nombre 5 est certaine. L'utilisation des entiers associés aux fractions d'approximation de Phi s'insérait parfaitement dans un tel mysticisme.
Sans doute faut-il être prudent: il y a des gens qui voient Phi partout, et cela a suscité des abus. Mais on lit dans [1], qui est une référence fiable et s'appuie sur des articles documentés:
"It would be very hard to believe that the occurence of Fibonacci numbers in a building with a fivefold symmetry would be by pure chance"
Précisons qu'il n'y a aucun anachronisme: la suite de Fibonacci était parfaitement connue des Grecs (sauf sous ce nom), et Phi apparait -géométriquement bien entendu- comme racine de l'équation du second degré
Non seulement le Nombre d'Or était prisé des Grecs, mais il était particulièrement chéri des Pythagoriciens. Phi est intimement associé à la construction du pentagone régulier, et le principe du théâtre repose sur la division en 10 du demi-cercle (Observez bien le plan: dans chaque partie, il y a une travée au delà du demi-cercle...) 10 est le nombre de côtés d'une étoile à 5 branches (ou pentagramme), associée dans la mystique Pythagoricienne à la santé. Les théâtres grecs faisaient partie de vastes "ensembles de cure", dirait-on aujourd'hui (le spectacle soignait l'esprit près de l'endroit où l'on soignait le corps), et selon les historiens, la volonté de baser secrètement le plan sur le nombre 5 est certaine. L'utilisation des entiers associés aux fractions d'approximation de Phi s'insérait parfaitement dans un tel mysticisme.
Sans doute faut-il être prudent: il y a des gens qui voient Phi partout, et cela a suscité des abus. Mais on lit dans [1], qui est une référence fiable et s'appuie sur des articles documentés:
"It would be very hard to believe that the occurence of Fibonacci numbers in a building with a fivefold symmetry would be by pure chance"
Précisons qu'il n'y a aucun anachronisme: la suite de Fibonacci était parfaitement connue des Grecs (sauf sous ce nom), et Phi apparait -géométriquement bien entendu- comme racine de l'équation du second degré
x²
- x -1 = 0
c'est à dire comme un nombre
constructible. Ils disposaient d'un processus, dit d'anthyphérèse,
équivalent au développement en fraction continue, et, vu
d'une autre façon, celui ci revient à l'algorithme d' Euclide
(circa 300 av. J-C).
Références pour cette page
Sur la Toile:
- Home Page de la Suite de Fibonacci maintenue par Ron Scott;
- Phi, Fibonacci et les Arts, une partie du (vaste) site précédent.
Bibliographie:
- [1] Benno ARTMANN, Euclid, The Creation of Mathematics (Springer Verlag)
- [2] Claude BREZINSKI, History of Continued Fractions and Padé Approximants (Springer Verlag)