e est irrationnel... en Terminale ? Chiche!

et en version historiquement informée!

À la Découverte, avec Euler (1732)

On reconnaît, à gauche du timbre commémoratif, la tour de ce qui était à l'époque du séjour d'Euler le bâtiment de l'Académie des Sciences; il héberge aujourd'hui celle des Beaux Arts. Même en hiver, on peut la voir se refléter dans le mince  canal  maintenu hors gel (pour dissuader de toute traversée à pied sur la glace) au milieu de la Néva!

L'écriture qui dit tout!

• ou bien il est limité, et le nombre est un décimal, (fraction de dénominateur une puissance de 10). Ainsi, 0,415 = 415/1000.
• ou bien il est illimité, et le nombre n'est pas un décimal. Ainsi de 0,333 333 ... (infiniment) = 1/3, nombre rationnel mais pas décimal, ou encore ou, "plus gravement", si l'on ose dire, de e et π .

Eh bien, il y a un autre développement qui peut révéler encore plus de choses. Ce qui suit est une simple description, mais on en apprendra plus sur le sujet en suivant notre initiation douce aux fractions continuées.

Petite information technique: écrire un nombre en fraction continuée Notre nouveau développement commence par une écriture bien usuelle, la décomposition d'un nombre x  en partie entière (soit le plus petit entier inférieur à x), classiquement notée [x], et sa partie fractionnaire, parfois notée (x) = x - [x], qui est donc comprise entre 0 (largement) et 1(strictement). On peut alors écrire , avec a = [x] entier et en introduisant la quantité y , inverse de x - [x] :  x - [x] = 1/y x = a  + 1/y  et par exemple e = 2 + 0,718... = 2 + 1 / 1,392... Ce qui est génial, c'est que, par construction, y est 0 ou un nombre plus grand que 1: on peut donc réitérer le procédé! y = b  + 1/z  et dans notre exemple 1,392... = 1 + 0,392.... = 2 + 1 / 2,549... On peut empiler ... x = a  + 1/(b  + 1/z)   et par exemple e =  2 + 1 / (1 + 1 / (2 + 0,549... ) ...et continuer! x = a  + 1/(b  + 1/ (c  + 1/u ) )   et par exemple e =  2 + 1 / (1 + 1 / (2 + 1 / 1,819... ) Le résultat est alors très simple: ou bien l'algorithme s'arrête, parce qu'une division a donné le reste 0, et le nombre est rationnel; ou bien il se poursuit indéfiniment, et le le nombre est irrationnel. Pour savoir tous les détails (sans excéder le niveau Terminale, c'est ici:  Fractions Continuées, une Initiation Douce

On a donc là un processus d'identification à vue; le seul hic, mais il est parfois de taille, c'est d'obtenir ce fameux développement. Euler, qui est le premier à théoriser le sujet, va nous montrer tout le profit qu'on peut tirer à

voir les mathématiques comme un science expérimentale!

Ce qu'Euler a découvert ...

La Preuve la plus élémentaire, avec Fourier (1795)

Monge: sa statue à Beaune	Le livre de Sainville	Fourier, faisant cours au tableau. (par un de ses élèves, probablement Dutertre)

La Démonstration d'Irrationalité

Sauf que... ce n'est pas la version originale de Fourier!

L'Encadrement: une Approche Naturelle, pour commencer...

Abordons ce problème par analogie avec le cas des équations numériques que l'on ne sait pas résoudre explicitement: au XV^ème siècle, Al-Kashi a pour traiter une équation du troisième degré inventé la méthode des approximations successives, un génial "décalage":

remplacer la question difficile                x      =  f (x)
 par le calcul facile  d'un terme suivant  x_n+1 = f (x_n)

 qui donne à chaque pas un calcul très élémentaire. En espérant que, plus on calcule de termes , plus on s'approche de la solution recherchée... Le génie c'est de réitérer, ou, selon un des adages favoris de l'auteur de ces lignes:

"Quand c'est bon... on recommence!"

Alors pourquoi ne pas adapter l'idée? Voilà une démarche d'ingénieur: on a un procédé qui marche bien, gardons son principe en le modifiant pour lui faire faire un autre travail... Ici, au problème "difficile" qu'est l'équation différentielle se substitue alors le calcul d'une primitive, avec une valeur en 0 qui fixera la constante. y' = f est la plus triviale de toutes les équations différentielles!

Le calcul d'Al-Kashi visait sin(1°), à partir de la valeur connue de b = sin(3°) et de la formule liant le son d'un angle et ceui de son triple; la valeur numérique de b qui sera utilisée est

b = 0 .052 335 956 2 ...

équation	numérique	différentielle
	3 x = 4 x3 + b	y' = y   et   y (0) = 1
inconnue	nombre	fonction
approximations successives	3 xn+1 = 4 xn3 + b	y'n+1 = yn  et   yn+1 (0) = 1
point de départ	x0 = 0 (nombre)	y0 (x) = 1  (fonction)
1ère approximation	x1 = 0, 017 44...	y1 (x) = 1 + x
2ème approximation	x2 = 0, 017 452 39 ...	y2 (x) = 1 + x + x2/2!
3ème approximation	x3 = 0, 017 452 406 4 26 ...	y3 (x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!

Dans le cas numérique, apparaissent en vert les décimales exactes: le processus converge vite, dans ce cas. Le tracé des graphes sur [0,1] peut fournir une undication visuelle, mais nous allons préciser l'encadrement au § suivant.
Une récurrence immédiate fournit bien sûr

Est-ce pour autant que

1. la suite converge?
2. et vers une fonction solution de l'équation différentielle proposée?

Le premier point est facile à régler, très facile même pour x dans [0,1], ce qui suffit à notre affaire. La suite est croissante, et l'on a de plus



en remarquant que la fraction 1/ [ k.(k-1) ] se décompose à vue en 1/ (k-1) - 1/ k, puis en observant la compensation des termes deux à deux dans la somme. Pour les autres valeurs de pour x dans [0,1[, il suffit de remarquer

Ainsi le critère des suites monotones (Toute suite croissante et majorée converge, et vers une limite inférieure ou égale au majorant) s'applique; et pour qui ne le connaîtrait pas encore, il est très intuitif!

N.B. : pas beaucoup plus difficile pour x > 0 (quelconque) Pour tout nombre b>0, on a n! > bn  à partir d'un certain rang n0. Pour établir la convegence sur [0,a], on peut prendre b = a + 1 et majorer, à partir du rang n0. xn  / n!  par an  / bn = (a / b)n  ; yn (x) est alors majorée par la somme d'une progression géométrique.

La seconde question est bien plus délicate, elle relève de fait d'un niveau Bac+1 ou Bac+2 pour être traitée rigoureusement; c'est alors une belle contruction de la fonction exponentielle. Même avec une "bonne qualité" de convergence, des fonctions dérivables n'ont pas forcément une limite dérivable; par exemple les fonctions dont le graphe est une branche d'hyperbole auront pour limite la fonction |x|, qui n'est pas dérivable en 0. 
Ce travail reste donc incomplet: il faut, à ce stade, admettre que la limite démontrée est bien la fonction exp(x). Il donne néanmoins une première idée dont l'encadrement arrive.

Al-Kashi (1380-1429) est le mathématicien qui  sort du lot  dans le groupe d'astronomes  qu'Ulugh Beg,  "le prince des étoiles", a réuni  autour de lui à Samarcande, où il a fait construire un observatoire réputé. Dans la medersa d'Ulugh Beg, un groupe statuaire représente le prince entouré de son équipe de savants; on peut imaginer qu'Al-Kashi est celui qui se tient à côté de lui.
		Celui qui a repris l'idée des approximations successives pour démontrer l'existence d'une solution à une équation différentielle est Émile Picard (1856-1941). Cette géniale adaptation (chapitre V d'nu Mémoire paru en 1890),  préfigure les travaux futurs (début du XXéme siècle) de Banach et Hilbert, fondateurs de l'Analyse Fonctionnelle (opour laquelle ce sont les fonctions elles-mêmes qui sont regardées comme points d'un espace). Picard était aussi le gendre de Charles Hermite, que nous retrouverons plus bas, aux prises avec le nombre e.

L'Encadrement: une Preuve Élémentaire

Supposons donc exp(x) construite autrement, comme inverse du logarithme (anciens programmes) ou limite de (1+x/n)ⁿ... -selon les nouveaux? Elle est sa propre dérivée, donc indéfiniment dérivable. Une succession d'intégrations par parties va nous fournir le résultat, en partant du théorème fondamental du calcul intégral

Intégrons par parties, en considérant 1.dt = d (t - 1). Drôle d'idée, direz-vous? On serait d'abord tenté de prendre t , tout simplement, non? Eh bien, essayez, et des e¹ vous resteront sur les bras à chaque tour! Il faut donc les empêcher d'apparaître lorsqu'on prend la valeur en t=1... d'où l'idée de "neutraliser" e^t en 1 grâce au facteur (t-1). Ou comment essayer, rater, et réfléchir pour corriger la trajectoire amène à ce que certains essaient de vous faire passer pour une astuce (Vous savez, cette fameuse formule des recueils d'exercices corrigés qui vous laissent pantois: "L'astuce est de..."). Après, c'est à vous de choisir, entre un peu de transpiration personnelle ou l'astuce d'un autre, que vous ne trouverez bien sûr jamais tout seul...

et voilà, mission accomplie: pas de e¹ gênant. On nettoie et on prépare la réitération:

 

C'est nettoyé, on prépare la réitération...

Bref, avant que ça ne devienne lassant, on s'offre une petite réurrence, qui nous conduit à


une formule qui mérite d'être encadrée (les lecteurs un peu savants reconnaissent un avatar de la formule de Taylor avec reste intégral, mais on peut y arriver -nous l'avons fait- comme ce bon Monsieur Jourdain; cela évite de se faire peur...
Elle prouve immédiatement l'inégalité gauche de l'encadrement, car la fonction sous l'intégrale est (strictement) positive. Pour obtenir celle de droite, plusieurs possibilités:
1/ On majore e^t par e puis par 3, 1 - t par 1. On obtient alors l'encadrement

suffisant pour prouver la convergence vers e, mais pas l'irrationalité, car l'inégalité

N_q < p. (q-1)! < N_q + 3

ne serait plus contradictoire: entre N_q et N_q + 3, il y la place pour deux entiers. Ceci nous prouve à quel point cette méthode de preuve -LA matrice de toute démonstration d'irrationnalité- requiert des encadrements très serrés; le plus petit relâchement peut être fatal.

2/ On majore encore e^t par e puis par 3, mais cette fois, on garde le (1 - t)ⁿ  et on évalue lintégrale; on aura

puis

dont on tirera

N_q < p. (q-1)! < N_q + 3 / (q+1)

qui fournira une contradiction, sauf si q=1 ou q=2. Il faudra compléter en prouvant à part que e n'est ni entier, ni demi-entier à l'aide d'encadrements numériques. Ce n'est pas très élégant, mais cela reste probant.

2/ Pour obtenir l'encadrement utilisé par Fourier (qu'il a obtenu , lui, selon la méthode classique de majoration géométrique du reste d'une série, voir l'article de Stainville), il faut raffiner un peu le traitement de l'intégrale, en écrivant

On remarque alors, par une petite étude auxiliaire,  que la fonction ( 1 - t ) e^t varie entre 0 et 1, d'où la majoration

et notre preuve d'encadrement est enfin complète.

Euler, encore Euler!

Euler, toujours Euler!

Carte postale commémorative: Euler et les deux bâtiments de l'Académie, l'ancien et le nouveau ( source: site Maths Stamps de Jeff Miller)	Le nouveau bâtiment de l'Académie Impériale: jaune, à colonnes blanches, est construit à l'époque où Euler décède

Serrons maintenant de plus près son premier article, De Fractionibus continuis Dissertatio, en jetant un regard à la "méthode particulière" employée. On commencera par remarquer que, dans tout ce qui précède l'étude de e, Euler n'a fait que

1.  trouver la valeur de fractions continuées dont il se donne la forme générale: tous les quotients partiels égaux, une périodicité simple...
2. s'occuper de nombres, alors qu'il va ici s'attaquer à des fonctions.
   

Les 4 pages de l'article consacrées à e sont assez difficiles, et pas seulement parce qu'elles sont écrites en latin!. Au bout de leur lecture, on peut au mieux être convaincu qu'Euler a bien, par sa suite de manipulations, trouvé les fractions continues qu'il cherchait, mais pas démontré leur convergence vers les fonctions considérées. Le recours à des équations différentielles est plutôt mystérieux: il ne nous dit rien de ses motivations, mais on sait en étudiant ses articles antérieurs qu'il a déjà été amené à étudier de telles équations: il ne part certainement pas de rien! Compte tenu de la difficulté, nous nous proposons de raconter d'abord ce qu'il fait (ou paraît faire...), puis, nous vous laisserons admirer ces 4 pages, et pouquoi pas, forger votre propre opinion.

Il considère l'équation différentielle (nous prenons les noms usuels x pour la variable, y= y(x) pour la fonction; Euler, on le verra, en emploie d'autres)

ay' + y² = 1

qui peut être considérée comme appartenant à deux familles distinctes, connues des mathématiciens de l'époque, mais plus délicates à manier que l'équation y' = y qui nous a servi de hors d'œuvre pour la méthode de Fourier:

1. Les équations à variables séparables, c'est à dire celles pour qui on peut mettre "les x d'un côté, les y de l'autre"... d'où la terminologie. C'est rendu trival par le fait que x n'apparaît pas dans l'équation.
2. Les équations de Riccati, du nom d'un mathématicien vénitien (1676-1754); assez incroyablement, ce nom figure dans le programme de Maths Complémentaires de Terminale, anecdotiquement certes. Car si elles ont assuré la célébrité de leur découvreur, c'est parce que, dans le cas général, on ne peut pas exprimer leur solution par une formule! Elles sont de la forme

y' = A(x) y²  +  B(x) y + C(x)

De la première forme, en l'écrivant

soit

on peut tirer pour y > 1, par un calcul de primitive de chacun des côtés

soit en choisissant la constante C = 0 (de façon à ce que y devienne infini quand x s'approche de 0

La deuxième forme présente une propriété remarquable, connue d'Euler, ne serait-ce que par ses essais antérieurs: un chamgement de fonction homographique

y = (az + b) / (cz + d)

transforme une équation de Riccati en une autre équation de Riccati; cela va se prêter à une réitération, et la forme est idéale pour "empiler" des fractions! De fait, plusieurs articles d'Euler -certains sont même posthumes- lieront les développements en fraction continuée et les équations du Comte Jacopo Riccati (Euler aime à rappeler son titre de noblesse).

Jacopo Riccati et ses Œuvres (Wikipedia)

Attention! Ce qui suit est une tentative d'explication heuristique (de l'auteur de cette page, qui en assume la responsabilité) des changements pratiqués par Euler. Aucun document n'établit qu'il a procédé ainsi.

On va opérer comme physiciens et ingénieurs le font parfois avec un problème coriace: prendre des libertés avec la légalité mathématique, tenter des approximations non justifiées a priori, voir ce qui se passe... et assaisonner le tout d'un zeste de schizophrénie: rester méfiant vis à vis de sa tentative, surtout si elle réussit! (Mais en cas d'échec, la question ne se pose plus, on déchire et on essaie autre chose) Cela tient à la fois du ski hors pistes et de l'espionnage en opérations spéciales qui, si elles tournent mal, seront énérgiquement démenties par le gouvernement. Réécoutez le début des épisodes de la série culte Mission Impossible: c'est exactement ça! Prêts pour la montée d'adrénaline?

On commence par "adimensionner" quelque peu l'équation en l'écrivant

soit encore

Maintenant, le paramètre a ne figure plus que dans un terme constant; il n'affecte plus la fonction inconnue z. L'idée "de l'ingénieur" (les mauvaise langues diront "du chimiste", mais il est toujours facile de railler celui qui simplifie le problème à résoudre pendant qu'on reste les bras croisés sans idée...) est de se dire

 Cette équation est peu diffférente de z' + z² = 0 quand a est très grand.

Ce "peu différent" est l'exemple-type d'une expression mathématique qu'on n'a pas définie avec précision.
L'avantage de l'équation simplifiée, c'est qu'on en voit immédiatement une solution simple:

z = 1 / x    soit    y = a / x

Dès lors, ne serait-il pas naturel de poser y = a/x + u, c'est à dire, l'ajout la solution de l'équation approchée d'un terme correctif que l'on va chercher à évaluer? L'efficacité n'est pas garantie: l'idée selon laquelle "deux équations proches auront des solutions proches" est une approche intuitive, pas un théorème (C'est ce que l'on dit joliment avec le mot d'heuristique) ; Comme toutes les intuitions, elle peut se révéler trompeuse; on sait construire des exemples où elle nous fourvoiera. Mais on ne risque rien à essayer, ni à faire un pas de plus: nous n'errons pas dans les calculs sans but, nous visons un développement en fraction continuée. Ce qui invite à écrire

y = a / x + 1 / y₁
( "Si tu ne sais pas où tu vas, tu ne risques pas d'y arriver... "   Proverbe Touareg )

Le calcul qui suit est bien entendu rigoureux: c'est une simple manipulation algébrique des dérivations.

On obtient:

On ne change pas une équipe qui gagne: on reprend la même technique!

soit avec le changement de fonction z₁ = y₁ / a

et enfin, rien n'interdit de regarder (avec espoir) l'équation voisine

Elle reste intéressante, car, rien qu'à la regarder, on peut lui prédire une solution en K / x . En effet, la dérivée et le carré à gauche seront "en 1 / x² "; à droite, il en sera de même pour le produit de K / x par 1 / x . Donc les x² vont disparaître, et le K faisant l'affaire devra vérifier

- K + K²  = 2 K        soit        K = 3

Comme à l'étape précédente, on se sent invité à poser

À ce stade, y est exprimée par la formule exacte (mais où y₂ reste à déterminer) grâce à l'équation suivante

On poursuivra le calcul, qui devrait faire apparaître y₂ = 5a / x en solution de l'équation approchée, que l'on corrigera en y₂ = 5a / x + 1 / y₃ . Il sera plus que temps de lancer une petite récurrence! Les quotients partiels (2n + 1)a / x apparaîtront ainsi à tous les ordres, et à tous les ordres la formule finie, exprimant y en fonction de y_n, sera exacte! Ce qui n'autorise en rien à remplacer par des points de suspension... 3 petits points, cela peut sembler anodin, mais cela ne se conçoit qu'avec une démonstration de convergence, et vers la limite obtenue par intégration de l'équation à variables séparées. Nous avons suivi une heuristique qui a fait apparaître la forme avec des petits calculs faciles, rien de plus, rien de moins. On peut s'amuser (utilement) à tracer les graphes des convergents successifs - mais un dessin n'est pas une preuve. En dépit de son souhait de rigueur et de calculs un peu plus compliqués, Euler n'a pas fait beaucoup mieux, et c'est Lambert qui, après avoir développé la fonction tan x avec la plus parfaite rigueur, adaptera sa méthode pour celui-ci.

Cela fournit les belles formules de son article; on peut constater qu'au début, la variable s'appelle p (x pour nous) et la fonction q (y pour nous)
 

Quand Hermite relit Lambert: simplifier ou "élémentariser"?

Mais d'abord, qu'a fait Lambert (1761) ?

Colone Lambert à Mulhouse: le médaillon-portrait sur la base	Le passage où Lambert obtient le développement en fraction continuée de e	La première page du Mémoire

• démontré, avec une rigueur remarquable, les développements en fraction continuée d'Euler;
• prouvé l'irrationnalité de e;
• étendu la preuve à l'irrationalité de e^r, pour tout nombre rationnel r;
• clairement formulé la conjecture de la transcendance de e.

Hermite, de Lambert à Padé (1872)

		Le texte original est encore quelques degrés de difficulté au dessus de celui de Lambert (il fait aussi l'objet d'une présentation BibNum par Michel Waldschmidt, un des meilleurs spécialistes contemporains; même recommandation: différer sa lecture). Pour parvenir à son but, il va tâcher d'approcher simultanément les diverses puissances présentes: e, e2, e3, ..., en, dans un hypothétique polynôme annulateur -le but étant de prouver qu'il ne peut exister. Mais, par souci pédagogique, il présente le cas n=1, qui conduit à une nouvelle mamière d'établir lirrationnalité, qui repose sur une approximation de la fonction exponentielle, non plus par des polynômes (sur quoi reposait la démonstration de Fourier), mais  par des fractions rationnelles.
Hermite, dessiné par Vuillier, à l'occasion du Centenaire de l'École Normale Supérieure (1894)	LE  fameux mémoire (dont le titre ne laisse rien présager!)...	... et ci-dessous, les deux pages où il réalise la démonstration d'irrationnalité alternative à celle de Lambert, en une sorte de préliminaire à sa démonstration de transcendance.

Voyant qu'il y a là un filon à exploiter, Hermite en confiera l'étude, en sujet de thèse, à un de ses élèves, Henri Padé (1863-1953): ces fractions rationnelles d'approximation portent désormais le nom d'approximants de Padé. Alors que les questions d'irrationnalité appartiennent aux mathématiques les plus pures, elles sont utilisées très efficacement dans les calculs numériques approchées de la physique et de l'ingéniérie, où elles se montrent souvent plus précises et plus économes (en opérations effectuées) que les polynômes. Ainsi, l'ordinateur IBM 360 utilisait-il un approximant de Padé comme substitut, à une quantité négligeable près (compte-tenu des décimales affichées), de... la fonction exponentielle!

Henri Padé, et la maison où il habitait l'appartement du 3ème étage lors de son séjour en poste à Lille, au lycée Faidherbe (1893-97) puis à la Faculté des Sciences (1897-1901). Les deux établissements ont fêté de concert, en 1994, le centenaire de sa présence. L'appartement se trouve au 11, place Richebé, où trône une statue du... général Faidherbe.		L'IBM 360 (1965-1978), un mythe de l'histoire de l'Informatique

Hermite, une dernière... (1873)

"On reconnaîtra volontiers que, dans le domaine mathématique, la possession d'une vérité importante ne devient complète et définitive qu'autant qu'on a réussi à l'établir par plus d'une méthode."  C. HERMITE, Sur l'Irrationalité de la Base des Logarithmes Hyperboliques

Beau sujet de philosophie mathématique, non? Car une seule suffit bel et bien, évidemment, sur le plan logique. Mais est-ce pour autant que la compréhension du résultat sera totale? Gauss offre un exemple illustre de cette attitude (par exemple, ses démonstrations du théorème fondamental de l'Algèbre), qui n'est pas rappeler celle des alpinistes: être le premier à vaincre le sommet, bien sûr, mais ouvrir de nouvelles voies aussi...

Il est tout à fait remarquable qu'étant venu à bout de la transcendance de e, Hermite s'intéresse encore à son irrationalité. Il "remixe" donc la preuve précédente en la débarassant des intégrales. Il faut pour l'aborder une petite connaissance des séries entières: on dépasse en cette fin de page, et pour la première fois, le niveau qu'on s'était imposé. Mais c'est la fin, et voir la citation du cadre vert dans son contexte est tout de même intéressant, non?

Bibliographie

Textes historiques (Sources Premières)

• L. EULER, les Archives EULER: tout Euler en ligne!
• C. HERMITE, OEUVRES COMPLETES
  
• Oeuvres, tome 1 (à l'Université du Michigan)
• Oeuvres, tome 2 (à l'Université du Michigan)
• Oeuvres, tome 3 (à l'Université du Michigan) [ contient en intégralité tous les textes mentionnés dans cette page]
  
• Oeuvres, tome 4 (à l'Université du Michigan)
• H. LEBESGUE, Leçons sur les Constructions Géométriques (Gautheirs-Villars, réédition J. Gabay)

Ouvrages de Références (niveau **)

• H. BOUALEM, R. BROUZET, La Planète R (Dunod)
• C. BREZINSKI, History of Continued Fractions and Padé Approximants (Springer)
• E. HAIRER, G. WANNER, Analysis by its History (Springer)
• X. HASCHER, A. PAPADOPOULOS, Leonhad Euler: Mathématicien, Physicien & Théoricien de la Musique (CNRS Éditions)
• J. HAVIL, The  IrratiΦnals (Princeton University Press)
• I. NIVEN, Numbers: Rational & Irrational  (The L. W Singer Company)
• C. OLDS, Continued Fractions (MAA)
• M.SERFATI, Quadrature du Cercle, Fractions Continues et Autres Contes (Brochure APMEP n°85)
• J. STILLWELL, Mathematics and its History (Springer)

Ouvrages de Références (niveau ***)

• D. DUVERNEY, Théorie des Nombres (Dunod)
• G. HARDY, E. WRIGHT, An Introduction to the Theory of  Numbers (Oxford)
• ,J.H. SILVERMAN, A Friendly Introduction to Number Theory (Pearson)
• M.WALDSCHMIDT, Nombres Transcendants. (Springer, Lecture Notes in Mathematics 402).

Sur la Toile

• Alain Juhel: Irrationalité et Transcendance: État des Lieux avant Hermite , conférence aux journées Padé (Lycée Faidherbe, Lille, 1994).
• Site du Mathouriste