Symétries Hexagonale et Dodécagonale

Tours

"Les tours cependant présentent souvent une symétrie hexagonale, mais les autres bâtiments ont beaucoup plus rarement cette symétrie centrale, fondée sur le nombre 6"
(H.W.)
Souvent?... pas si souvent, apparamment: la concurrence des symétries de révolution ou d'ordre 8 est rude!
Dans la catégorie "monument isolé", on retiendra cette vision provençale (empruntée à ce site... pourtant, que de fois, enfant, le Mathouriste l'aura-t-il vue: la Nationale 7 de Charles Trenet était la route des vacances de ce temps là...)

Le Luc (Var)
et dans celle des tours intégrées à un château, l'Angleterre et la Toscane devraient fournir des terrains intéressants... qu'il nous reste à explorer plus systématiquement. Deux exemples, dont le deuxième est un festival d'hexagones:

              Serravalle (Italie): XIV-ème siècle                          Raglan Castle (Angleterre): XV-ème siècle
La préférence du Mathouriste reste Ecossaise, avec le bastion avancé de ce château-fort (aggrandissez!)

Eilean Donan Castle (Ecosse)

Vous avez sûrement saisi son caractère mythique (sinon, regardez le sous cet angle): il figure dans le générique de la célèbre série Chapeau Melon et Bottes de Cuir! (Le Mathouriste a ses séries cultes, que voulez-vous...) Et dans cet épisode.
Cet autre site vous prouvera qu'il aurait pu aussi illustrer notre partie sur la Symétrie de l'Eau... et vous donnera tant les détails d'une histoire mouvementée, que les nombreux films qui l'ont pris pour décor!

La symétrie hexagonale n'est cependant pas l'apanage exclusif des ouvrages défensifs:

Shangaï (Chine): pavillon du Jardin Yu

Motifs Décoratifs

Le plus ancien de notre collection a le mérite d'illustrer à la fois l'invariance par le groupe D6  (motif du haut de l'image, si l'on ne tient pas compte des motifs intérieurs aux carrés) et l'invariance par le groupe  R6 (motif du haut si l'on en tient compte, motif du bas). Notez que les carrés qui bordent les hexagones sont, eux, invariants par R4 , et que le concepteur a complété par des triangles équilatéraux , obtenant "localement" une symétrie triangulaire, mais surtout, d'un point de vue global, un motif qu'il peut répéter à l'infini pour paver le plan... ou, plus concrètement, toute riche demeure, aussi grande soit-elle.

Cyrène (Lybie): Maison d'Esychius, IV-ème siècle

Une fois de plus, les civilisations de l'Islam sont généreuses en illustration, d'abord de l'invariance par le groupe D6 :


Soltanieh (Iran): mausolée d'Oljeitu, XIV-ème siècle

Il s'agit des plafonds de la galerie supérieure du monument, célébré dans cette autre page du Mathouriste pour sa coupole.On voit ici la situation générale et une vue de détail pour deux des huit segments de la galerie octogonale.
Il est intéressant d'observer les motifs intérieurs à l'étoile à 6 branches: si, dans le premier cas, il s'agit sans surprise d'un motif d'ordre 12 (faisant apparaitre D6 comme sous-groupe de D12  et alignant pour cela chaque figure avec un sommet, saillant ou rentrant, de l'étoile), dans le second s'inclut, avec une certaine audace, un motif pentagonal -et même invariant par R5 seulement si l'on tient compte des chevauchements "dessus-dessous" des segments, et des motifs entre les branches de l'étoile et le cercle, qui ne respectent pas de symétrie droite.

Restons en Iran, pour des décorations de façades plutôt rares: il s'agit de motifs d'ordre 6 ayant la seule symétrie de rotation (i.e. invariants par R6, mais pas par D6).
Yazd (Iran): Mosquée Amir Chakhmaq     
 

Yazd (Iran): Mosquée Jameh: le mirab

R12 entre en scène!

Les moulins des Cyclades ont 12 rayons. Lorsqu'ils sont entoilés (ce qui est assez peu fréquent!), à chaque extrémité se déploie un triangle de tissus, assurant la symétrie de rotation d'ordre 12, sans symétrie de réflexion.

Moulin à Ia (Santorin, Cyclades)