Constructeur Universel Equations

Son fronton, au dessus du porche aux belles pierres taillées en diamant, rappelle que cette demeure de style renaissance fut édifiée pour son père, en 1648: c'était un commerçant important, et le chef des protestants de la ville. Aucune plaque commémorative pour Janos...

Passées les lourdes portes de bois, un long passage voûté mène à une cour intérieure, qui accueille aujourd'hui quelques boutiques.


Une belle plaque de cuivre, avec un nom évocateur du lieu, guide vers une sympathique taverne...

Polyvalent, comme presque tous les savants de son temps, Segner s'est occupé de physique (son moteur à turbine hydaulique est l'invention qui lui a donné la plus grande célébrité, le voir sur Wikipedia), mais aussi de mathématiques - il occupa la première chaire de mathématiques à Göttingen, de 1735 à 1755, mais il a été quelque peu éclipsé par un de ses successeurs. Son Cours d'Arithmétique et de Géométrie est disponible en ligne à l'Université de Strasbourg, si le cœur vous en dit... et si vous aimez lire en gothique!


Un aperçu de l'ouvrage: page de titre, premier chapitre

Les Nombres de Catalan, si utiles en combinatoire et en informatique (dénombrements d'arbres binaires, par exemple) se sont d'abord appelés... nombres de Segner! C'est toutefois dans un registre plus hardware que nous allons découvrir son étonnante contribution.

... Une Machine!

Il a publié la description de sa machine en 1761; l'Encyclopédie, quant à elle, avait été commencée en 1751 (deux volumes), puis interdite, reprise en 1765, pour s'achever en 1772 sur une de ses innovations majeures: les 11 volumes de planches décrivant les métiers et procédés mécaniques. C'est donc, avec la machine de Segner, une nouveauté scientifique qui intégrait l'Encyclopédie; de façon générale, cette "prise directe" sur son époque était l'une des caractéristiques révolutionnaires de l'ouvrage.
Lagrange la présenta dans sa 4-ème leçon à l'École Normale de l'an III (qui deviendrait l' École Normale Supérieure) du 6 Germinal An III (26 Mars 1795) de l'ouvrage. En retour, le livre donnait une certaine popularité à l'engin, ou du moins à son schéma de principe: ainsi,

Et voici sa version "moderne", conçue par Franco Conti et Enrico Giusti pour l'exposition Au delà du Compas, la Géométrie des Courbes ( Oltre il compasso: la geometria delle curve) réalisée au Musée de Florence Il Giardino de Archimede et présentée deux fois déjà en France (Paris, Palais de la Découverte 2000 et Lille, Université des Sciences et Techniques, 2006)

Fonctionnement

Son But est d'effectuer la résolution numérique des équations algébriques de n'importe quel degré: c'est là son caractère universel. En fait, il s'agit de tracer la courbe y = P(x) dans le plan de la plaque de verre supérieure; une plaque graduée amovible permet alors de repérer l'emplacement des intersections avec l'axe y=0. La poignée la plus haute commande tout simplement le déplacement continu de l'abcisse x; les trois barres horizontales sont couplées verticalement par un bloc parallélépipédique.
Ce qui "dépasse", sur la gauche pour un expérimentateur tenant la barre de conduite, est l'ensemble des articulations permettant le déplacement des barres, réalisant la figure que l'on va étudier. Ce modèle est construit pour le degré 3, mais il suffirait- théoriquement du moins!- d'ajouter un étage de barres par degré supplémentaire: le degré est la hauteur de la machine!

Son Principe est de calculer le polynôme par le schéma de Horner. C'est là que réside une double et remarquable anticipation:

William HORNER est né... en 1786; il publie son algorithme en 1819. L'antériorité de Segner est donc indiscutable, tant sur Horner que sur ceux qui découvrirent indépendamment cette organisation du calcul: [1] cite Ruffini (1804) et Budan (1807), ainsi, c'est vrai, que des traces antérieures (Newton, la Chine, le Monde Arabe) toutefois plus occasionnelles que systématiques ;

On peut démontrer aisément qu'il n'y a pas moyen de calculer un polynôme d'une manière plus économe en nombre de multiplications. Depuis l'aube de l'informatique, cet algorithme est recommandé pour l'évaluation des polynômes! Si Newton, déjà, en soulignait l'économie: "mais je pense, cela pouvant être réalisé de plusieurs manières, que la façon suivante est la plus commode..." , il n'avait quand même pas été jusqu'à l'optimalité.

Or, il est là, "câblé" -si l'on ose dire!- dans l'articulation des tiges!

AU CAS OÙ vous ne sauriez PLUS... OU PAS:
l'algorithme de Horner consiste à calculer un polynôme - prenons l'exemple du degré 3 - en l'écrivant:

( ( a.x + b ). x +c ). x + d
plûtot que

a.x³ + b.x² +c.x + d = a.x.x.x +b.x.x + c.x + d

Comptez: il y a 3 produits et 3 sommes dans le premier cas, contre 6 produits et 3 sommes dans le second; la généralisation à un degré n quelconque est immédiate. C'est exactement ce que va faire notre machine, grâce à quelques triangles semblables, comme vous le montre ce schéma de principe (agrandissez le pour l'étudier!)

Schéma de Principe du Constructeur Universel

On considère, pour simplifier, que x varie de 0 à 1. Quand la droite mobile (en fait, les 3 barres superposées de notre modèle) est à l'abcisse x, le triangle bleu calcule a.x sur cette droite , si l'on a fait en sorte que le coefficient a soit porté sur le côté gauche, donnant la pente a à l'hypothénuse de ce triangle. Ce réglage est fait par un des curseurs permettant le choix des coefficients; et ce triangle bleu est le plus bas dans la machine.
Si la valeur du coefficient b est porté à gauche "à la suite" de a - il doit être compté algébriquement, mais on a pris a, b, c, d positifs pour une meilleure lisiblité de la figure - on retrouve aisément, à l'abcisse 1, la quantité a.x + b . Le triangle rose, qui représente un niveau immédiatement supérieur dans la machine, calcule x. ( a.x + b) à l'abcisse x, et grâce au même principe, le triangle vert -troisième et dernier niveau- calcule x. ( x. ( a.x + b) + c) = x. (a.x² + b); il n'y aura plus qu'à ajouter d pour savoir où placer notre stylo!

Les coefficients seront "entrés" sur les curseurs visibles sur le côté gauche de la machine; lors du déplacement de la barre "des x", ces ordonnées resteront fixes (points A, B,...), mais les rotules y bougeront en suivant la déformation des triangles. À droite, on verra au contraire se déplacer en translation les points N', P', Q' en même temps que les rotules qui s'y trouvent suivront la déformation, avec x, des trois triangles.


Vue Gauche, x = 0 : Réglage des Coefficients.	Vue Droite, x = 1 : Rotules pouvant glisser

On remarquera que les graduations permettent l'utilsation de nombres relatifs: "Il faudra seulement avoir soin, si quelques-uns des coefficients a, b, c étaient négatifs, de les prendre dans le sens opposé" (Lagrange)

Vue Arrière Droite ( Articulations Mobiles, Barre "des x" ) et Grille "millimétrée"

En résumé, il a suffi du théorème de Thalès et de quelques triangles semblables pour matérialiser cet élégant algorithme. Comme le résume Lagrange:
"... mais on peut trouver aussi ces valeurs d' y par une construction fort simple qui mérite de vous être exposée." Laplace, lui, ne l'appréciait guère, sans doute parce qu'il considérait comme obsolètes les procédés de constructions géométriques développés au XVII-ème siècle, en suivant la Géométrie de Descartes.
On trouvera dans [2] , [4] et [5] des explications complémentaires, ainsi d'ailleurs qu'une autre implémentation "mécanique" de l'algorithme de Horner, l'orthogone de Lill
(1867).

Conclusion

Cette machine visionnaire occupe une place à part dans l'Histoire de la pré-Informatique. Il existait déjà de nombreuses machines arithmétiques, mais il s'agissait de dispositifs de calculs, et non de résolutions de problèmes. D'un autre côté, les machines articulées résolvant un problème particulier, par exemple celui des Moyennes proportionnelles [voir nos pages dédiées au Problème de Délos], quelle qu'en fût l'ingéniosité, étaient trop spécifiquement dédiées à un problème particulier pour relever strictement de l'Archéologie Informatique.

Il est remarquable qu'elle vienne prendre son rang, certes plus modeste, devant les machines de Babbage que nous considérons usuellement comme ancêtres de nos ordinateurs: machines à différences finies (1820-1832), machine analytique (1833-1840). Par une ironie du sort, la machine de Segner partage avec celle de Babbage la malédiction de ne pas avoir été constuite avant la fin du XX^ème siécle: cette dernière ne fut réalisée qu'en 1991, et elle aussi pour un musée, le Musée des Sciences de Londres [ Plus de précisions au Computer History Museum in Mountain View, California, qui possède lui-aussi, depuis 2008, une copie de la machine; voir enfin le remarquable site Fourmilab de John Walker ]. Maudites, les inventions révolutionnaires?

Pierre tombale de Segner à Halle (Allemagne), où il a terminé sa carrière, de 1755 à 1777. (Source: ce blog)

Références

Jean-Luc CHABERT (ed), Histoires d'Algorithmes (Belin)
Claudia CORRIVEAU, Que se cache-t-il derrière le Constructeur Universel d'Équations ? (Association Mathématique du Québec)

Jean DHOMBRES (ed), Leçons à l'École Normale de l'An III (Dunod)

Dominique TOURNÈS, Du Compas aux Intégraphes: les Instruments du Calcul Graphique in Repères-IREM , n°50 (Janvier 2003)

Dominique TOURNÈS, Constructions d'Équations Algébriques et Différentielles, Colloque Européen ITEM, Reims 2003

Doron SWADE, Babbage: Père Visionnaire de l'Informatique? in Qui a inventé l'Ordinateur, Cahiers de Sciences & Vie n°36 (Décembre 1996)

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Le Constructeur Universel d'Équations

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Fonctionnement

Conclusion

Références


Deux amoureux n'ont plus que quelques pas à faire pour se retrouver devant l'entrée!


	Poszony, "dans la brume mécanique"...