En lisant Ératosthène

Prélude: Dupliquer le Carré... avec Socrate

La Duplication du Carré, autrement dit la construction à la Règle et au Compas d'un carré d'aire double d'un carré donné ABCD, est élémentaire: il suffit de considérer le carré BDEF ayant pour côté la diagonale de l'ancien. En effet, son aire vaut 4 fois la moitié  de celle du carré initial, ce qui résout le problème. Si la demande avait été de doubler l'aire d'un autel carré comme celui d'Agrigente (voir page précédente), l'affaire aurait été promptement réglée!

Cette solution est d'ailleurs exposée dans le Ménon de Platon, dialogue dans lequel Socrate amène un jeune esclave à corriger sa première réponse, qui est de doubler le côté, pour parvenir avec patience et persévérence à la solution correcte. On verra l'erreur du jeune homme se répéter dans l'histoire!

José Aparicio Inglada (1770 -  1838) Socrate enseignant, 1811 (Musée de Castres)

La Duplication du Cube, c'est le même problème... mais dans l'espace (en dimension 3), et non dans le plan (en dimension 2). Simple adaptation? Pas si sûr!

La Lettre d'Ératosthène à Ptolémée III


 Eratosthène (276 av J.-C., 194 av J.-C.)

Nous présentons d'abord la lettre telle quelle, ou plutôt, telle qu'elle est transcrite par Eutocius, un commentateur d' Archimede  et d'Apollonius, vivant en Palestine au V-ème siècle de notre ère. Dans ce texte, les liens sur des noms de mathématiciens renvoient à leurs biographies (extérieures à ce site), et les autres à des notes situées plus bas; pour chacune d'entre elles vous trouverez un retour au point où vous avez interrompu votre lecture.

Le Palais de Minos à Knossos (Crète); le trône royal

      Eratosthène au roi Ptolémée, salut. On raconte qu'un ancien au­teur tragique met en scène Minos  faisant préparer une tombe pour Glaukos. Ayant appris que de chaque côté, elle avait cent pieds, il dit : « Tu as désigné certes un petit enclos pour la tombe d'un roi; qu'il soit double; sans détruire ses belles proportions, double donc au plus tôt chaque côté de la tombe ».


Sépulture d'un enfant, époque minoénne, Arhanes (Crète)

Il s'est visiblement trompé : en effet, si l'on double les côtés, la figure plane devient quadruple, le solide, huit fois plus grand. Mais, même chez les géomètres, on recherchait de quelle manière on pour­rait doubler le solide donné en lui conservant la même figure. Et ce problème était appelé la duplication du cube; en effet, s'étant donné un cube, ils cherchaient à le doubler.

Tandis que tous hésitaient depuis longtemps, Hippocrate de Chios  le premier, trouva que, si entre deux droites données, dont la plus grande est double de la plus petite, on parvient à obtenir deux moyen­nes proportionnelles en proportion continue, la duplication du cube sera obtenue; et ainsi son hésitation se transforma en une autre hési­tation non moins grande.


Un autel (?) cubique à Délos... mais pour qui?

    Quelque temps après, dit-on, certains habitants de Délos, ayant reçu d'un oracle l'ordre de doubler un des autels, tombèrent dans la même hésitation. Ils envoyèrent donc demander aux géomètres qui étaient auprès de Platon, dans l'Académie, de trouver pour eux la solution. Ceux-ci s'y étant mis avec ardeur et cherchant à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux droites données, Archytas de Tarente, dit-on, trouva la solution au moyen des demi-cylindres, tandis qu'Eudoxe la trouva au moyen des lignes dites courbes. Mais à tous il arriva de donner la démonstration sans qu'ils pussent la réa­liser effectivement et en faire l'application pratique, à l'exception de Ménechme qui y réussit un peu, d'une manière laborieuse.

   Nous avons, par contre, imaginé une méthode instrumentale facile, par laquelle nous avons trouvé non seulement deux moyennes propor­tionnelles mais autant qu'on veut. Au moyen de cette invention nous pouvons changer tout solide compris entre les parallélogrammes en un cube, ou un solide d'une forme dans une autre, amplifier en conservant la similitude et faire cela aussi aux autels et aux temples. Et nous pou­vons transformer en cubes les mesures pour les liquides ou les matières, comme les métrètes et les médimnes, et savoir, grâce aux côtés des cubes, combien elles mesurent. Mon invention peut être utile aussi à ceux qui veulent augmenter les dimensions des catapultes et des balistes; car tout doit être aug­menté proportionnellement, épaisseurs, grandeurs, trous et les cordes qui y sont insérées, si le jet doit être augmenté proportionnellement, ce qui est impossible sans l'invention des moyennes...

Notes et Commentaires

Époque: Selon la légende, Minos est fils de Zeus et d'Europe. Conséquence du rapt de la seconde par le premier, déguisé en taureau blanc, et qui l'emmène... en Crète.

Enlèvement d'Europe: Relief, VI-ème siècle av. J.C., musée de Syracuse (Sicile)

La civilisation palatiale semble historiquement attestée dès 1900 avant J.-C.; mais le palais que l'on peut visiter aujourd'hui (nos photos...), mis à jour par les fouilles de Sir Arthur Evans, est plutôt daté de 1 700 avant J.-C.: il remplaçait le premier, sérieusement endommagé par un tremblement de terre.
Ce qui fait du problème de la Duplication du Cube le plus vieux de l'Humanité!
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Famille:

                                        HIPPOLYTE [...]
                    Enfin en le cherchant je suivrai mon devoir,
                    Et je fuirai ces lieux que je n'ose plus voir.

                                        THÉRAMÈNE
                   Hé ! depuis quand, Seigneur, craignez-vous la présence
                   De ces paisibles lieux, si chers à votre enfance,
                   Et dont je vous ai vu préférer le séjour
                   Au tumulte pompeux d'Athènes et de la cour ?
                   Quel péril, ou plutôt quel chagrin vous en chasse ?

                                         HIPPOLYTE
                   Cet heureux temps n'est plus. Tout a changé de face
                   Depuis que sur ces bords les Dieux ont envoyé
                   La fille de Minos et de Pasiphaé.

RACINE, Phèdre, Acte I, Scène1

Glaukos, cet enfant mort jeune -noyé, dit-on, dans un pot de miel dont il n'avait pu s'extraire- était donc frère de Phèdre et Ariane, la première épousée par Thésée, après qu'il eut abandonné la seconde dans une autre île des Cyclades, Naxos.

Quitter Naxos, un soir...

Glaukos était donc aussi demi-frère du plus célèbre monstre de l'époque, le Minotaure, dont Thésée avait triomphé.
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Mathématiques: Eratosthène relève l'erreur de Minos, qui sera celle de l'élève de Socrate, puis des Déliens (selon d'autres textes). Ensuite, la lettre renferme un anachronisme manifeste (qui peut tout autant émaner d' Eutocius): Platon nait en en 427 avant J.-C., soit l'année même de la peste: difficile de le parer d'un génie si précoce qu'il ait étudié la question à sa naissance! Inversement, la résistance du problème aux efforts des Géomètres explique que son étude soit restée d'actualité dans l'Académie de Platon; il n'est pas impossible que la légende ait valeur de métaphore: qui résoudrait une telle difficulté serait capable de juguler la peste...

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Roublardise: Eratosthène termine en soulignant l'intérêt de sa méthode personnelle, en termes d'applicabilité pratique, tant dans le domaine civil (les mesures) que militaire (la construction "des catapultes et des balistes"); il en escompte sans doute quelque avantage, en espèces sonnantes et trébuchantes... Les Mathématiques Pures (nous soulignons toujours, aujourd'hui, le caractère exemplaire des Mathématiques Grecques à cet égard), c'est fort bien, mais sans doute est-il utile, ne serait-ce que pour faire financer ses travaux, de faire ressortir auprès des "politiques" les retombées des applications potentielles! Bref, les Splendeurs et Misères de la Recherche ont aussi une longue histoire, qui n'est pas née d'hier.
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Moyennes Proportionnelles

Elles sont la base de toutes les méthodes de résolution. Les rapports de longueur constituent un outil privilégié des Mathématiques Grecques, et tout problème se doit d'être reformulé en de tels termes si l'on veut espérer le résoudre.
La duplication du cube, autrement dit la recherche du côté x d'un cube de volume double du cube de côté a, peut s'écrire comme la recherche de deux nombres x et y que l'on va intercaler entre a et 2a, d'où l'appellation:
 Moyennes Proportionnelles.


                       
 Hippocrate de Chios (470 av J.-C., 410 av J.-C.) et les Moyennes Proportionnelles

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Plus généralement, on peut rechercher l'intercalation de moyennes entre a et b (au lieu de 2a), et, comme le souligne lui-même, de trois moyennes x , y , z , ou plus ("non seulement deux moyennes propor­tionnelles mais autant qu'on veut").
Les deux pages suivantes montreront comment ce principe est utilisé dans la construction de machines ou l'emploi de courbes autres que la droite et le cercle: c'est la première fois que les Mathématiques vont  aller Au Delà du Compas, expression que nous empruntons au titre de l'exposition Oltre Il Compasso du très beau Musée des Mathématiques (situé à Florence):

Faites lui une visite virtuelle, vous ne devriez pas le regretter!




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