Les Symétries du Carré


Un Exemple Introductif... et la notion de Groupe

Une mosaïque romaine de Sabratha (Lybie, I-er siècle) nous aidera à comprendre la classification des mathématiciens.

Pour trois des quatre grands motifs présents (ceux qui sont inscrits dans un cercle), les transformations laissant invariante la figure sont les mêmes que pour un carré:
Par contre, le quatrième motif (en bas et à droite de l'image), s'il reste invariant par les quatre rotations, est altéré par les quatre symétries axiales précédentes (et n'admet aucun autre axe de symétrie). Les trois premières figures , malgré leurs différences, partagent une structure: elles ont le même groupe de transformations, qui est le groupe diédral d'ordre 4, ou groupe du carré, en faisant référence à la figure la plus simple: on le désigne par D4. La quatrième possède un groupe de tranformations plus petit, le groupe des rotations d'ordre 4. C'est un sous-groupe du précédent, puisqu'il est inclus dans D4; on le note R4.
Dire que ce sont des groupes signifie que:
T o T' = T' o T = Id

D4 a 8 éléments, R4 en a 4, mais il y a une différence très importante entre eux: R4 est commutatif, c'est à  dire que l'ordre de composition n'a pas d'influence sur le résultat, D4 ne l'est pas: on le vérifiera en étudiant l'image des sommets d'un carré par application successive de deux transformations. Cela se voit très bien aussi sur les tables de ces groupes, ainsi que le fait que R4 est sous-groupe de D4.
Incidemment, tout l'intérêt de la démarche mathématique des structures apparait là, dans les trois premiers exemples: pourquoi faire trois études là où une seule suffit? Oublions un instant les particularités de chacun des motifs, et ne pensons qu'à ce qu'ils ont en commun: l'abstraction est une économie de pensée... (mais gardons présent à l'esprit tout le temps qu'il a fallu pour y arriver: notre mosaïque date du I-er siècle de notre ère apprximativement, la notion de groupe ne s'est guère dégagée avant la deuxième moitié du XIX-ème!)

Exemples d'invariance par D4

Architecture

"En Architecture, c'est la symétrie d'ordre 4 qui prévaut" (H.W.)
Les exemples les plus anciens, s'ils ont le carré pour base, ont dans l'espace une forme pyramidale:


       Saqqara, Egypte              Guizeh, Egypte                     Tchoga-Zanbil, Iran              Chichen-Itza, Mexique
            2800 av J.C.                     2580 av J.C.                             1250 av J.C.                    Mayas, XII-ème siécle
La pyramide de Djoser à Saqquara est constituée de 7 mastabas empilées (voir le plan sur ce site); et la ziggourat mésopotamienne de Tchoga-Zanbil  comportait 5 niveaux. Rappelons à cette occasion que les ziggourats ont toutes cette forme, et que les représentations hélicoïdales résultent d'une confusion avec un minaret célèbre!
Le  propos d'Hermann Weyl  est un peu surprenant: la symétrie  rectangulaire (groupe  D2)  nous  semble  bien  plus  fréquente! Le mathouriste a tout de même déniché quelques bâtiments intéressants sur un plan carré:


            Xian, Chine                                     Xian, Chine                                Bakhtapur, Nepal           Patan, Nepal
 Petite Pagode de l'Oie Sauvage                Tour de la Cloche                       (Durbar Square)           (Durbar Square)

et deux purs joyaux d'Asie Centrale:

                          Mausolée d'Ismaïl Samani, Bukhara, Ouzbekistan (905)    Chor Minor, Bukhara, Ouzbekistan (1807)

On peut certes remarquer, sur le second, que les deux minarets avant sont un peu plus gros que ceux de l'arrière; néanmoins le plan carré semble délibéré.
Après les fastes de l'Orient, un retour en Auvergne ramène à bien plus d'austérité.  Mais le Mathouriste espère ne pas se montrer exagérément chauvin (ce qu'il a en horreur!) en jugeant digne de figurer ici ce fier donjon du XV-ème siècle

Donjon d'Anjony à Tournemire (Cantal)
Précisons que le corps d'habitation que l'on devine sur la droite de l'image ne fut ajouté qu'au XVIII ème siècle: le plan d'origine respectait très strictement les symétries du carré. (Vue aérienne et informations touristiques)

Décoration

La symétrie d'ordre 4 est fréquente dans les éléments architecturaux de l'Antiquité; dans un tétrapyle, elle est présente à deux niveaux différents:

         Colonne Hathorique                         Tétrapyle                                              Chapiteau Corynthien
          Denderah (Egypte)                     Palmyre (Syrie)                                                   Bosra (Syrie)

Elle se trouve dans de très nombreuses mosaïques géométriques, ou dans la "structure" donnée à une  mosaïque figurative:

                                 Maison à Sabratha (Lybie)                           Naxos (Cyclades) : l'Enlèvement d'Europe.       

Remarquer:

Exemples d'invariance par R4

Il s'agit ici presque uniquement de motifs décoratifs, avec une notoire exception finale pour qui l'architecture se plie aux nécessités fonctionnelles.

La Svastika

 "... la croix gammée [est] l'un des symboles les plus primitifs de l'humanité, commun à un grand nombre de civilisations apparamment étrangères les unes aux autres [...] Il semble que l'origine du pouvoir magique attribué à ces figures provienne de leur symétrie incomplète, si surprenante: rotations sans réfléxions" (H.W.)

                     Mindroling (Tibet)                                 Sabratha (Lybie)                             Lac Yamdrok (Tibet)

La présence sur les vieilles maisons traditionnelles comme sur le camion attestent une vision tibétaine "intemporelle", loin de l'histoire occidentale, de la confiscation de l'image par les nazis (comme gage "d'aryanité"), et du tabou qui en a résulté. Mais elle a pu être utilisée sans réticence en Europe avant la seconde guerre mondiale, ce qu'atteste le pavage de la Cathédrale d'Amiens. (voir la page de Wikipedia à ce sujet)
Remarquer que le sens de rotation n'est pas le même au Tibet et dans la mosaïque romaine; d'ailleurs, si le camion en possède deux, disposées symétriquement par rapport au motif central (qui décore lui aussi les cheminées...), le sens de rotation n'a pas été inversé, comme l'aurait exigé une symétrie parfaite. Le respect de l'antique symbole indien a été le plus fort, d'autant qu' il est considéré comme bienfaisant s'il est dextrogyre... et malfaisant sinon! Une contrainte qui ne s'exerce pas évidemment sur un décorateur de  mosquée:


Mosquée Jameh, Yazd (Iran)

"Dans la conférence que je fis à Vienne, en 1937, peu de temps avant que les hordes d'Hitler n'envahissent l'Autriche, j'ajoutais à propos de la croix gammée: 'De nos jours, elle est devenue le symbole d'une terreur bien plus atroce que la tête de la méduse entourée de serpents, et ce fut dans l'auditoire un charivari d'applaudissements et de huées'... " (H.W.)

Variantes

Le motif qui a servi à présenter le distingo initial D4 et R4 est similaire, et souvent même les branches se prolongent "indéfiniment", comme si le motif n'était plus qu'un noeud de lignes infinies:

                  Iasos (Turquie): Dallage              Didymes (Turquie): Base de colonne               Palmyre (Syrie): Frise

Noter, pour l'image centrale, l'utilisation décorative de plusieurs symétries: le "petit" motif D4 s'insère dans un motif carré dont le groupe d'invariance est R1 (2 éléments!), lui même répété de nombreuses fois (Rn, n = ???)

          Khiva (Ouzbekistan): médersa Alla Kouli              Isfahan (Iran): Mosquée du Vendredi
          base de colonne en marbre; voir à gauche

D'autres motifs


                                  Bukhara (Ouzbekistan)               Isfahan (Iran)                     Yazd (Iran)   
                                  Ensemble Poi-Khalian         Mosquée de l'Emam         Mosquée d'Amir Chakhmaq
Le dernier offre trois motifs invariants par  R4, car outre le motif central, le contour offre les deux types de svastikas, dextrogyre et senestrogyre!

D'Abu-Al-Wafa à Kazimir Malevitch

A la mosquée du Vendredi, à Isfahan, une figure attire l'oeil en plusieurs endroits du monument:

               Iwan Ouest (détail)                               Figure d'Abu Al-Wafa

Elle serait inspirée de la figure prouvant "par dissection" le célébrissime théorème de Pythagore et donnée par Abu Al-Wafa (940-998), auteur d'un Livre des Constructions Géométriques Nécessaires à l'Artisan (Kitab Fi Ma Yahtaju Al-Sani Min Al-a Mal Al-Handasiyya) qui eut un grand succès auprès de ses destinataires... ceci explique peut-être cela: les pièces du puzzle en forme de quadrilatère (formé par deux triangles rectangles symétriques) ont juste été un peu "écartées" du carré central.

Isfahan (Iran), mosquée du Vendredi: Iwan Ouest
En agrandissant l'image, vous distinguerez nettement le motif sur la partie droite et en bas, à l'intérieur. (Pour une vue d'ensemble de la cour, iwans Ouest et Sud, cliquer ici). C'est la plus grande mosquée d'Iran; sa construction date du XI-ème siècle, mais elle dut être reconstruite en 1121 après un incendie, et les porches datent plutôt du XV-ème siècle.

Ce motif se retrouve également sur la façade de la mosquée de l'Emam, à Isfahan, mais aussi à l'intérieur de la "mosquée dorée", Tillia-Kari, à Samarcande.

         Isfahan (Iran), mosquée de l'Emam                            Samarcande (Ouzbekistan), mosquée Tillia-Kari
N.B. Le théorème de Pythagore a de très nombreuses preuves possibles, et les découpages y occupent une place de choix. Art et Géométrie se sont souvent mutuellement inspirés... quand ils n'ont pas, indépendamment, découvert les mêmes images! On peut donc se demander si Kazimir Malevitch avait vu la preuve chinoise du Chou pei suan ching (circa. 1100 av. J.C.)...En tout cas, c'est encore une belle figure pour R4.

    Carré Blanc sur Fond Blanc, 1918. MOMA, New York

Pour finir, R4 en action!

Des Moulins...

Beaucoup de moulins à vent, en Europe du Nord (et l'Europe du Nord commence dans les Flandres...), ont quatre branches. Mais c'est une nécessité technique, pour l'efficacité de la propulsion, que la toile ne soit pas dans le plan de ces quatre branches: ainsi nait pour l'ensemble en rotation une symétrie du type R4 et non D4!

                                       Près d'Hälsingborg (Suède)                        Ile d'Öland (Suède)

...et des Hommes

Voici un exercice traditionnel du Mexique, le Palo Voladar:  les 4 acrobates se jettent dans le vide, leurs cordes d'attache se déroulent petit à petit et entrainent la rotation de l'ensemble.

Tulum (Mexique)