Le Constructeur Universel d'Équations

Quel est ce mystérieux engin que l'on peut admirer dans les planches de l'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert?
Que siginfient les petits schémas qui l'accompagnent?
Dans cette page un peu particulière (disons que le concept de Tourisme y est un peu élargi...), le Mathouriste aimerait vous convaincre qu'il s'agit d'un instrument d'une étonnante modernité.


Le Constructeur Universel... tel qu'il apparait dans la fameuse Encyclopédie

En fait, ce n'est ni plus ni moins qu' un des premiers ancêtres mécaniques des ordinateurs! Machine, certes, plus proche d'un calculateur analogique que d'un calculateur numérique, mais clairement authentique pièce de hardware, et donnant une implémentation mécanique d'un algorithme connu comme optimal pour le calcul d'un polynôme.
Et pourtant, elle ne fut jamais réalisée... avant de l'être au XX-ème siècle, pour un musée!

Un Homme et sa Machine

Son concepteur est le Hongrois Janos SEGNER (1704-1777) [ quatre autre portraits, dont deux timbres, ici ] .



Il a publié la description de sa machine en  1761; l'Encyclopédie, quant à elle, avait été commencée en 1751 (deux volumes), puis interdite, reprise en 1765, pour s'achever en 1772 sur une de ses innovations majeures: les 11 volumes de planches décrivant les métiers et procédés mécaniques. C'est donc, avec la machine de Segner, une nouveauté scientifique qui intégrait l'Encyclopédie; de façon générale, cette "prise directe" sur son époque était l'une des caractéristiques révolutionnaires de l'ouvrage. En retour, le livre donnait une certaine popularité à l'engin, ou du moins à son schéma de principe: ainsi, Lagrange le présenta dans sa 4-ème leçon à l'École Normale de l'an III (qui deviendrait l' École Normale Supérieure) du 6 Germinal An III (26 Mars 1795)
Et voici sa version "moderne", conçue par Franco Conti et Enrico Giusti pour l'exposition Au delà du Compas, la Géométrie des Courbes ( Oltre il compasso: la geometria delle curve)  réalisée au Musée de Florence Il Giardino de Archimede et présentée deux fois déjà en France (Paris, Palais de la Découverte 2000 et Lille, Université des Sciences et Techniques, 2006)


Fonctionnement

Son But est d'effectuer la résolution numérique des équations algébriques de n'importe quel degré: c'est là son caractère universel. En fait, il s'agit de tracer la courbe y = P(x) dans le plan de la plaque de verre supérieure; une plaque graduée amovible permet alors de repérer l'emplacement des intersections avec l'axe y=0. La poignée la plus haute commande tout simplement le déplacement continu de l'abcisse x; les trois barres horizontales sont couplées verticalement par un bloc parallélépipédique.
Ce qui "dépasse", sur la gauche pour un expérimentateur tenant la barre de conduite, est l'ensemble des articulations permettant le déplacement des barres, réalisant la figure que l'on va étudier. Ce modèle est construit pour le degré 3, mais il suffirait- théoriquement du moins!- d'ajouter un étage de barres par degré supplémentaire: le degré est la hauteur de la machine!

Son Principe est de calculer le polynôme par le schéma de Horner. C'est là que réside une double et remarquable anticipation:
Or, il est là, "câblé" -si l'on ose dire!- dans l'articulation des tiges!

AU CAS OÙ vous ne sauriez PLUS... OU PAS:
l'algorithme de Horner consiste à calculer un polynôme -prenons l'exemple du degré 3- en l'écrivant:

 ( ( a.x + b ). x +c ). x + d
plûtot que
 a.x3 + b.x2 +c.x + d = a.x.x.x +b.x.x + c.x + d


Comptez: il y a 3 produits et 3 sommes dans le premier cas, contre 6 produits et 3 sommes dans le second; la généralisation à un degré n quelconque est immédiate. C'est exactement ce que va faire notre machine, grâce à quelques triangles semblables, comme vous le montre ce schéma de principe (agrandissez le pour l'étudier!)

Schéma de Principe du Constructeur Universel

On considère, pour simplifier, que x varie de 0 à 1. Quand la droite mobile (en fait, les 3 barres superposées de notre modèle) est à l'abcisse x, le triangle bleu calcule a.x sur cette droite , si l'on a fait en sorte que le coefficient a soit porté sur le côté gauche, donnant la pente a à l'hypothénuse de ce triangle. Ce réglage est fait par un des curseurs permettant le choix des coefficients; et ce triangle bleu est le plus bas dans la machine.
Si la valeur du coefficient b est porté à gauche "à la suite" de a - il doit être compté algébriquement, mais on a pris a, b, c, d positifs pour une meilleure lisiblité de la figure - on retrouve aisément, à l'abcisse 1, la quantité a.x + b . Le triangle rose, qui représente un niveau immédiatement supérieur dans la machine, calcule x. ( a.x + b) à l'abcisse x, et grâce au même principe, le triangle vert -troisième et dernier niveau- calcule x. ( x. ( a.x + b) + c) = x. (a.x² + b); il n'y aura plus qu'à ajouter d pour savoir où placer notre stylo!

Les coefficients seront "entrés" sur les curseurs visibles sur le côté gauche de la machine; lors du déplacement de la barre "des x", ces ordonnées resteront fixes (points A, B,...), mais les rotules y bougeront en suivant la déformation des triangles. À droite, on verra au contraire se déplacer en translation les points N', P', Q' en même temps que les rotules qui s'y trouvent suivront la déformation, avec x, des trois triangles.


               Vue Gauche, x = 0 : Réglage des Coefficients.               Vue Droite, x = 1 : Rotules pouvant glisser

On remarquera que les graduations permettent l'utilsation de nombres relatifs: "Il faudra seulement avoir soin, si quelques-uns des coefficients a, b, c étaient négatifs, de les prendre dans le sens opposé" (Lagrange)


Vue Arrière Droite ( Articulations Mobiles, Barre "des x" ) et Grille "millimétrée"

En résumé, il a suffi du théorème de Thalès et de quelques triangles semblables pour matérialiser cet élégant algorithme. Comme le résume Lagrange:
"... mais on peut trouver aussi ces valeurs d' y par une construction fort simple qui mérite de vous être exposée." Laplace, lui, ne l'appréciait guère, sans doute parce qu'il considérait comme obsolètes les procédés de constructions géométriques développés au XVII-ème siècle, en suivant la Géométrie de Descartes.
On trouvera dans [3] et [4] des explications complémentaires, ainsi d'ailleurs qu'une autre implémentation "mécanique" de l'algorithme de Horner, l'orthogone de Lill (1867).

Conclusion

Cette machine visionnaire occupe une place à part dans l'Histoire de la pré-Informatique. Il existait déjà de nombreuses machines arithmétiques, mais il s'agissait de dispositifs de calculs, et non de résolutions de problèmes. D'un autre côté, les machines articulées résolvant un problème particulier, par exemple celui des Moyennes proportionnelles [voir nos pages dédiées au Problème de Délos],  quelle qu'en fût l'ingéniosité, étaient trop spécifiquement dédiées à un problème particulier  pour relever strictement de l'Archéologie Informatique.
Il est remarquable qu'elle vienne prendre son rang, certes plus modeste, devant les machines de Babbage que nous considérons usuellement comme ancêtres de nos ordinateurs: machines à différences finies (1820-1832), machine analytique (1833-1840). Par une ironie du sort, la machine de Segner partage avec celle de Babbage la malédiction de ne pas avoir été constuite avant la fin du XX-ème siécle: cette dernière ne fut réalisée qu'en 1991, et elle aussi pour un musée, le Musée des Sciences de Londres  [ Plus de précisions au Computer History Museum in Mountain View, California, qui possède lui-aussi, depuis 2008, une copie de la machine;  voir enfin le remarquable site Fourmilab de John Walker ].  Maudites, les inventions révolutionnaires?

Références

  1. Jean-Luc CHABERT (ed), Histoires d'Algorithmes (Belin)
  2. Jean DHOMBRES (ed), Leçons à l'École Normale de l'An III (Dunod)
  3. Dominique TOURNÈS, Du Compas aux Intégraphes: les Instruments du Calcul Graphique in Repères-IREM , n°50 (Janvier 2003)
  4. Dominique TOURNÈS, Constructions d'Équations Algébriques et Différentielles, Colloque Européen ITEM, Reims 2003
  5. Doron SWADE, Babbage: Père Visionnaire de l'Informatique? in Qui a inventé l'Ordinateur, Cahiers de Sciences & Vie n°36 (Décembre 1996)
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