La publication dans ses
Oeuvres
Complètes, si elle "ressoude" les morceaux,
reprend ce
titre bien peu explicite et ne s'enrichit toujours pas d'un
résumé qui indiquerait clairement le but; tout au
plus
commence-t-elle sur une nouvelle page.
Le dernier
numéro (XIV) est
aussi des plus intéressant. On le voit, juste avant, Hermite
vient d'arriver -enfin- à son résultat:
"le
nombre e
n'est point compris
dans les irrationnelles algébriques"
mais... ce n'est pas la
fin: il se
lance dans des considérations sur la qualité
numérique des approximations rencontrées!
"Il ne sera pas inutile
de donner
quelques exemples du mode d'approximation des quantités
auquel
nous avons été conduit, et je
considérerai d'abord
le cas le plus simple, où l'on ne considère que
la seule
exponentielle ex."
Le réalisme,
en
Arithmétique... passe par les applications
numériques!
Et c'est ainsi qu'il
obtient pour e
les fractions d'approximation 5/2
puis 337/124, où "l'erreur
ne porte que sur les dix-millièmes", et enfin
58019/21344, "l'erreur
portant
que sur les dix-millionièmes"
Ses ruminations postérieures
Les deux articles ci-dessous sont exemplaires d'un aspect
très
intéressant de sa personnalité: vainqueur de la
transcendance, il "remâche" l'irrationnalité de
e ... et de pi.
Peut-être songe-t-il, il
est vrai, et en dépit des dénégations
qui ouvrent
sa lettre à Borchardt,
à la transcendance de pi, que Lindemann
prouvera en 1882, par une simple adaptation de son
procédé. Mais la déclaration liminaire
de
l'article sur e
est
emblématique de sa philosophie, en offrant une belle
réponse à la question: qu'est-ce que comprendre
des
Mathématiques?
"On
reconnaîtra volontiers que,
dans le domaine mathématique, la possession d'une
vérité importante ne devient complète
et
définitive qu'autant qu'on a réussi à
l'établir pas plus d'une méthode."
Sur e
et pi
en 1873... après la
transcendance de e.
Si on le prend au pied de la lettre... et à son propre
piège, on n'a toujours pas vraiment compris, puisque plus de
100
ans après, sa méthode de construction d'un
polynôme
ayant de nombreux zéros et l'obtention de la contradiction
en
faisant tendre vers 0, sous forme intégrale, un entier non
nul,
reste
LA
méthode de
transcendance. Elle a connu autant de perfectionnements que le moteur
à explosion... mais personne n'a encore inventé
un autre
moteur!
Toutefois, ces ruminations ont eu une belle
postérité, en
Mathématiques Pures comme en Mathématiques
Appliquées, puisqu'y apparaissent sous sa plume les
approximants
de
Padé-Hermite, toujours d'actualité
en
Arithmétique et en Analyse Numérique. Le sujet de
thèse qu'il confia à
Henri
Padé (qui consacre la naissance officielle de ceux qu'on nommera désormais
approximants de Padé) était là, comme
celui-ci le reconnait
dans ses remerciements:
"Nous avons
été
amené à nous occuper de cette question par une
parole de
Monsieur Hermite, recueillie dans une de ses leçons, et par
laquelle il laissait entrevoir que cachait encore sans doute cette
théorie"
Henri Padé,
Thèse:
Sur
la Représentation
Approchée d'une Fonction par des Fractions Rationnelles
(1882)
Sa vision Platonicienne des
Mathématiques
"Il
existe, si je ne me trompe, tout un monde qui est l'ensemble des
vérités mathématiques, dans lequel
nous n'avons
accès que par l'intelligence, comme existe le monde des
réalités physiques; l'un et l'autre,
indépendants
de nous, tous deux de création divine, qui ne semblent
distincts
qu'à cause de la faiblesse de notre esprit, qui ne sont pour
une
pensée plus puissante qu'une seule et même chose,
et dont
la synthèse se révèle partielllement
dans cette
merveilleuse correspondance entre les mathématiques
abstraites
d'une part, l'astronomie et toutes les branches de la physique de
l'autre."
Quelques liens Hermitiens
On trouvera
on line non
seulement ses oeuvres, mais aussi des éléments de
son
abondante correspondance; par delà les
Mathématiques elle
révèle beaucoup de sa personnalité,
notamment et
avant tout l'échange prolifique avec
Stieltjes.
Hermite informe Poincaré
de l'attribution du Prix du Roi Oscar II de Suède,
pour son célèbre Mémoire sur le
Problème
des Trois Corps (1889)
avec un joli portrait du
jeune Hermite (tome I)...
...et la médaille commémorative de son
70-ème anniversaire, œuvre de J.-C.
Chaplain (tome
IV).
- Cours
de 1882 à la Sorbonne
(à
l'Université Cornell, Ithaca, New York)
- et pour aller plus loin dans la Transcendance,
tout en
s'instruisant de son histoire, il y a le site
de Michel
Waldschmidt, avec de nombreux articles en ligne, de tous
niveaux
(de la vulgarisation à la recherche). Tout
particulièrement , voici un point très
récent sur les Méthodes de la
Transcendance où l'on situera avec précision le
rôle charnière du héros de cette page :
Petite Bibliographie Complémentaire
Essentiellement
consacrée
à l'irrationalité et à la
transcendance.
- C. BREZINSKI, Charles Hermite, Père
de l'Analyse Moderne (Cahiers d'Histoire et de Philosophie des Sciences n°32, 1990)
- C. BREZINSKI, History of
Continued Fractions and Padé
Approximants (Springer
Verlag)
- Le Petit
Archimède,
n° Spécial Pi, Revue du Palais de la
Découverte, 1980. (réédition ADCS)
- H. LEBESGUE, Leçons
sur
les Constructions Géométriques
(Gautheirs-Villars,
réédition J. Gabay)
- M.SERFATI, Quadrature
du
Cercle, Fractions Continues et Autres Contes (Brochure
APMEP
n°85)
- M.WALDSCHMIDT, Les Débuts de la
Théorie des
Nombres Transcendants. (Cahiers
d'Histoire des
Mathematiques de l'Université Pierre et Marie Curie,
n°4).
- M.WALDSCHMIDT, Nombres
Transcendants. (Springer, Lecture
Notes in Mathematics
402).
Le mot de la fin, par Hermite en personne:
