Quadriques Architecturales (V)...

Cylindres et Cônes

On pense sans doute immédiatement aux tours de châteaux-forts... De tels exemples ne manquent pas, mais il y a, en cherchant un peu, plus original... et surtout, plus ancien!

Les Cylindres :

modèles x²/ + y²/b² = 1 , y - x² = 0

Génératrices Verticales :

Les bâtiments à colonnes
 font apercevoir de manière naturelle les génératrices d'une implantation cylindrique, ainsi la fameuse tholos de Delphes (Grèce): le cylindre est de révolution.


Ce n'était pas un cas isolé dans le monde Grec; le temple d'Aphrodite à Cnide (Asie Mineure, aujourd'hui Turquie) avait une forme similaire, mais aucune colonne n'a été redressée sur le site. (Voir notre page: Eudoxe à Cnide)

Cet exemple a, bien sûr, inspiré les Romains, avec trois réalisations importantes dans leur capitale

Rome: Temple B du Largo di Torre Argentina, Temple de Vesta (Forum), Temple d'Hercule Victor (Forum Boarium)

Le temple de Vesta est le plus ancien (IIIème siècle avant J.C.); les deux autres datent de la fin du IIème siècle avant J.C. Sa forme circulaire serait, selon Ovide, une référence à celle de la Terre.
La Renaissance prône un retour à l'Antiquité: son acte fondateur en architecture, le Tempietto de Bramente, reprend en 1502 cette forme avec une légèreté remarquable. (Il est, malheureusement, "encastré" dans une cour sans recul de l'église San Pietro in Montorio,  qui en étouffe partiellement l'élégance)


Le Tempietto;  croquis par un autre maître de la Renaissance, Palladio

Mais il est plus extraordinaire d'avoir... un cylindre elliptique!

Forum elliptique de Jerash (Jordanie)

Il serait très intéressant de disposer d'un plan précis du site, afin d'étudier l'adéquation du modèle elliptique à cet ovale...En tout état de cause, il s'agit d'une figure rare (la seule?) dans la partie Moyen-Orientale de l'Empire Romain.

Vers 1660, Bernini adopte l'idée d'une place elliptique à colonnade pour Saint-Pierre de Rome.

Vue "classique" depuis le dôme de Saint-Pierre, gravure de Piranesi (1748)

L'ellipse (grand axe a = 320m, petit axe b = 240m pour la plus grande, soit la colonnade extérieure) parait, cette fois, revendiquée, puisque Bernini est réputé avoir placé les fontaines aux foyers; précisons que l'une des deux existait...il organisa donc son ellpse en fonction de ce foyer, et fit compléter ultérieurement par une autre fontaine au deuxième foyer. De fait, une mesure sommaire (forcément) à partir de  la version aggrandie de l'image ci-dessous s'avère cohérente: l'excentricité calculée est exactement e = c/a = 0,5; c, distance  du centre au foyer, est calculé par c² = a² - b².
Or, les fontaines se trouvent à mi-distance de la colonnade externe et de l'obélisque centrale.


Image aérienne empruntée au site www.saintpetersbasilica.org

Un point supplémentaire mérite l'attention... et, sans aucun doute, l'approfondissement. Deux plaques au sol, placées sur le grand axe et symétriquement par rapport à l'obélisque, indiquent le centre de chaque colonnade, point, supposé visuellement optimal, d'où l'espacement des colonnes est régulier et où les 4 rangées se confondent en une seule.


Le cliché central est emprunté au site www.saintpetersbasilica.org

SI la colonnade est alors vue comme un cercle -ce que laisse clairement supposer le mot de centre... le choix optimal de placement pour la plaque est au centre de courbure à l'extrémité du grand axe: le cercle de courbure est le cercle le plus proche de l'ellipse que l'on puisse trouver. Son rayon est facile à trouver , du moins pour qui sait un an de Maths après le bac: il vaut b²/a = 180m. Ce qui situe la plaque à 20m de la fontaine...
Or, il semble assez facile de l'estimer. L'endroit se repère du haut de la coupole, parce qu'il y a toujours un petit agrégat de touristes qui "testent" la propriété. La hauteur de la colonne (25,3m) donne l'échelle et le plan de l'obélisque et du grand axe est frontal, ce qui minimise la distorsion due à la photo: peut-on demander mieux? Imprimez les photos, faites le test et vous verrez que cela ne tombe pas bien loin! (Compte tenu de la rusticité de la méthode, trouver le résultat à 1m près nous semble évidemment tout à fait satisfaisant...)


Des temples cylindriques en brique
ont aussi été construits à Rome dès la période antique; ce sont des cylindres de révolution. Ils ont systématiquement été reconvertis en églises chrétiennes.

Temple de Romulus (Forum), Église San Teodoro, Panthéon

Ils sont tous postérieurs à la naissance du Christ: le soi-disant "temple de Romulus" (il était dédié au fils de Maxence, mort en 307) date du IVème siècle , San Teodoro du VIème siècle, et le Panthéon du IIème siècle (sous sa forme actuelle, des incendies ayant ravagé les versions précédentes)
La greffe du pronaos rectangulaire et le manque total de recul et de dégagement confèrent au Panthéon, vu de l'extérieur, une lourdeur peu commune. La magie ne fonctionne qu'à l'intérieur... on en reparlera plus loin dans ces pages!

Le "Problème" des Amphithéâtres
Le cylindre elliptique (ou couramment supposé tel) le plus photographié au monde: le Colisée. En fait, la structure fait apparaître plusieurs cylindres concentriques.



La forme elliptique s'apréhende bien mieux -du moins, pour le visiteur qui n'y arrive pas en hélicoptère) de l'intérieur!



Petite mosaïque elliptique...

Pour des photos plus "jolies" du monument, rien ne vaut la nuit... vous en trouverez sur la page Colisée de Wikipedia.
Bien entendu se repose la question formulée sur celui de Jerash: la base de ce cylindre est elle exactement elliptique ou s'agit-il d'un autre ovale? Et là s'ouvre un immense champ de calcul et de réflexion: d'une part, la liste des amphitheâtres romains est considérable, commençant à Pompéi, le plus ancien connu (80 av JC); d'autre part, ils ont clairement des bases de forme ovale et  non circulaires (voir la liste des plus grands sur Wikipedia, et plus de généralités sur les amphithéâtres).
En manière de position du problème, quelques petites vignettes renvoyant à des clichés trouvés sur Wikipedia (Le Mathouriste  ne pratique pas la photographie aérienne):

Pompéi (Italie), Pula (Croatie), Nimes (France)

Divers auteurs ont argumenté le pour et le contre d'une ellipse où d'un ovale fait de quatre arcs de cercle raccordés, selon l'une des constructions proposées en 1537 par l'architecte  Sebastiano Serlio (1475-1554). Ils sont loin d'être unanimes... et se partagent assez équitablement entre tenants de l'ellipse et du "quadrarcs". Et comme l'approximation d'une ellipse par cette méthode est plutôt bonne, cela rend le débat encore plus indécis. Le Mathouriste  a trouvé pour vous un article récent de Paul Rosin (Cardiff School of Computer Science) et Emanuele Trucco (Université d'Édimburg), lui paraissant digne d'intérêt, et qui, après une étude statistique opérée sur des données précises relevées au  Colisée, conclut à une lutte serrée, mais avec un petit avantage à l'ellipse!
Cet autre article traite le cas de la Place Saint-Pierre.

Génératrices Horizontales :

La voute cylindrique apparait dans l'Empire Romain, prolongeant par translation le principe de l'arche Étrusque. La réalisation la plus parfaite est celle des arcs de triomphe:

Leptis Magna (Lybie), arc de Septime Sévère
Vues dans deux directions perpendiculaires et détail de la voute.

L'Empire Sassanide l'adopte également; la structure "coupée" des iwan nous permet une observation privilégiée de la section circulaire:

palais d'Ardéchir 1-er, à Firuz-Abad (Iran)

Pour sa capitale, Ctésiphon (Irak actuel), Ardéchir 1er a fait construire une voute qui est un cylindre parabolique, si l'on en croit nos yeux... et cette intéressante page à l'Université de Berkeley. (d'autres images, un autre site)

Cliquez pour agrandir cette image du domaine public

Cette arche de 35m de haut, 25m de large est la plus grande voute en briques au monde!
A des tailles bien plus modestes, on gagne en charme ce que l'on perd en grandiose, par exemple dans les petits "chateaux du désert" Ommeyades

Qasr-el-Amra (Jordanie)

ou  la nef des  églises des Cyclades, d'allure parabolique (ou s'agit-il d'un cercle prolongé par deux tangentes? On peut parfois hésiter! -peut-être selon l'habileté des bâtisseurs...)

Santorin                                               Mykonos, Agya Heleni
Comme on le voit, sphère et cylindre s'y mêlent pour notre plaisir...

Et si vous voulez voir les génératrices... n'hésitez pas à vous rendre à la petite chapelle ND de Héas, dernier village sur la route du cirque de Troumouse, dans les Pyrénnées, près de Gavarnie. Cet ancien lieu de pélerinage fut malmené en 1915 par une avalanche; la restauration des voutes cylindriques d'origine s'est accompagnée d'un revêtement en lattes de bois idéal pour notre propos!

Notre Dame de Héas (Hautes Pyrénées)
Et le cylindre elliptique, alors?
Les voûtes ovales existent depuis l'Antiquité Egyptienne; la section est souvent ce que l'on appelle une "Anse de Panier", c'est à dire une construction raccordant trois arcs de cercle. Celle-ci était d'ailleurs couramment employée par les dessinateurs pour approcher une ellipse, si bien qu'il n'est pas aisé de distinguer parmi les voûtes celles dont on en a vraiment voulu qu'elles soient elliptiques. Il y a tout de même un cas où l'intention est claire: la rencontre de l'obligation morale de confesser les lépreux et de ce que l'on n'appelait pas encore le principe de précaution fit réaliser des voutes obéissant aux lois de la réflexion de l'ellipse: le pénitent pouvait chuchoter à un foyer, le confesseur l'entendre à l'autre tout en restant à bonne distance... et le secret de la confession être aisi respecté!

Propriété bifocale de l'ellipse: figure "classique" et selon Athanasius Kircher,
Musurgia Universalis sive Ars Magna Consoni et Dissoni (Rome, 1650)

Ce principe est revendiqué dans une salle, dite de l'Echo, de l'abbaye de la Chaise Dieu (XIV-ème siècle, France, Haute-Loire... encore trop près des lieux fréquentés chroniquement par le Mathouriste pour qu'il  ait pensé à y promener son appareil photo!!!).

Enfin, le cylindre  peut aussi  se faire élément de décoration:

Alcazar, Séville (Espagne)

Le Cône de Révolution :

modèle x² + y² - z² = 0

Les théâtres Grecs, creusés dans une colline pour les adosser "confortablement", offrent un excellent exemple de cône, vu de l'intérieur... ce qui n'est pas si fréquent.

Théâtre de Pergame (Turquie)

La deuxième photo suggère en fait une succession de troncs de cônes; la dernière rupture de pente est particulièrement nette.

Contrairement à sa consœur ionienne, à fût cylindrique, la colonne dorienne, plus ancienne, est à fût tronc-conique.

Corinthe (Grèce), temple d'Apollon

 C'est aussi le cas des colonnes des palais Crétois, à la différence remarquable que c'est la partie la plus mince qui se trouve à la base.

Palais de Cnossos (Crète): Appartements royaux, Bain lustral

De nombreux minarets d'Asie Centrale ont été conçus en formes de  cônes:

Mosquée d'Islam Khodja (Bhukara, Ouzbékistan)                                                 Kalta Minor (Khiva, Ouzbékistan)
 

Des Cônes quelconques?

ou...Le "Problème" des Amphithéâtres (bis)
Si l'on prend ici pour hypothèse ce qui semble être un résultat acceptable dans l'évocation précédente des amphithéâtres romains: ils sont délimités par un cylindre elliptique, le premier mouvement est de dire que leur cavea est un cône dont les sections perpendiculaires à l'axe sont des ellipses. Donc, pas de révolution!
Comme pour le cas des cylindres, illustrons avec quelques vignettes issues de Wikipedia :


Syracuse (Sicile), Arles (France), Capoue (Italie)

L'image des arènes d'Arles est une maquette provenant de ce site; nous l'avons choisie parce qu'elle privilégie de façon spectaculaire notre première impression visuelle. Une étude approfondie (non mathématique!) de ce monument se trouve ici, avec en annexe de nombreuses photos.
Il y a peut-être une faille dans le raisonnement précédent: qui nous dit que toutes les sections par des plans verticaux (les bords des escaliers entre travées en fournissent une visualisation) convergent vers un même point?
Saisi par le doute, le Mathouriste  s'est armé d'un plan sommaire des arènes d'Arles (issu de l'annexe précédente), d'un stylo... n'hésitez pas à cliquer pour faire vous-même cette petite expérience!

Résultat? Négatif! Par contre, il nous a semblé voir plusieurs points de convergence... comme si le tracé avait été effectué selon une méthode de Serlio! Quelques heures pllus tard, le Mathouriste, si l'on ose dire, "trouvait le corrigé sur Internet": le cas de Pompei étudié par une architecte:
Sylvie Duvernoy: Architecture and Mathematics in Roman Amphitheatres, Nexus IV,2002
et dont la figure est reprise par cet article.
Dès lors, la conclusion de l'affaire sera que l'on est en présence d'une juxtaposition de portions de cônes de révolution.

Intersections de Cylindres :

[ par suite de l'augmentation de la matière traitée, vous retrouvez ce titre sur la page suivante ]

Hélices Cylindriques et Coniques :

[ par suite de l'augmentation de la matière traitée, vous retrouvez ce titre sur la page qui suit Intersections ]

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