LAMBERT à Mulhouse

Par rapport à cette photo, hors cadre sur la droite, se trouve la colonne Lambert, érigée en 1828 pour commémorer le centenaire de sa naissance. Célébrant avant tout l'astronome, elle porte une analemme et elle est surmontée d'un globe... céleste, ce qui rend savoureuse l'enseigne commerciale à l'arrière-plan!

Quelques motifs de célébrité.

Autodidacte (obligé d'arrêter ses études à 12 ans pour aider son père, tailleur), Lambert était assez conscient de sa valeur : tant Lagrange que Frédéric II de Prusse l'avaient remarqué dès son arrivée à Berlin (1764). Mais il y avait de quoi, car son génie s'est appliqué avec succès à une grande variété de domaines.
Échantillon des impresions:

"On m'a, pour ainsi dire, presque forcé de prendre la plus maussade créature qui soit dans l'univers  pour la mettre dans notre Académie. Il se nomme Lambert, et, quoique, je puisse attester qu'il n'a pas le sens commun, on prétend que c'est un des plus grands géo- mètres de l'Europe. Mais, comme cet homme ignore les langues des mortels et qu'il ne parle qu'équations et Algèbre, je ne me propose pas de sitôt d'avoir l'honneur de m'cntretenir avec lui. En revanche, je suis très-content de M. Toussaint, dont j'ai fait l'acquisition. Sa science est plus humaine que celle de l'autre. Toussaint est un habitant d'Athènes, et Lambert un Caraïbe ou quelque sauvage des côtes de la Cafrerie. Cependant, jusqu'à M. Euler, toute l'Académie est à genoux devant lui, et cet animal, tout crotté du bourbier de la plus crasse pédanterie, reçoit ces hommages comme Caligula recueillait ceux du peuple romain, chez lequel il voulait passer pour dieu. Je vous prie que ces petites anecdotes de notre Académie ne sortent pas de vos mains."

"M. Lambert, sur qui vous souhaitez de savoir mon sentiment, est sans  contredit un des meilleurs sujets de notre Académie ; il est très-laborieux et soutient presque seul notre Classe de Physique. Il possède assez bien l'Analyse, mais son fort est la Physique [...]. Au reste, il a quelque chose de singulier dans son maintien et dans sa conversation qui déplaît au premier abord, et je ne suis pas surpris que le roi ne l'ait pas goûté, ayant eu moi-même de la peine à m'accommoder à ses manières. Il était ou du moins il me parut si plein de lui-même, lorsque j'arrivai ici, que je pris le parti de ne pas le fréquenter, mais en même temps de ne laisser échapper aucune occasion de le rabaisser; cela l'a rendu beaucoup plus traitable, et à présent nous sommes assez bons amis."

Œuvres...

• en Astronomie, on luit doit une méthode de calcul pour les orbites des comètes: texte explicatif n°1, texte explicatif n°2. (voir également H. DÖRRIE, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover - problème 88) . "Le Théorème de Lambert, par sa simplicité et par sa généralité, doit être regardé comme l'une des plus ingénieuses découvertes qui aient été faites dans l'étude du système du monde", écrivait Lagrange.

• en Cartographie, sa méthode de projection conforme conique (dite Projection Lambert) est toujours appliquée; de1948 à 2000,  la France était découpée en 4 zones, chacune cartographiée avec une projection de ce type. En 2000 un nouveau système de  projections, Lambert 93 a été rendu obligatoire par décret (calculs associés).
• en Physique, la loi de Lambert régit empiriquement à l'absorption de lumière selon le milieu traversé; elle est la base du modèle informatiques le plus simple de rendu des surfaces. (voir par exemple cette page)
• en Géométrie, il étudie le postulat des parallèles (postulat d'Euclide), et il réalise une étude de la perspective en ne négligeant pas l'aspect pratique , puisqu'il conçoit une machine pour faire la représentation en perspetive des figures, le perspectographe. ( voir aussi un texte avec des figures originales du manuscrit). On pourra aussi cosulter cette étude en deux parties: Perspective, géométrie et esthétique chez Lambert (Partie I, Partie II) sur lesite web: Images des Mathématiques, du CNRS.

1. Œuvres complètes en ligne : index chronologique, index thématique .
2. Un article sur le site de Culture Maths :  Jean-Henri Lambert (1728-1777): les 15 problèmes de géométrie de la règle .
3. Œuvres numérisées à l'Université de Strasbourg 

... et Chef-d'-œuvre!

Mais la pièce la plus fascinante de Lambert (du point de vue du  Mathouriste) est sans hésitation la preuve d'irrationnalité du nombre π, publiée dans les Mémoires de l'Académie de Berlin (1761).
Traduisons ce résultat en langage familier: π n'est pas le quotient de deux entiers. π n'est pas égal à 3,14 (car ce serait la fraction 314/100), pas plus qu'il n'est égal à 22/7 (célèbre valeur approchée dans les écoles primaires de jadis...), ni davantatge à 355/113 (approximation de Metius). On avait beau s'en douter depuis l'Antiquité (et les Grecs avaient su prouver l'irrationalité d'autres nombres, tels que  , diagonale du carré de côté 1), il a fallu attendre jusque là pour en apporter la preuve irréfutable... à telle enseigne que Lambert prend des précautions vis à vis de son lecteur!

Voilà le grand mot, ou plutôt la grande expression, lâchée: la Quadrature du Cercle! Dans l'étude de ce problème antique, qui stagne depuis son exposition au Vème siècle avant J.-C, et ne trouvera sa résolution qu'à la fin du XIXème siècle, la preuve de Lambert constitue un jalon essentiel.

Il y a plus: la fondation d'une nouvelle théorie arithmétique, celle de la Transcendance. Après avoir étendu la preuve d'irrationalité de e donnée par Euler (1737) à celle de toutes ses puissances, Lambert, qui emploie pour la première fois ce mot, formule la conjoncture de la   transcendance de e: non seulement ses puissances sont irrationnelles, mais encore aucune combinaison entière de celles-ci ne peut être annulée.

Il n'existe pas de polynôme P à coefficients entiers relatifs tel que P(e) = 0.

Celui qui prouvera le résultat, Hermite, en 1873 (voir notre page Hermite pour plus de détails), ne cessera de rendre hommage à celui qui a montré la voie:
Non seulement ce texte occupe une position charnière dans l'histoire de l'Irrationalité et de la Transcendance, mais aussi il frappe par sa rigueur impeccable. Utilisant, comme Euler, le merveilleux outil des fractions continues, il ne se contente pas de découvrir, il accompagne cette découverte, dans un deuxième temps, d'une démonstration d'une rigueur bien supérieure à celle du magistral prédécesseur, Euler... et à celle se son "suiveur", Legendre, qui perfectionnera le résultat pour établir irrationnalité du nombre π², publiée en 1795, en partant d'une série parachutée sans l'ombre d'une indication sur son inspiration. 
Enfin, au passage, Lambert y définit ce que nous appelons aujourd'hui les fonctions hyperboliques, en justifiant, figure à l'appui, que l'on parle d'une trigonométrie hyperbolique.

Après cette brève présentation, vous brûlez sûrement d'en savoir plus! Or, le texte intégral commenté du mémoire de Lambert est accessible en ligne:
le texte de Lambert sur l’irrationalité de π (1761)  sur le site BibNum .
à télécharger en complément, pour replacer le travail de Lambert dans la continuité historique :
Alain Juhel: Irrationalité et Transcendance: État des Lieux avant Hermite , conférence aux journées Padé (Lycée Faidherbe, Lille, 1994).

Et pour prolonger, avec toutes les preuves ultérieures de l'irrationnalité de π :
Denis Roegel, Lambert’s proof of the irrationality of Pi: Context and translation (2020)