LAGRANGE, Bicentenaire... et Flashback Italien

Et si, pour une fois, nous prenions l'Histoire à rebours? Ce sont les cérémonies commémoratives qui ont motivé la première construction de cette page de souvenirs, mais, bien évidemment, le Mathouriste se devait aussi d'aller sur les lieux de sa naissance, cueillir d'autres souvenirs. Ce qui fut fait, quelques 10 ans plus tard...

Le Bicentenaire de son décès (2013)




avec un portrait conservé à l'École Polytechnique

Vendredi 6 Décembre 2013, un hommage a été rendu à Lagrange, à l'Institut Henri Poincaré et au Panthéon. Voici quelques souvenirs pris à la volée.

Départ de l'I.H.P.


Des X... à la Rue d'Ulm!

Arrivée au Panthéon





Entrée au Panthéon






Dépôt de la gerbe... et salut au premier professeur d'Analyse de l'École Polytechnique





Mais qu'y a-t-il sur le ruban? Ah, oui, bien sûr! L'équation d'Euler-Lagrange...... qu'on retrouve sur le mug commémoratif!

Il s'agit de l'équation fondamentale du Calcul des Variations, nom donné par Euler lui-même à la brillante généralisation de son opus de 1744, publiée par Lagrange en 1762. Il le reconnaît d'ailleurs avec une belle sportivité!




"
"Après m'être longtemps et inutilement fatigué à chercher cette intégrale, quel a été mon étonnement lorsque j'ai appris que dans les Mémoires de Turin le problème se trouvait résolu avec autant de facilté que de bonheur. Cette belle découverte m'a causé d'autant plus d'admiration qu'elle est plus différente des méthodes que j'avais données et qu'elle les surpasse considérablement en simplicité."
L. Euler

Ce problème est issu de celui de la courbe brachystochrone (courbe de descente la plus rapide entre deux points fixés); il s'agit de trouver la courbe qui minimise le temps de parcours parmi la très vaste infinité de toutes les courbes possibles et imaginables; comme Lagrange le souligne d'entrée, c'est une minimisation bien plus redoutable que parmi les valeurs réelles voisines dans le cas du minimum d'une fonction.  La solution en est la cycloïde (à voir dans cette page sur Pascal). Pour plus de précisions sur le tavail de Lagrange, voir la vidéo de Sylvia Serfaty à la BnF.



Le discours d'hommage, par Jérôme Perez, organisateur de la manifestation.

Ce discours ne pouvait, bien sûr, manquer de rappeler le rôle de premier professeur exercé par Lagrange dans les deux plus prestigieuses grandes écoles françaises. Il n'y avait pour cela de meilleur lieu, dans le Panthéon lui-même, que le monument à la Convention, à qui ces institutions aussi modernes que bicentenaires doivent leur création, sous l'impulsion décisive de Carnot. Mais dans la pierre,  le fronton de l'École Polytechnique, sur la rue Descartes,  le fera mieux que toute autre citation: le visage de Lagrange y est gravé en médaillon; il est le plus à gauche, et voisine avec celui de Laplace.




À l'École Normale, c'est dans le souvenir du plus illustre des élèves de la première promotion que nous trouverons un autre portrait:

«Lagrange, le premier des savants d'Europe, paraît avoir de 50 à 60 ans: il est cependant plus jeune; il a dans les traits de la dignité et de la finesse dans la physionomie; il paraît un peu grêle et pâle; sa voix est très faible, à moins qu''il ne s'échauffe; il a l'accent italien très marqué et prononce les s comme des z; il est très modestement vêtu en noir ou en brun; il parle très familièrement et avec quelque peine; il a dans la parole l'embarras et la simplicité d'un enfant. Tout le monde voit bien que c'est un homme extraordinaire, mais il faut l'avoir vu pour y reconnaître un grand homme. Il ne parle que dans les conférences, et il y a telle de ses phrases qui exciterait la risée. Il disait l'autre jour: "Il y a encore sur cette matière beaucoup de choses importantes à dire, mais je ne les dirai pas. "  Les élèves, dont la plupart sont incapables de l'apprécier, lui font assez peu d'accueil, mais les professeurs le dédommagent.»

Notes manuscrites de Joseph FOURIER


Le Bicentenaire Lagrange, ce fut aussi, et c'est toujours (en ligne):

Un film...

présenté en avant-première au colloque de l'IHP; il est disponible (cliquez sur l'image) sur la chaine U-Tube de l'Institut. Direction scientifique : Frédéric Brechenmacher, Réalisateur : Quentin Lazzarotto

Des conférences (journée du 6/12/2013)...


Une exposition...




à l'École Polytechnique et (brièvement, hélas...) à la Mairie du Vème Arrondissement de Paris.
Elle a, comme le film, été conçue par Frédéric Brechenmacher, et reste disponible en prêt pour des institutions.
Frédéric Brechenmacher a, pour ceux qui ne pouraient la voir, proposé six articles illustrés sur le site "Images des Mathématiques" du CNRS:
  1. Les lieux de Joseph-Louis Lagrange
  2. Faire des mathématiques par lettres
  3. Les Académies : sciences et société sous l’ancien régime
  4. La révolution
  5. De la figure du savant académicien à celle de professeur
  6. Lagrange, Comte d’Empire

D'autres conférences à l'IHP (journée du 17/06/2013)...

 Cette journée était organisée par le Séminaire d'histoire des mathématiques de l'Institut Henri-Poincaré

Et un grand BRAVO aux organisateurs de la Journée! De gauche à droite:
Jean-Philippe Uzan, Quentin Lazzorotto, Cédric Villani, Frédéric Brechenmacher,
Jérôme Perez


Et à la BnF (Cycle Un texte, un mathématicien le 4/04/2012)...

Le Bicentenaire Lagrange, ce fut aussi... en Italie!

Une balade à Turin

C'est là qu'est né Giuseppe Luigi, comme il se prénommait alors, et comme l'atteste la plaque apposée sur sa maison natale; une petite restauration ne serait pas superflue pour sa lisibilité.


"Joseph Louis Lagrange est né dans cette maison le 25 janvier 1736"
"Par décret de la commune"

«Son père était riche, il avait fait un mariage avantageux, mais il s'était ruiné dans des entreprises hasardeuses. N'en plaignons pas M. Lagrange. Lui-même envisageait ce malheur comme la première cause de tout ce qui lui était arrivé ensuite de plus heureux. S'il avait eu de la fortune, a-t-il dit lui même, il n'eût probablement pas fait son état des Mathématiques [...]»

J.-B. Delambre, Notice sur la Vie et les Ouvrages de M. le Comte J.-L. Lagrange, in Œuvres, t1.


La rue a été baptisée Luigi Lagrange en son honneur; c'est une grande artère piétonne et commerçante de la ville. Elle s'élargit sur une petire place, fermée à l'arrière par une colonnade, la piazetta Lagrange, avec en son centre la statue du héros. Elle aurait encore plus de charme si elle ne constituait un ridicule parking pour une dizaine de voitures... et quand elle n'est pas encombrée par des travaux, qui, malchance, n'ont pas facilité les prises de vues du Mathouriste .Restait la nuit, quand la lumière met en valeur l'arcade, et l'ombre dissimule les éléments disgrâcieux.


Le couchant est un autre moment favorable, quand le soleil illumine par ses reflets les vitres du bâtiment latéral:




Notez la dédicace sur le socle: "à Luigi Lagrange, la Patrie"

Il y a aussi, sur cette place, un café à l'enseigne sympathique; le médaillon reprend un profil bien connu du mathématicien




Non loin de là, l'Académie des Sciences de Turin partage désormais son palais avec le splendide musée égyptien de la ville. Lagrange en est l'un des fondateurs, en , sous le nom de Società Scientifica Privata Torinese.



Le premier article qu'il y publie, en 1759, a trait aux conditions suffisantes pour qu'une fonction de plusieurs variables possède un extremum en un point où ses dérivées partielles premières s'annulent (condition nécéesssaire qui traduit l'annulation de la dérivée pour chacune des fonctions d'une variable, prise en fixant toutes les autres)

Il présente le cas de deux variables, en réduisant sur la forme quadratique, comme on l'enseigne encore aujourd'hui en prépa et en premier cycle universitaire.
article complet: Œuvres, t1 (sur Gallica)


 

Une exposition à Turin...

à l'initaitive de l'Académie des Sciences de Turin, en collaboration avec l'IHP.



Des Conférences à la Scuala Normale Superiore de Pise...Lagrange two hundred years later (15-18/04/2013)


Rendez-vous chez Lagrange...

Le 31 Juillet 2023, un mois après son lancement (1er Juillet), le télescope spatial Euclid a rejoint le point d'observation d'où il va scruter l'univers, le point de Lagrange 2, disent un peu vite les media... quand ils le disent. Et d'ailleurs, le dire n'est pas sans risque, car, en matière de science, changer un mot en un autre, qu'un non-spécialiste peut de bonne foi croire équivalent, présente le risque d'énoncer... quelque chose de faux.
La mésaventure est ainsi arrivée à une journaliste de la fort sérieuse RTS (Radio Télévision Suisse), que nous ne voudrions surtout pas moquer, car elle signe sous forme de pages web pour cette même radio et
sur ce même sujet, des articles sans faute, de très bonne tenue, accompagnés d'illustrations pertinentes (Vous en trouverez les références plus bas). Mais voilà, la loi télévisuelle la contraint dans un espace plus restreint que s'il s'agissait d'un match de foot en coupe d'Europe, et pour tenir dans l'espace alloué en simplifiant un peu, la voici qui déclare:

"Ce télescope a été envoyé au point Lagrange 2; c'est un endroit très stable, idéal pour les observations précises; c'est là aussi que se trouve le télescope spatial James Webb."

Cette phrase comporte deux erreurs, l'une particulièrement évidente (et partant, bénigne) parce qu'elle provient d'un raccourci: les deux satellites ne peuvent occuper le même point, car personne à l'ESA ou à la NASA n'a envie d'organiser un... télescopage de téléscopes: ces bijoux technologiques ont coûté fort cher, et pas seulement en unités monétaires, mais aussi en années de recherches et mise au point des instruments, mobilisant des équipes importantes. Il s'agit bien sûr de les envoyer à proximité de ce point, mais c'est nettement plus complexe qu'une simple assignation de places de parking, en raison du problème que soulève l'autre erreur, bien plus pernicieuse (et que commet aussi, soit dit en passant, Courrier International, qualifiant L2 de "position de stabilité gravitationnelle"): non, ce point n'est pas stable, il est instable! Si l'on voulait comparer à une situation mieux connue, ce serait l'affectation de couloirs aériens plutôt que de places de parking. Mais reprenons les choses au début.

Le Point sur... ses Points 

Les points de Lagrange de deux planètes sont des points où leurs attractions respectives (sur un troisième corps, un satellite par exemple) se compensent exactement. Il y a donc autant de systèmes de points de Lagrange que de couples de planètes; ceux qui vont nous intéresser sont ici ceux du système Soleil-Terre, mais il y en a aussi pour le système Terre-Lune, pour le système Soleil-Jupiter (comme on le verra ci-dessous), etc... ce sont donc des points d'équilibre du champ de gravitation auquel est soumis le satellite. Il est temps de regarder où ils se trouvent! L'image ci-contre nous les montre.

Le plus évident intuitivement est sans doute L1: on conçoit facilement qu'en se déplaçant en ligne droite entre les deux masses attractives, il existe un point où l'influence de la première cesse d'être prédominante au profit de la seconde. Mais il en existe deux autres sur cette ligne, à l'extérieur du segment des deux masses;
L2 est justement un de ces deux points. Ces trois premiers points ont en fait été mis en évidence par Euler, et le mérite de Lagrange est d'avoir découvert les deux derniers, L4 et L5, qui forment avec L3 un triangle équilatéral, raflant ainsi la mise de l'appellation.

timbre allemand, de réalisation personnelle (source)

Plus précisément, on peut les voir sur la "carte d'état-major" qui met en évidence les lignes équipotentielles su champ de gravitation résultant de l'attraction des deux masses; elles sont l'analogue des lignes de niveau du terrain sur une carte géographique: sur une telle ligne, le niveau, qu'il s'agisse du potentiel de gravitation pour la première, de celui de l'altitude pour la seconde, reste constant. Ce qui n'intéresse pas que les militaires, tous les amateurs de randonnées en montagne sont habitués à les lire et les interpréter, ils ne devraient donc avoir aucun mal avec les images ci-dessous. L'allure des lignes est la même en
L1 et en L2 , mais la figure le fait voir plus clairement dans le cas de L1. Et cette allure est typiquee d'un col...




Une  situation géographique analogue, sur une carte de randonnée (col du Pas de Peyrol, au voisinage du Puy Mary, Cantal)

Vision tridimensionnelle de la situation géographique analogue.

En un col, il y a pour l'altitude un minimum sur la courbe jaune, joignant deux sommets, mais un maximum pour la ligne joignant deux vallées.

Le modèle mathématique le plus simple est un paraboloïde hyperbolique (modèle el plâtre, collection de l'IHP); détails à voir dans notre page sur cette belle surface.




Les anglo-saxons préfèrent l'appellation point-selle (saddle-point), fort évocatrice... Le Mathouriste n'a pas hésité à se rendre à Fort Worth,Texas pour vous offrir cette image d'une selle de 1847 qui confirme la pertinence de la dénomination.

Un point-selle est instable: une bille posée en ce point, à la moindre pichenette, au moindre souffle, partira dans l'une ou l'autre des vallées. Dans l'espace, L1, L2 et L3 sont tous des équilibres instables: le plus petit écart d'un satellite qui s'y trouverait le ferait basculer sous l'influence gravitationnelle prépondérante, soit de la Terre, soit du Soleil.



Les astéroïdes Troyens (source: Wikipedia)

En revanche, les points L4 et L5 sont toujours stables; une manifestation bien concrète se montre dans le système Soleil-Jupiter, où deux "paquets" d'astéroïdes, dénommés Troyens, se regroupent au voisinage de L4 et L5, Peut-être ont-ils "voyagé" auparaavant, mais une fois piégés à cet endroit, ils n'ont plus l'énergie pour s'en extraire, et une petite perturbation n'aura aucun effet notoire; ils seront naturellement ramenés dans cette zone.

On a dénombré, en 2023, 7 079 troyens de Jupiter, dont 4 603 au niveau du point de Lagrange L4 (dit camp grec) et 2 476 au niveau du point de Lagrange L5 (dit camp troyen). C'est qu'en effet, le premier découvert (par Max Wolf, en 1906) avait été baptisé... Achille, grec notoire! S'en suivit l'idée de les nommer d'après l'Illiade, en les répartissant en Grecs et Troyens.

Le système Soleil-Terre en possède aussi, mais les deux premières découvertes sont très récentes, et les noms qui leur ont été attribués (provisoirement?) ne feront pas rêver les amateurs de mythologie: 2010TK7 (
L4, en 2011), 2020XL5 ((L4, en 2021).

Équipotentielles et points de Lagrange ont même été gravés sur le mug commémoratif du bicentenaire 2013. Au dessus de la carte des équipotentielles figure la surface représentative.



Et voici enfin les deux prmières pages du fameux mémoire de 1772, dans lequel il énonce la découverte de
L4 et L5. Le commentaire n'est pas vraiment prophétique! Il est vrai que le grand problème est en ce temps, et il le demeure aujourd'hui, la description des trajectoires de trois corps en interaction gravitationnelle; en particulier, le système Soleil-Terre-Lune attire toute son attention. Pour rappel, la même loi de Newton régit le cas de deux corps, où l'on obtient aisément des solutions explicites, et celui de trois, où aucune solution générale ne peut être explicitée: une fois encore, et contrairement à ce que trop de non-initiés croient, les mathématiciens, fussent-ils dles meilleurs, ne sont pas des distributeurs automatiques de formules!




Au Service de l'Étude de l'Univers

“Les points de Lagrange sont spéciaux – c'est vrai qu'il n'y a rien à cet endroit.”
Markus Landgraf, Centre des Opérations ESA, Darmstadt (RFA)

Quid alors de James Webb et d'Euclid? Ils ne sont donc pas exactement en
en L2 , mais en orbite autour de lui, Être proche du point d'équilibre permet de se maintenir à poste avec une dépense d'énergie minimale: la dérive qu'impose le champ de gravitation à proximité est faible (par proximité de l'équilibre), il suffit d'effectuer périodiquement de petites corrections de trajectoire, peu coûteuses en carburant pour la même raison. Ce qui n'a rien d'un luxe intellectuel, car ce carburant, il a fallu l'emporter; il fait donc partie de la charge utile du satellite. D'où l'intérêt d'en emporter le moins possible tout en faisant durer la mission le plus possible (quand il sera épuisé, le téléscope spatial dérivera dans le champ gravitationnel).: le placement près d'un point de Lagrange est la réponse optimale à ce type de contraintes.


  (source: Wikipedia)

Voici, à titre d'exemple, la trajectoire de James Webb, depuis la Terre jusqu'à L2 et autour... un régal pour amateurs de géométrie descriptive, avec ses 3 vues (en correspondance 2 à 2) sur des plans de références perpendiculaires!

Si on prend la peine d'y réfléchir,
L2, point instable, a, malgré les apparences immédiates, plus d'avantages que d'inconvénients pour y installer un engin d'observation: l'absence d'astéroïdes au voisinage (qui est une conséquence de cette instabilité) diminue le risque de collision qui pourrait endommager le satellite et ses appareils -cauchemar récurrent des équipes qui surveillent le bon déroulement du vol- et de surcroît, L2 est toujours dans l'ombre de la Terre, donc le Soleil ne perturbe pas l'observation et la photographie des lointaines galaxies. Qui plus est, le Soleil ne se trouve ainsi jamais entre le satellite et la Terre, ce qui assure d'excellentes communications, garantes de l'intégrité des données transmises.

Le point de Lagrange L2 du système Soleil-Terre avait édéjà été utilisé par les satellites Herschel et Planck ; tous deux ont fini leurs missions en 2013, et, grâce à l'absence volontaire de correction de trajectoire, ont glissé naturellement hors du voisinage. Autant libérer la zone le plus possible avant d'y envoyer d'autres engins.

Un troisième observatoire y était en place avant
James Webb et d'Euclid. Lancé par l'ESA comme ce dernier, il a pour nom Gaïa, et navigue plus près de L2 , sur une orbite de Lissaajous (Salut à toi, Jules!)


Orbite de Gaïa,
vue de la Terre. (sur le site de l'ESA)
Elle s'inscrit dans un rectangle, c'est "typiquement Lissajous"!

Un quatrième devrait les rejoindre en 2027, le Nancy Grace Roman Space Telescope.

capture d'écran faisant clairement voir les orbites de J. Webb (bleue), Euclid (verte) et Gaïa (jaune) ayutour de . Image à agrandir par clic.
Voir l' Animation vidéo réalisée par l'ESA, sur YouTiube

En revanche L1 est une position intéressante, entre Soleil  et Terre, pour étudier l'étoile qui nous éclaire et nous chauffe: on y a donc placé le satellite d'observation SoHO.

Placer un télescope spatial au point L4 ou L5 du système Terre-Lune? Cela a été envisagé, mais des nuages de poussière y ont été observés (accumulation provoquée par la stabilité de ces points...), si bien que le projet a été abandonné: illustration concrète de l'avantage, tout bien pesé, d'un point instable sur un point stable!

La science-fiction en a également tiré parti:  Dans la "suite" donnée par
Peter Hyams: 2010, l'Année du Premier Contact au mythique 2001, l'Odyssée de l'Espace de Stanley Kubrick,  le vaisseau Discovery est garé en orbite à un point de Lagrange du système formé par Jupiter et son satellite Io. Rendez-vous chez Lagrange, donc, encore une fois, pour savoir où en est le pervers ordinateur HAL -qui, a n'en point douter, faisait preuve de plus d'Intelligence Artificielle que ChatGPT, sauf que l'expression n'était pas encore dévoyée, à l'époque de Stanley Kubrick.



Garé au parking Lagrange, dites-vous?
        Ah non, pas celui-ci! Pas à Paris, par Jupiter!




Plus sur les Points de Lagrange et leurs "visiteurs"

Références complémentaires

Petits plus Parisiens...(et Turinois)







Surla tour Eiffel... à trois cases de Laplace!


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