Dublin, une Promenade... Hamiltonienne 



 
brouillon réputé de la main de Hamilton
(source: History of Ireland)

Un des plus célèbres Flash des Mathématiques

Le lieu est bien connu des mathématiciens, en tout cas "de réputation", et, à l'heure de Wikipedia, par la photo de la plaque commémorative (qui circule abondamment sur la toile); celle du Mathouriste ne peut évidemment guère en différer. Mais une flânerie mathématique est tout de même en mesure de vous en révéler un peu plus -à commencer par ce vieux pont lui-même-, par un cadrage plus large sur le chemin de promenade du savant... et par une petite surprise récente, qu'il vous garde pour la fin.
Broom Bridge (Brougham Bridge selon Hamilton)...
... et sa plaque-souvenir
 
Si l'évènement est connu avec précision, c'est qu'on en doit la relation à William Rowan Hamilton (1805-1865) lui-même, par une lettre à son fils Archibald datée du 05/08/1865 -moins d'un mois avant son décès. Il revient sur les circonstances de sa découverte, sans esquiver le substrat: depuis quelque temps, il ruminait le problème de la multiplication des vecteurs de l'espace usuel à trois dimensions, c'est à dire des triplets (x,y,z). Pour le cas de la dimension 2, la résolution de la question était alors bien connue, grâce à la théorie des nombres complexes:

En bref pour comprendre le contexte
 (mais vous pouvez sauter et revenir après la promenade...)

Toute la "magie" des nombres complexes, ou imaginaires, réside dans l'invention d'une racine carrée au nombre -1. Chez les nombres ordinaires, un carré est toujours positif, -1 ne peut donc en être un.
-1 n'a pas de racine carrée? Qu'à cela ne tienne, on va lui en inventer une. Comme c'est le fruit de notre imagination, on va l'appeler i, ce sera un nombre imaginaire, vérifiant la relation (oui, la première qui est écrite sur la plaque)
i² = -1
Alors, on sait calculer, par les règles algébriques habituelles, le produit de deux nombres dits complexes
(a + ib) × (x + iy) = (ax - by) + i (ay +bx)
ce qui peut être vu comme produit du vecteur (a , b) par le vecteur (x , y)

 Et tout naturellement, il essayait de s'en inspirer, de la copier, de l'adapter, de la tordre un peu au besoin -et on verra qu'il devra. Revenons à sa lettre en quelques extraits; la numérotation des paragraphes y a son importance, comme le révèlera le trait d'humour final:
" (3) [...]  S'il m'est permis de parler de moi et de ma connexion au sujet, je peux le faire en t'impliquant, en revenant à une époque pré-quaternionique, où tu étais encore un enfant, mais un enfant qui avait appris de moi ce qu'est un Vecteur, représenté par un Triplet, et je suis capable de mettre le doigt de ma mémoire sur l'année et le mois -Octobre 1843 [...]  Chaque matin de la première quinzaine  du mois en question, vous -toi et ton petit frère William Edwin, me posiez la question: «Eh bien, Papa, as tu réussi à multiplier les triplets?» À quoi il  me fallait toujours répondre, en hochant tristement la tête:  «Non , je ne sais que les additionner et les soustraire.»

Lettre à son fils Archibald, 05/08/1865)

S'inspirer, c'est introduire un nouvel élément j tel que j² = -1 (deuxième formule de la plaque, on s'approche...), pour "rejouer la même combinaison dans un autre plan", celui des (x , z) vus comme des x + jz ,en quelque sorte ; fort bien, mais quand on passe au produit des triplets:
(a + ib +jc) × (x + iy +jz)
que faire des produits qui vont apparaître, i j et j i ? Quelle valeur leur donner?  C'est toute la question qui obsède Hamilton, avec un blocage aggravé par la supposition implicite, parce qu'habituelle dans tous les nombres manipulés jusque là, complexes y compris, que i j = j i  ...
"(4) [...] Mais le 16 de ce même mois -qui tombait un lundi, jour de réunion du conseil de la Royal Irish Academy que je devais présider, je marchais le long du Canal Royal, aux côtés de ta mère, qui peut-être m'y avait conduit; et, quoiqu'elle me parlât de temps à autre, un courant sous-terrain parcourait mes pensées, qui finit par me donner un résultat, dont il n'est pas excessif de dire que j'entrevis instantanément l'importance future. Ce fut comme si un circuit électrique se refermait, qu'une étincelle jaillissait, annonçant (je m'en rendis compte immédiatement) de nombreuses années de travail dans cette direction [...], si seulement il m'était permis de vivre assez longtemps pour en communiquer la découverte. Et je ne pus résister à l'impulsion -aussi indigne d'un philosophe fût-elle- de graver avec mon couteau, sur une pierre de Brougham Bridge, alors que nous y passions, la formule fondamentale liant les symboles i, j, k, à savoir
i² = j² = k² = ijk = -1
qui renferme la Solution du Problème, mais qui, bien sûr, comme inscription, a depuis longtemps été effacée par les années. Mais une trace plus durable en demeure dans les actes du Conseil pour ce jour, qui ernregistrent le fait que je demandai et obtins de faire à la première réunion pleinière de la session, une communication sur les Quaternions; elle eut lieu, conformément  à ce calendrier, le Lundi 13 Novembre suivant.

Avec ce quaternion de paragraphes prend fin cette lettre; j'espère la faire suivre très rapidement d'une autre.
 
Ton père affectueux,
William Rowan Hamilton

Mine de rien, on vient par cet exemple de tordre le cou à l'idée aussi fausse que répandue de l'éclair de génie qui vous frappe par miracle, avec deux caractéristiques de tous ces éclairs de génie que nous admirons, de Newton à Poincaré:
  1. Une longue gestation les précède, et elle comporte souvent des phases (très) douloureuses;
  2. Le découvreur est plus souvent ingénieur que génie: il ne part pas de rien, mais de ce qui marche déjà; il essaie d'adapter, d'améliorer, il bricole, il rate, il bloque... jusqu'à un point de rupture où il va introduire du nouveau, acculé par la contrainte, les contradictions rencontrées. Ce que l'on appelle parfois le principe du rasoir d'Ockham. 
Hamilton n'a donc rien d'un Géo Trouvetout (vous savez, celui qui se lève chaque matin en se demandant ce qu'il va bien inventer aujourd'hui); on a plutôt envie de le comparer à ses compatriotes rugbymen: il est tenace, ne lâche pas, se fait bloquer à qiuelques mètres du but (la "Terre promise", comme disent les adeptes de ce sport), mais à force de bloquer, d'enfoncer, de rebloquer, de relancer, on va "faire le trou" et marquer, c'est sûr! L'étincelle comme concrétisation du fameux Fighting Spirit.

Nous y reviendrons... mais n'oublions pas que nous sommes partis pour une promenade!

Rejoignons le canal

Si l'on regarde un plan actuel de Dublin, on remarque que l'eau y dessine un Ψ couché -une fourche, si l'on préfère- dont la dent centrale est la rivière qui traverse  la ville d'Est en Ouest, la Liffey, et dont les ceux autres sont des canaux qui la relient au grand fleuve de l'île, le Shannon: au Sud, le Grand Canal, et au Nord, le Royal Canal. C'est ce dernier qui nous intéresse, puisque c'est avec un de ses ponts que nous avons rendez-vous.




plan actuel
 plan de 1837
Le plan de 1837 est contemporain de Hamilton, très précisément 6 ans avant la fameuse promenade, ce qui donne une idée assez exacte de la configuration à son époque: les deux canaux enserrent la ville, mais sont légèrement en dehors de celle-ci... Ils seront rattrapés par l'expension urbaine.

Il est facile de rejoindre à sa guise le Royal Canal: d'où qu'on parte, faire chemin plein Nord, on finira bien par le rencontrer! Mais pour agrémenter le parcours, ous vous suggérons de démarrer à Trinity College (site officiel), où notre héros passa quelques années d'étude (1823-1827), avant d'y devenir un jeune professeur.






Derrière son porche d'entrée un rien austère, c'est un jardin verdoyant que l'on découvre à Trinity College, bordé de bâtiments au style néo classique... ou so british!

On y voit notamment la statue de George Salmon (1819-1904), mathématicien, spécialiste de Géométrie Algébrique, qui en fut aussi le doyen (provost est le titre officiel), et qui y côtoya Hamilton.

Mais ne négligez pas non plus d'admirer l'œuvre d'Henry Moore, 'Reclining Connected Forms' (1969).

Hamilton y devint professeur d'astronomie, après avoir été nommé en 1827 au poste d'astronome royal à l'observatoire de Dunsink (nous en reparlerons plus loin), battant six candidats dont George Biddell Airy, qui obtint celui de Cambridge en 1828, puis  Greenwich en 1835. Objectivement, le choix d'Hamilton n'avait rien d'excellent: c'était un piètre observateur (contrairement à Airy), et le sujet était loin de le passionner. Disons qu'en lui assurant un revenu, cela lui permit de se consacrer aux mathématiques....



l'itinéraire que nous vous suggérons,
en jaune!

 Mais il est temps d'entamer notre marche.

Traversons la Liffey par O'Connell Bridge, poursuivons par la grande artère O'Connell Street, puis dans son alignement par Cavendish Row, jusqu'à rencontrer Dorset Street, que l'on prendra sur la droite sur la droite, jusqu'à ce qu'on franchisse le canal; il n'y aura plus alors qu'à tourner à gauche et longer le canal jusqu'à notre but.

Quel intérêt à cet itinéraire plutôt qu'un autre? Une simple question d'ambiance... irlandaise, puisque nous passerons ainsi devant le pub The Auld Triangle, à l'angle de Gardiner Street.

Or, The Auld Triangle, c'est aussi une chanson très populaire là-bas, et dont les lyrics insistent beaucoup sur le Royal Canal: ce n'est certes pas le sujet principal de la chanson -une sorte de blues d'un prisonnier, mais ce sont les deux vers de refrain que le public est invité à reprendre en chœur:

And the auld triangle went jingle-jangle
All along the banks of the Royal Canal

Nous vous suggérons de l'écouter avec cette vidéo de Greg Hansard, Irlandais pur jus, devant la foule de... Chicago.

 

On prend la route (Royal Canal Way) qui longe le canal; rien de très remarquable, mais bientôt, après le Cross Guns Bridge au nord de Phibsborough, elle se verra substituer un simple chemin de halage, qu'on va emprunter en restant du même côté de l'eau. (On coupe donc à angle droit la large route qui passe sur le pont.)

Difficile de se tromper, mais si vous avez un doute, voici un repère aussi commode que sympathique aux amateurs (sans modération) de rugby et (avec un peu plus de prudence) d'autres spécialités du pays...
 

All Along the Banks of the Royal Canal...

Nous y voilà donc. Là se trouve l'écluse dite "de l'entrée à Dublin" (si l'on parcourt le canal dans l'autre sens, venant de l'ouest). Même aujourd'hui, avec une agglomération plus étendue, on a vraiment l'impression de quitter la ville, d'entrer dans la campagne environnante. vb


Au delà de l'écluse, en amont, l'eau est si calme que, même par un ciel gris, le miroir deau est parfait. Les bâtiments s'espacent, l'ambiance est de plus en plus campagnarde...





Ah! Enfin un pont... Non, celui-ci est pour la voie ferrée.
Encore un peu de patience, encore une écluse...


Et voici un vieux pont de pierre. Un peu bizarre, non?
Deux arches qui ne sont pas un même style (celle de gauche, plus large, est en "anse de panier), une passerelle moderne à la perpendiculaire, voilà qui manque singulièrement de style! Comme si le vieux pont du temps d'Hamilton (au fait, avaitil une ou deux arches? Nous n'en savons rien) avait été élargi, ou s'était fait rajouter une arche, puis la passerelle.

Et par là, aucune trace de la fameuse plaque!
Il n'est pas difficile de comprendre les raisons de ce bricolage archtectural: l'arche large doit être suffisante pour enjamber une voie ferrée à double sens de circulation, et Broombridge est une halte, d'où l'installation de la rampe perpendiculaire au pont, pour donner un accès au quai.






Le panneau vous confirmera (en  Anglais et en Gaëlique) que vous êtes bien à l'endroit souhaité; parallèlement à la gare se trouve aussi le terminus d'une ligne de tramway qui mène au centre-ville. Vous avez donc le choix si vous souhaiter venir rapidement, mais cela aura moins de charme.

On se trouve ici dans le quartier périphérique de Cabra.
Il ne nous reste plus qu'à inspecter l'autre côté du pont pour chercher notre plaque, et bien sûr, elle est là, bien en évidence.

À côté de la Plaque


Brassens vous le chante (source: INA)
au premier plan, la main de Pierre Nicolas
 L'ami Georges vous le dira mieux que le Mathouriste ne saurait le faire:
Il suffit de passer le pont    
C'est tout de suite l'aventure

Aventure, il y a bien pour Hamilton: il va falloir abandonner la commutativité de la multiplication, si naturelle, pour entrer dans un monde moins confortable et encore, pour beaucoup, à découvrir!
 

Et voilà! De l'autre côté, on voit non seulement la plaque bien connue, mais aussi le tout récent médaillon portraiturant le héros (2021), commandé par la société historique de Cabra. On pourra aussi remarquer que les pierres n'ont pas la même taille, ce qui confirme une modification, certainement effectuée pour le passage de la voie ferrée.


Il est temps d'en dire plus sur deux sujets: l'histoire de  la plaque rectangulaire et les formules de Hamilton qui y sont inscrites (Au début de notre page, nous n'avons qu'esquissé le contexte de cette découverte, afin de ne pas décourager ceux qui cherchent dans ce site autre chose que des formules. Et interrompu la lecture à i² = j² =  -1, laissant un Hamilton perplexe devant la multiplication des triplets...)

1. Cette plaque a été inaugurée en 1958, et pas par n'importe qui: celui qui était alors taoiseach (premier ministre) de l'Irlande, et en deviendraait le troisième président l'année suivante: Éamon de Valera, Une place politique gagnée durement, car il avait été auparavant  un des  chefs de l'insurrection de Pâques 1916, de la guerre d'indépendance (1919-1921), puis incarcéré de 1923 à 1924 en raison de son opposition à la partition qui est toujours en vigueur aujourd'hui.

Mais avant d'être un homme de la lutte armée, il avait été rugbyman, et... professeur de mathématiques. Et dans sa prison, il avait gravé au mur les formules de Hamilton! Aussi tenait-il particulièrement à inaugurer cet hommage au "libérateur des Mathématiques" (celui qui avait su s'affranchir de la commutativité dans le produit des nombres). Voici un extrait de son discours:


"Je suis heureux, en tant que Chef du Gouvernement, de pouvoir honorer la mémoire d'un grand scientifique et d'un grand Irlandais. C'est pour moi une grande satisfaction d'être présent aujourd'hui, car il y a plus de 50 ans que j'ai appris l'histoire du pont et de la découverte des quaternions. Arthur Conway était professeur de physique mathématique à l'UCD, et c'est lui qui m'a initié au travail de Hamilton et raconté l'histoire du pont, comment la solution lui était apparue alors qu'il passait par là, et avec quelle inspiration Archimédienne il avait exprimé son Euréka en gravant l'immortelle formule sur le pont. En plusieurs circonstances, ensuite, je suis venu à cet endroit comme on se rend sur un lieu saint. J'ai cherché, pierre après pierre, dans l'espoir de retrouver quelque trace de cette fameuse inspiration. Je ne savais pas, jusqu'à une époque relativement récente, que Hamilton lui-même avait cherché son inscription une quinzaine d'années après sans réussir à la retrouver. Le temps avait fait son ouvrage, mais nous voici réunis au pont pour en perpétuer le souvenir, afin que ceux qui passent ici se remémorent un endroit aussi célèbre dans l'histoire des sciences."

2. Maintenant, pour ceux qui sont curieux de la fin de l'histoire mathématique,il nous reste à décrypter le reste de l'inscription. Qui est k? Comment vient l'idée d'abandonner la commutativité? Et comment l'échec sur les triplets mène-t-il aux quadruplets? Nous avons la chance que le découvreur nous raconte par le menu son itinéraire, et c'est plutôt rare!

Plus de détails sur la genèse de ces formules, par Hamilton in person
 (Vous n'êtes pas obligés de lire; néanmoins, ne partez pas trop vite:
après ce cadre, d'autres images et une deuxième promenade de Hamilton vous attendent!...)

"Mon cher Graves,

C'est un très curieux enchaînement de spéculations mathématiques que jai vécu hier, et je ne peux quespérer qu'il vous intéressera. Vous savez que j'ai longtemps souhaité disposer d'une théorie des Triplets, analogue à celle des Couples que j'ai déjà publiée, et je crois que vous avez exprimé le même désir [...]. Je pense maintenant que j'ai découvert hier une théorie des quaternions qui englobe une telle théorie des Triplets.
 Voici comment se sont ordonnées mes pensées. Comme la racine carrée de -1 est, en un sens bien connu, une ligne perpendiculaire à celle de 1, il semblait naturel qu'une certaine autre quantité imaginaire déterminerait une ligne perpendiculaire à la précédente, [...]tout en étant aussi une racine carrée de -1, à ne cependant pas confondre avec la précédente. Appelant l'ancienne i , selon l'habitude des Allemands, et la nouvelle j, je cherchais quelles lois devaient régir le produit de (a + ib + jc) par (x + iy + jz) Il semblait naturel de supposer  que ce soit
(ax - by - cz) + i (ay + bx) + j (az +cx) + i j (bz + cy)
  mais que faire de i j? Doit-il être de la forme (a + ib + jc)? Son carré semblerait valoir 1, puisque i² = j² = -1; et cela pourrait nous inciter à poser
ij = 1 ou  ij = -1;
 mais aucune de ces suppositions ne nous permettrait d'avoir la somme des carrés des coefficients de  1 ,  i ,  j égale au produit des sommes des carrés  correspondants  dans les facteurs. Prenez le cas le plus simple du produit, lorsqu'il s'agit du carré, on aura
a² - b² - c² + 2 i ab + 2 j ac + 2 i j bc , et comme
(a² - b² - c²)² + (2ab)² + (2ac)² = (a² + b² + c²)²
la condition sur les modules est remplie, si l'on supprime le terme en i j [...]
Voyez, je fus un instant tenté d'imaginer que ij = 0. Mais cela semblait singulier et malcommode, et je me rendis compte que la suppression du terme de trop [en français dans le texte] pouvait être effectuée avec une supposition qui me semblait moins dure, à savoir  j i  = - i j . Je posai donc ij = k , ji = -k , sans me soucier de savoir si k = 0 ou non.  Reprenant alors le produit de deux triplets quelconques,  (a + ib + jc) par (x + iy + jz), et cherchons si la loi des modules est satisfaite quand nous supprimons le terme en k. Est-ce que
(a² + b² + c²)²(x² + y² + z²)² = (ax - by - cz)² + (ay + bx)² + (az + cx)² ?

Non, le premier membre excède le second de (bz - cx)². Mais c'est exactement le carré du coefficient de k dans le développement du produit
(a + ib + jc).(x + iy + jz)
si l'on tient pour acquis ij = k , ji = - k ,comme proposé ci-dessus. Et là, je vis poindre l'idée qu'il nous faut admettre, en un certain sens, une quatrième dimension de l'espace, afin de pouvoir calculer sur les triplets; ou, en transférant ce paradoxe en algèbre, admettre un troisième symbole imaginaire k, qu'il ne faut confondre ni avec i, ni avec j, mais qui est le produit du premier par le second, et qu'il faut donc introduire des quaternions a + ib + jc+ kd
Je vis qu'on avait probablement ik = - j , parce que ik = i ij et i² = -1; et que de même on pouvait s'attendre à ce que kj = i jj = - i ; d'où j'ai pensé qu'il était probable que k i  = j , jk = i car il semblait vraisemblable qu'à côté de  ij = - ji , on ait aussi kj = - jk et  ik = - ki. Et parce que lordre de  multiplication de ces imaginaires n'est pas indifférent, nous ne pouvons pas en déduire que k² =  ij ij = 1, en disant que  i²j ²= (-1).(-1) = +1 . Il est préférable de  voir que
k² =  i ji j = - ii jj = -1

[...] Mon système de relations était alors complet
i² = j² = k² = -1;
ij = - ji =  k ,  jk = - kj =  i ,  ki = - ik =  j ,
et avec cela j'étais contraint à considérer que le produit de deux quadruplets est un quadruplet. [...]"

Lettre à J.T. Graves, 17/10/1843 (extrait)
L'intégralité (en V.O.)  en suivant ce lien

 

source de l'image: site d'Anne van Weerden, consacré à Hamilton.

Un sculpteur sur sable, Daniel Doyle, a réalisé (2012) une très belle restitution de la scène. Le Mathouriste, en découvrant cette image, commença par douter: indéniablement émouvante (connaître simultanément la jouissance scientifique de la découverte et la caresse d'un amour sincère, what else?), n'était-elle pas trop belle, plus belle que la vérité?
La biographie de R.P. Graves présente en effet un homme blessé de n'avoir pu épouser son amour de jeunesse. Il se serait alors marié pour respecter les convenances sociales de l'époque -quasiment indifférent sur le choix de celle qui partagerait sa vie: elles se valaient toutes si ce n'était pas celle pour qui il avait brûlé. Il s'était montré un bon père, certes, mais la relation avec une épouse qui, dans un premier temps, n'avait pas voulu résider à l'observatoire de Dunsink en l'y laissant seul apparaissait distante.
Or, l'artiste a puisé son inspiration dans une nouvelle biographie, dont l'auteure, Anne van Weerden, défend, avec de nombreux témoignages de contemporains du savant, l'idée d'un mariage heureux dans une société victorienne qui ne faisait guère de cadeaux aux femmes. Voilà donc de quoi éclairer son choix.

Alors, yes! Try a Little Tenderness, avec bien sûr Otis Reading, notre soul sister à tous: Aretha Franklin, ou le moelleux sax alto de David Sanborn.

Hamilton romantique? En tout cas, il aimait la poésie, et n'hésitait pas à la comparer aux mathématiques:
Mathematics is an aesthetic creation, akin to poetry, with its own
mysteries and moments of profound revelation.

Et comme Omar Khayyam (voyez comme ses poèmes vont bien à ses équations de degré 3!) ou Lazare Carnot avant lui, il écrivait ses propres poèmes, et... il nous en laissé un à la gloire de Fourier!

Et Hamilton, soulagé, put poursuivre sa marche vers le siège de la Royal Irish Society, alors situé au 114, Grafton Street -c'est à dire au cœur de la ville. L'immeuble a été démoli en 1904, pour laisser la place à une banque. Dès ce jour, il demanda à inscrire des communications sur le sujet au calendrier des séances suivantes, et produisit un incroyable feuilleton en 18 épisodes! Comme pour tous les Comptes-Rendus des Académies, la date de parution est nettement postérieure, mais la découpe est respectée, puisque leur but est de donner les procès verbaux des séances. 



le bâtiment de l'époque "hamiltonienne"
 dates de parution du feuilleton quaternionique
( in Elements of Quaternions  )

3. Quelques Mots sur (une partie de) l'Héritage...

On a assez souvent reproché à Hamilton que sa géniale découverte lui soit monté à la tête, et qu'il ait voulu en faire le point central des Mathématiques. C'est une autre exagération, même s'il était fier de son bébé au point de ne rater aucune circonstance pour le mettre en valeur! Voici peut-être l'essentiel:

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les produits de vecteurs (et qu'on vous cache le plus souvent)

 [ vous pouvez encore sauter cet encadré si vous n'avez jamais fréquenté ces bestioles...]

1. Les Quaternions au service des produits:
Hamilton sépare son quaternion a + ib + jc+ kd en une partie réelle, a et une partie imaginaire (tout le reste, soit ib + jc+ kd, autrement dit tout ce qui comporte les 3 symboles "imaginaires" puisqu'ils sont de carré -1). Il est intéressant d'y voir apparaître le mot scalaire, par référence à l'échelle des nombres; quant à la partie imaginaire, elle a tout naturellement l'apparence d'un vecteur exprimé sur une base  i, j, k . Il nous paraît intéressant de vous livrer son texte en V.O. parce qu'il n'est pas difficile et permet de saisir ce moment crucial pour ce qui va suivre.


Mais alors, grâce à sa théorie nouvelle des quaternions, il peut multiplier deux vecteurs... et contempler le résultat; ce n'est en général pas un vecteur, car il a aussi une partie scalaire. Il cherchait un produit de deux vecteurs? Voilà qu'il en obtient deux, en considérant la décomposition de son résultat. Vous allez assister en direct à la naissance du produit scalaire de deux vecteurs, et à celle de leur produit vectoriel:



La conséquence la plus intéressante sera le développement par Josiah Willard Gibbs de l'Analyse Vectorielle: hélas pour Hamilton, elle éliminera totalement les quaternions de l'affaire, dans un but de simplification -Hamilton n'est pas facile à lire dans tous ses paragraphes, et avaler l'ensemble de sa théorie pouvait légitimement paraître indigeste à son époque,... et peut-être encore plus aujourd'hui!


l'ouvrage de Gibbs, Vector Analysis, et le passage sur les produits de vecteurs, expurgé de tout quaternion!


2. Et le meilleur est à venir, et ce sera une contribution décisive pour la physique. Reprenons donc la lecture de Hamilton:
.


Il vient d'introduire le pseudo-vecteur (opérateur différentiel, pour parler un langage mathématiquement châtié) qu'on appelera plus tard Nabla -il connaît le nom et l'écriture en "pointe vers le bas", mais la récuse dans un premier temps en préférant la diriger vers la gauche... Quoiqu'il en soit, il vient de donner naissance au calcul symbolique que développera ensuite  Oliver Heaviside, et d'exprimer le laplacien grâce à son produit scalaire tout frais!
Divergence et Rotationnel seront aussi clairement exprimés lorsqu'il poursuit



C'est Oliver Heaviside qui donnera l'écriture des équations de Maxwell sous la forme limpide qu'elles ont aujourd'hui, qui emploie le Nabla, et que le Mathouriste vous convie à lire sur le socle de sa statue à Edimbourg. Le "malheureux" Maxwell, lui, avait écrit toutes les composantes, ce qui faisait un joli paquet de formules, alors que l'écriture nouvelle les réduit à 4, et surtout met en valeur leur "symétrie" et l'esthétique de l'ensemble.

Note pour les étudiants qui auront à se servir du Nabla: peut-être avez vous ressenti -ce n'est pas rare!- ceci: "Nabla, c'est formidable, mais l'ennui, c'est que parfois, ça marche, et parfois, ça ne marche pas!" Ce n'est pas vrai, bien sûr; le problème est dans une utilisation fautive, avec une frontière entre le licite et l'illicite peu perceptible. À l'intention de ses étudiants, le Mathouriste a écrit, il y a pas mal de temps, un petit document, simple et pratique, (et, osera-t-on dire: infaillible?) que vous pourrez télécharger ici.

Pour vous faire raconter tout ça en vidéo:
Quaternions are Amazing and so is William Rowan Hamilton! (dans la série Kathy Loves Physics & History )


4. L'Héritage se poursuit toujours... auriez vous soupçonné où?



Eh oui! Avec Lara Croft, entre autres... Car les jeux vidéo, Tomb Raider en tête, ont besoin de manipuler dans tous les sens (et le plus rapidement possible, pour la crédibilité de l'action) les objets créés, du vaisseau intergalactique à la charmante aventurière, en passant par une quantité de méchants défiant le dénombrement.
Manipuler dans tous les sens, mathématiquement consiste à effetuer des rotations de l'espace. Or, dès leur naissance, les quaternions offraient un mode de représentation des rotations spatiales beaucoup plus compact que les autres outils mathématiques (par ex: angles d'Euler, matrices de transformation, pour les lecteurs qui connaissent). Et leur produit code exactement la composition (l'enchaînement, si vous préférez) de deux rotations! Pas d'hésitation: les formules de multiplication et division (et a fortiori, addition et soustraction) vont être bien moins encombrantes dans l'ordinateur. et plus rapide à effectuer: double gain! Le prix Nobel de physique 1969, l'américain Murray Gell-Mann l'a signalé dans sa conférence à Dunsink... un avis de poids, au cas où vous croiriez à une fantaisie de cette page.

Vous trouverez plus de détails, notamment la comparaison du nombre d'opérations élémentaires requises entre nombres dans cette page Wikipédia, entre la méthode quaternionique et les autres..

Ce n'est pas une réelle nouveauté, cet outil avait déjà été utilisé en robotique... pour les mêmes raisons. Mais l'essor de l'informatique lui a donné importance nouvelle. Et cela ne concerne pas que le monde virtuel; un autre essor fulgurant, celui des drônes, a mobilisé les quaternions. À suivre...

La Marche Commémorative: Hamilton Walk (since 1990)

Le Mathouriste n'est bien sûr pas le seul à avoir eu l'envie de faire à pied le pélerinage vers Broom Bridge en longeant le Royal Canal. En 1990, le mathématicien Irlandais Anthony G. O’Farrell a organisé une marche commémorative au jour anniversaire de la découverte; et ce premier essai a été transformé en un évènement  annuel qui attire de plus en plus de monde: entre 200 et 300 personnes y participent depuis l'an 2000, et il y a du beau monde: des prix Nobel de Physique (Murray Gell-Mann en 2002, Steven Weinberg en 2005, Frank Wilczek en 2007), des médailles Fields de Mathématiques (Andrew Wiles en 2003,Timothy Gowers en 2004, Efim Zelmanov en 2009).Le départ est donné depuis l'Observatoire de Dunsink, où résidait et travaillait Hamilton, avec un discours introductif sur Hamilton et son œuvre, par un prestigieux participant (Ingrid Daubechies en 2006, par exemple).

source de l'image: Dunsink Observatory (DIAS)
Cette vidéo présente l'observatoire... et vous promène aussi du côté de Broom Bridge pour évoquer Hamilton; vous pourrez constater quelle a été tournée avant l'ajout du médaillon.

On peut visualiser le trajet ci-contre: l'observatoire est au nord du canal, et lorsque les marcheurs l'ont rejoint (à travers champs!), ils arrivent au pont par le côté opposé à celui suivi par le Mathouriste, qui venait, lui, du centre ville. Si l'on se fie à ce que nous dit Hamilton, il fait ce trajet, s'offre une petite pause gravure au pont, et poursuit vers la Royal Acadeùy, dans le centre-ville: il y en a pour 8km en tout. Cela ne semble pas lui faire peur, et d'ailleurs, c'est très sain, pour le corps comme pour l'esprit: la marche favorise la réflexion!
(a contrario, se faire déposer à la porte de son école en SUV est-il une bonne préparation à l'activité cérébrale?)
source de l'image: Capture d'écran de cette vidéo (marche 2020)

 Organisateur depuis 2010, Fiacre O' Cairbre a eu l'excellente idée d'écrire un article de souvenirs sur cette marche, que nous vous recommandons chaleureusement. Nous lui empruntons quelques images qui l'illustrent en espérant que cela vous incitera à le lire:


Fiacre O' Cairbre, Andrew Wiles et Anthony G. O’Farrell
Marche 2003
Anthony G. O’Farrell, discours à Broombridge,
Marche 2005

Coda pour Broombridge

Concluons cette première promenade comme nous l'avons commencée, en chanson folk... (N'est elle pas -fût-ce involontairement- aussi évocatrice de l'état mental du héros à ce moment précis que... de l'état de l'eau?)

" Like a bridge over troubled water  I will ease your mind  "               



(capture d'écran de ce concert,
mais on peut préférer l'immortel concert de Central Park...)

Mais ô surprise! Il y a une chanson encore plus... hamiltonienne (un peu moins célèbre, reconnaissons le...); elle a été composéee par Jack Gannon, à l'occasion de la marche 2003.

source:l' article de Fiacre ´O Cairbre

Une autre Promenade Hamiltonienne...

Hamilton a inventé le jeu suivant, dit jeu icosien: sur un plateau sont gravés des trous, dans lesquels on peut enficher des jetons numérotés, et des traits, qui les relient. On peut penser à la planche de jeu comme une carte, aux trous comme des villes, aux traits comme des routes, les jetons servant à définir l'ordre du parcours. On donne 4 sommets consécutifs (soit une route de 1 à 2, puis 2 à 3, et enfin 3 à 4, et la question est: peut-on poursuivre ainsi le chemin, et visiter toutes les villes en n'en oubliant aucune, mais en passant une seule fois par chacune ?  (L'interdiction de passer deux fois dans la même est matérialisée par l'insertion d'un jeton: la place est désormais prise, il est interdit d'y poser un autre numéro).

exemplaire original du jeu icosien (seuls 3 existent encore dans le monde entier!)
source: The Puzzle Museum

D'où vient la forme si particulière gravée sur le plateau?

Hamilton a conçu ce plateau de jeu à partir d'une figure bien connue dans l'espace à 3 dimensions, le dodécaèdre régulier, l'un des 5 solides platoniciens. Son nom fait référence à ses 12 faces (pentagonales), mais il a 20 sommets, d'où le nom proposé pour le jeu (le préfixe icosa vient du grec, eikosi = 20), puisque ce sont les sommets, et non les faces, qui intéressent ici Hamilton. Attention, nous connaissons bien également, au royaume des solides réguliers de Platon, l'icosaèdre, mais son nom fait référence à ses 20 faces (triangulaires); il n'a que 12 sommets.


Dodécaèdre à Borgo San Sepolcro, Italie
(en hommage à Luca Paccioli et Piero della Francesca, natifs de la cité)
 Dodécaèdre à Urbino, Italie
(en hommage aux mêmes, qui passèrent  par là aussi)

Bien sûr, pour l'aplatir, il a fallu le déformer un peu! Mais tout ce qui compte est le respect de la disposition des sommets et des arêtes:3 arêtes aboutissent à chaque sommet, douze faces pentagonales sont toujours présentes. Le pentagone au sol à San Sepolcro serait au centre; au contraire le "couvercle" est celui qui est à l'extérieur -régulier mais considérablement agrandi!. Entre, le prix à payer a été de déformer les faces latérales, comme si elles étaient en caoutchouc...
A contrario, si l'on voulait maintenir toutes les faces égales et régulières, il faudrait "découper selon les arêtes": c'est ce que l'on fait pour donner un patron 2D du solide (avec des onglets pour recoller les faces et fabriquer un dodécaèdre en carton, les enfants adorent...). Une raison simple en est l'impossibilité de couvrir les 360° autour d'un sommet avec 3 angles à 108° qui sont ceux du pentagone régulier!
Ainsi, le mathématicien -comme souvent- doit faire un choix: que conserver (ce sur quoi on ne peut pas transiger), qu'abandonner en se disant que c'est inutile pour le problème étudié. C'est tout l'art d'une négociation, qu'elle soit diplomatique, commerciale, ou... géométrique. Si on veut reconstruire le solide 3D, on opte pour le respect des faces, mais la découpe a fait perdre la propriété "3 arêtes arrivent à chaque sommet"; des onglets et de la colle y pourvoieront; pour le jeu icosien, seule la disposition relative des sommets et des arêtes compte, tant pis pour la longueur des arêtes et la surface des pentagones, qui n'intervient pas dans le jeu.
exemple de patron du dodécaèdre (Wikipedia)

Qu'est-ce qui excite les informaticiens?

Vous aurez sûrement compris dès sa formulation qu'on peut jouer à ce jeu à partir de n'importe quelle carte (mais le nom savant est graphe), avec des sommets et des arêtes (on conserve le vocabulaire issu des polyèdres!), par exemple, un plan de métro (ou du moins, une partie, sans terminus à une seule arête, ou encore en le complétant par un trajet périphérique les reliant; cela a existé à Paris, cela s'appelait le chemin de fer de petite ceinture, et le tramway T3 en reprend doucement -et partiellement- le flambeau... ). Londres, Paris, Moscou... des graphes différents, un même problème.
 
Eh bien, on ne connait actuellement pas d'algorithme efficace (techniquement, en temps polynômial en fonction des données) pour résoudre ce problème dénommé: recherche d'un parcours hamiltonien. Mais attention: si on change la règle du jeu, en exigeant maintenant de passer une fois et une seule par chaque arête (au lieu de chaque sommet), le problème devient facile: on sait construire un algorithme de résolution en temps polynomial. Le problème issu de cette modification faussement anodine (on a juste changé le mot sommet en arête dans la question), c'est celui de la recherche d'un parcours eulérien ... c'est à dire le fameux Problème des Ponts de Königsberg, dont le Mathouriste vous parle dans cette autre page, autour d'un live in town! C'est le moment de la visiter, si vous ne l'avez pas encore fait, pour bien saisir la différence. Et rencontrer un autre héros: Euler!

Quelques éléments sur sa jeunesse...

  Hamilton est né à Dublin, mais n'y a pas vécu très longtemps, car il a été confié dès l'âge de trois ans à son oncle pour qu'il assure son éducation et reverra très peu ses parents. Sa maison natale -non loin d'Auld Triangle!- avait reçu une plaque commémorative sur sa façade, mais elle a dû être démolie "pour raison de sécurité", car  elle risquait de s'effondrer en endommageant les maisons voisines... Il en reste quelques traces en images, et, miraculeusement, la plaque a été épargnée lors des opérations; et elle a été retrouvée à l'Observatoire de Dunsink.





Maison natale à Dublin.
Photo de presse, 1938
(The Irish Independant)
 		Détail de la porte d'entrée
Archives de la RTÉ
(Radio Télévision de l'Eire)		Article relatant la démolition
(1964)
 La Plaque (aujourd'hui à Dunsink Observatory)
Toutes ces images proviennent de cette page du très complet, très documenté site d'Anne van Weerden, A Victorian Marriage, William Rowan Hamilton
On vous le recommande vivement!

L'oncle James habite Trim, une bourgade située à une soixantaine de kilomètres de Dublin.Le petit William n'ira jamais à l'école, son oncle se charge de tout. Et comme dune part il est linguiste, et que d'autre part l'enfant est d'une précocité peu commune, il maîtrise dès l'âge de 5 ans le Latin, le Grec et l'Hébreu, à dix ans plusieurs langues orientales, dont le persan et le sanskrit. Autant dire qu'il n'aura aucun problème pour faire sa rencontre avec les mathématiques en lisant le traité d'algèbre de Clairaut dans le texte! C'est à ce moment qu'il bascule de l'étude des langues vers celle des mathématiques; par contre, il ne renoncera jamais à la poésie.

Un des rares moments avec son père fut un voyage en Irlande du Nord; il s'agit d'un voyage d'affaires, mais on s'accorde une journée de détente à la Chaussée des Géants qui impressionne beaucoup l'enfant, comme il le confie plus tard au futur logicien de Morgan. On ne va évidemment pas se priver d'un petit coup d'œil (mais avec une bonne bouffée d'air frais irlandais, croyez en l'auteur, c'est encore mieux!)





Références

Biographiques

Écrits de Hamilton

Études,  Contexte Mathématique






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