Surfaces et Sculpture(s)

"Le génie mathématique et le génie artistique se touchent l'un l'autre."
Gösta MITTAG-LEFFLER (Mathématicien Suédois, 1846-1927)

I : Rencontres réglées: Hasard ou Nécessité?


Commençons par rassurer deux catégories potentielles de visiteurs/lecteurs:
  1. Ceux qui n'ont pas étudié les surfaces en géométrie dans l'espace (catégorie qui devrait croître vers 100% de la population grâce à, ou à cause, des commissions chargées des programmes en classes prépas);
  2. Ceux qui affirment la nécessité de rendre les mathématiques "plus sexy" -ce qui n'exclut pas leur participation active au déshabillage géométrique des programmes évoquée à l'alinéa précédent.
Le Mathouriste, pleinement d'accord avec l'objectif n°2 mais soucieux de sa mise en pratique effective, invite les uns et les autres à contempler cette image tirée d'un film du grand George Cukor:



  Les Girls, 1957. Gene Kelly, Taina Elg... et la musique de Cole Porter.
On peut en faire, des choses, avec des ficelles!

Chacun devrait donc être convaincu, en regardant le décor -nous avons bien dit: le décor, qu'il comprend ce qu'est une surface  réglée, c'est à dire constituée par une famille de droites (les règles, d'où la terminologie), et qu'il peut ne pas rester indifférent à son esthétique.

Quelques autres de nos pages en ont illustré l'intérêt architectural avec deux des plus simples, les hyperboloïdes à une nappe et les paraboloïdes hyperboliques
Le propos de celle-ci est de confronter ces surfaces à des œuvres d'art et d'explorer les liens qui rapprochent les mondes des mathématiciens et des sculpteurs, délibérés ou fortuits, revendiqués ou farouchement niés...

La Fascination des Objets Mathématiques

Le fait est suffisamment rare pour être mentionné: c'est la découverte de modèles mathématiques exposés dans des universités qui a directement inspiré deux sculpteurs majeurs du XXème siècle,

Que sont ces modèles, et à quoi servent-ils?

Une courbe plane y = f(x) -par exemple, y = x3 + - est facile à visualiser sur une feuille de papier: on calcule un nombre, qu'on estime suffisant, de points, et on les joint le plus gracieusement possible. Mais comment s'y prendre pour une surface plongée dans l'espace, z = f(x , y) -par exemple, z = x3 - 3xy2 ?
Le dessin en perspective est une possibilité, que l'ordinateur a amélioré: on peut aujourd'hui, en quelques mouvements de souris, tourner virtuellement autour de l'objet pour mieux le voir sous tous les angles. Mais au XIXème siècle, le plus rapide pour appréhender l'objet dans l'espace était d'en faire une maquette, en bois poli, en plâtre... ou en fils tendus, lorsque la surface est réglée.





Modèle en plâtre d'une surface du 3ème degré Modèle en bois poli d'une surface du 4ème degré  (Kummer) Étudiants manipulant des modèles, Royal College of Science, 1893 
Londres, Musée des Sciences

Quelle influence sur les artistes? 

Moore et Hepworth ont connu des expériences assez similaires, apparament indépendantes. Cédons leur la parole -et l'image- en commençant par Moore:

"Juste avant la guerre, en 1938, a commencé la phase la plus abstraite de mon œuvre, celle des figures tendues de fils. Un jour, au musée des sciences de Londres, j'ai été très intrigué par certains modèles mathématiques, vous savez, les paraboloïdes hyperboliques, les arêtes, etc... développés par Lagrange à Paris [...] J'ai vu qu'il y avait  là des possibilités de sculpture, et j'en ai réalisé quelques unes."

H.Moore 



Hyperboloïde à une nappe (fils rouges),
 son cône asymptote (fils bleus)

 Musée des Sciences, Londres
Influencée par l'hyperboloïde...
Stringed Figure, Bowl, 1938

The Henry Moore Foundation,
Perry Green  (Angleterre)

Précision utile: le Lagrange mentionné n'est pas le célèbre mathématicien; son nom complet est Fabre de Laggrange, et c'est lui qui a réalisé ces maquettes, en 1872, sur les schémas directeurs d'un élève de Monge, Théodore Olivier (1830). On sait que Monge lui-même possédait deux maquettes en fils de soie, probablement les premières jamais réalisées.

"Mes figures tendues de fils sont nées de mes visites au musée des sciences. [...] Ce qui me fascina, ce furent les modèles mécaniques que je vis au musée, et qui avaient été réalisés pour montrer la forme qui est à mi-chemin entre un carré et un cercle. Un de ces modèles se composait, à une extrémité, d'un carré percé de vingt trous par côté, soit quatre-vingt trous en tout. De ces trous partaient des fils fixés à l'autre extrémité dans un cercle  comportant le même nombre de trous. Un plan intermédiaire montre la forme à mi-chemin entre un carré et un cercle. [...] Ce qui me fascinait, ce n'était pas l'étude scientifique de ces modèles, mais la possibilité de regarder entre les fils comme entre les barreaux d'une cage à oiseaux et de voir une forme à l'intérieur d'une autre."
H.Moore 





  Modèle en fils (conoïde)
 
Musée des Sciences, Londres
Stringed Figure n°1, 1937
Hirschhorn Museum, Washington
Détail de la partie haute:
deux cônes avecuns base commune
Détail de la partie médiane:
deux surfaces réglées


"Lorsque la guerre a éclaté, j'ai cessé de faire ce genre de choses. D'autres ont continué, comme Gabo et Barbara Hepworth. Cela finit par être plus une question d'ingéniosité qu'une expérience humaine fondamentale." 
H.Moore 
 
Voilà donc clairement délimités, dans le fond et dans le temps, les rapports de Moore aux surfaces réglées. D'ailleurs, il n'aime guère s'épancher verbalement:

"Un sculpteur ou un peintre commet une erreur lorsqu'il parle trop souvent de son travail. Il libère une tension nécessaire à son œuvre."
H.Moore 

Barbara Hepworth a été sa condisciple au Leeds College of Art (1919-1920); ils sont rapidement devenus amis. Si l'on en croit une lettre à son mari ( Décembre 1935), elle a été touchée par la grâce mathématique des surfaces antérieurement:

"John Summerson m'a dit qu'il y a de merveilleuses choses dans une école de mathématiques à Oxford - des sculptures qui naissent d'équations mathématiques. Et tout cela, bien  caché au fond d'une armoire! Je pense que je vais aller à Oxford dès que je serai rentrée de Leeds."

B.Hepworth

Barbara Hepworth combine souvent, en fait, deux surfaces (et même trois) dans une même structure. Dans l'exemple qui suit, la première est un ovoïde percé (forme qu'elle affectionne particulièrement, et qui nous permettra de la retrouver bientôt dans un univers plus topologique!), la seconde est réglée, matérialisée par les fils joignant des points de deux ovales, bords d'une perforation de l'ovoïde (la troisième surface est le résultat de l'ablation de matière, matérialisée en plus clair).



  Oval form whith strings and  colors, 1966

Metropolitan Museum, New York
Spring 1966

Jardin de sa demeure à St-Ives,
 en Cornouailles

Le Mathouriste  profite de la version "de plein air" pour vous recommander chaleureusement la visite de sa maison -transformée en musée- à Saint-Ives, et de son jardin de sculptures où les œuvres vivent une symbiose aussi réussie avec la végétation qu'à la fondation Maeght de Saint-Paul de Vence.

Une inspiration plus proche de la nature rassurera peut-être ceux qui, toujours nombreux, reprochent à l'art de notre temps une froideur désincarnée. Un autre artiste inspiré par les surfaces en fils, Naum Gabo (1890-1977), qui fréquenta aussi Barbara Hepworth, revendiquait la nature comme une des sources de son constructivisme; selon Matthew Gale, conservateur à la Tate, sa Linear Construction in Space n°1 aurait inflencé le "câblage" du Curlew .




Stringed figure (Curlew), version II (1959)
Barbara Hepworth Museum, St-Ives
Le Courlis (Wikipedia) Naum Gabo, Linear Construction in Space n°1 (1942)
Solomon R. Guggenheim Museum, New York

Et pour parfaire l'ambiance anglaise... pourquoi ne pas rêver devant cette surface en écoutant la composition homonyme de Peter Warlock (1894-1930) à l'instrumentation inhabituelle (voix, flute, cor anglais et quatuor à cordes).

Les Londoniens ont bien de la chance: ils peuvent admirer tous les jours une autre de ses sculptures sur la façade d'une célèbre grande enseigne d'Oxford Street! D'autant qu'elle a été soigneusement restaurée pour son cinquantième anniversaire, en 2013.



Barbara Hepworth, Winged Figure, 1963 (Londres, Oxford Street) l'artiste lors de l'installation (1963)

Les clichés ci-dessous révèlent que les génératrices s'appuient sur deux courbes gauches, chacune dessinant le bord d'une des plaques. On observera en projection sur le mur (le soleil à Londres peut donc parfois être...généreux!) une belle enveloppe de droites dans le plan.








 French-American Connexion(s)

À la même époque, à Paris, où il s'était installé, le surréaliste américain Man Ray avait fait des découvertes similaires et en avait tiré des clichés:

"On m'a parlé un jour d'objets mathématiques qui se trouvaient à l' Institut Poincaré à Paris. Ils avaient été construits par les répétiteurs afin d'expliquer les équations algébriques. J'ai tout de suite eu envie de les voir, quoique je ne m'intéresse pas particulièrement aux  mathématiques. D'ailleurs, je n'y comprenais rien, mais les formes en étaient tout à fait inusuelles, aussi révolutionnaires que ce qui se fait aujourd'hui en peinture ou en sculpture. Aussi ai-je passé plusieurs jours à les photographier et à en faire des croquis, avec l'intention d'en tirer une série de peinture influencées par ces objets."
Man Ray 




 Mathematical Object: Ruled Surface, photo de Man Ray, 1936 
l'Institut Henri Poincaré à Paris


Courte Digression: La Vie Secrète des Modèles Mathématiques
Bien qu'elle ne soit pas réglée, nous donnons ci-dessous un autre exemple de surface ayant inspiré une œuvre de Man Ray... et une suggestion visuelle (dont nous assumons la responsabilité) destinée à rendre le titre moins étranger à l'objet qu'un premier regard pourrait laisser croire...

Surface de Kummer
Institut Henri Poincaré, Paris
Shakespearean Equation: King Lear, 1948
Hirschhorn Museum, Washington
Shakespeare, King Lear
festival d'Avignon, années 1950-60 (?)

Tout cela pour dire qu'après leur heure de gloire, la mise au placard -au sens propre du terme- de ces modèles était fort injuste. Et ce, alors même que les ordinateurs n'avaient pas une puissance suffisante pour offrir les représentations tri-dimensionnelles qui fleurissent partout aujourd'hui! Bien plus en cause, un certain totalitarisme bourbachique, qui, sévissant des années 50 aux années 80, avait mis un point d'honneur à bannir les figures de la géométrie. Le Mathouriste, qui fréquenta l'I.H.P. en 1975-76, peut témoigner: il n'avait jamais vu ces bijoux pendant ces deux années, et il faut rendre grâce à son directeur actuel, Cedric Villani, d'en avoir fait une merveilleuse mise en valeur dans la bibliothèque.

Quand le Mathouriste  était taupin, il y avait d'ailleurs une mythique "armoire aux surfaces" dans la salle de classe de ce qui s'appelait encore "Spéciales A' ", menée par un grand amateur de surfaces, Gilbert Péronny, à qui cette page est affectueusement dédiée in mémoriam. C'était sans doute le début de la fin, car la clé du précieux reliquaire avait été égarée! Reste un témoignage du rituel:

"Ses taupins étaient les plus férus sur les faisceaux de coniques et de quadriques, la dualité, le tore, le conoïde de Plücker (qui circulait dans la classe une fois dépoussiéré) et ses géodésiques qui se projetaient en lemniscates de Bernoulli..."
Paul-Louis Hennequin, notice-souvenir sur Gilbert Péronny

20 ans après (selon le titre d'un célèbre roman), le taupin devenu prof de taupe -ah, ces espèces qui se reproduisent... (mais rassurez-vous, s'agissant de géométrie, elles doivent être en voie de disparition)- pouvait en quelques lignes, avec le logiciel MAPLE, montrer cela à ses étudiants dans le corrigé du sujet de Centrale M 1994, ou son remake CCP TSI 2009, plus direct, plus agréable, selon un théorème célèbre:
"tout sujet de Centrale présente un extremum (strict) de clarté parmi l'ensemble des sujets voisins"

Gilbert Péronny (1923-1996)

le fameux conoïde : c'est l'ensemble des droites parallèles à un plan fixe (ici, horizontal), s'appuyant sur une génératrice verticale d'un cylindre de révolution et une section elliptique de ce cylindre.
et une de ses géodédiques!

Mais cela a-t-il le charme d'un modèle en fils?
Viendrait-il à quiconque l'idée que la sculpture n'est plus de mise, grâce à la 3D sur écran? ...Et le plaisir de tourner autour, alors!

Nous n'avons pour l'instant pas trouvé de sculpture en rapport à ce célèbre conoïde... mais si ce n'est pas de l'art, Dieu que ça lui ressemble! C'est en tout cas ce que dit ce numéro, daté de 1961, du Courrier de l'Unesco (intégralement disponible en ligne):

"Cette photo ne montre pas, comme on le croirait volontiers, une sculpture abstaite. Elle n'est autre que la projection à trois dimensions d'une formule mathématique, dite «conoïde de Plücker». Elle est exposée dans la salle des Mathématiques, au Palais de la Découverte, le grand musée parisien des Sciences."





De 1925 à 1936, Pablo Picasso fréquentait les surréalistes... il aurait donc pu, en ogre dévoreur de toutes les influences qu'il était, découvrir les modèles mathématiques par ricochet. Ce ne fut pas le cas, mais, probablement sans y penser, il fit cadeau à la ville de Chicago, en 1967 -il avait alors 82 ans- d'une sculpture géante (sans titre) dont une partie est une
surface réglée!





Chicago (U.S.A), Daley Center Plaza

"We dedicate this celebrated work this morning with the belief that what is strange to us today will be familiar tomorrow."
J.Daley, maire, lors de l'inauguration (photo sur cette page du Chicago Tribune)


Faute de titre, les passants interrogés laissent vagabonder leur imagination: "un oiseau", "un cheval", "un lévrier afghan" (!)... mais un mathématicien voit avant tout un conoïde, c'est à dire une surface formée de droites parallèles à un plan fixe, s'appuyant sur une droite fixe (l'axe vertical à l'avant).

Max Bill ou la Coïncidence

Max Bill (1908-1994) est un sculpteur suisse. Il réalise en 1936 ce Ruban sans fin, réplique de la célèbre bande de Möbius (nommée en l'honneur de son inventeur, le mathématicien allemand Ferdinand Möbius (1790-1868).




 Ruban sans fin, Middelheim Museum, Anvers (Belgique)

Si vous doutez qu'il s'agisse d'une surface réglée, pensez à la façon intuitive de la réaliser: prendre un ruban rectangulaire en papier, et en recoller ensemble les deux petits côtés, pas "directement" -on obtiendrait un cylindre- mais après lui avoir infligé une torsion de 180°. Les segments parallèles au petit côté restent des segments de droite sur la surface obtenue: c'est particulièrement évident à l'endroit du recollement, et maintenant, réfléchissez un peu: vous auriez pu faire ce recollement n'importe où sur la surface!
Bien sûr, si vous en convaincre avec les équations paramétriques, vous les trouverez dans la page ad hoc de Wikipedia, avec une animation illustrant cette génération réglée; vous y découvrirez aussi que son équation cartésienne est du troisième degré.

Un des aspects fascinants de cette surface est bien évidemment le fait qu'elle ne possède qu'une seule face, comme l'a popularisé une célèbre gravure d'Escher.


Une version animée est disponible sur ce site, ainsi que tous les conseils de fabrication à partir dun rectangle de papier. De quoi s'occuoer pendant les cours ennuyeux... Oups! Qu'ai-je dit! Cette facilité de confection jointe à l'aspect surprenant du résultat (une seule face, un seul bord...) est la source la plus probable de l'
œuvre de Max Bill, qui ne découvrit que bien plus tardivement -et non sans un certain étonnement- que les mathématiciens s'y intéressaient également. Le cas n'a rien d'isolé: d'autres exemples existent où le mathématicien et l'artiste définissent des problèmatiques similaires -dans des langages très différents- et sont conduits... aux mêmes solutions.
Quant à la plus ancienne représentation connue... c'est une mosaïque romaine du IIIème siècle!

Glyptothèque de Munich (Bavière)


Mais revenons-en à l'aspect touristique: Le Middelheim Museum d'Anvers, musée de sculture en plein air, est le lieu idéal pour découvrir cette sculpture, tourner autour à loisir, ou... s'asseoir sur un banc, comme l'ont fait les personnages de Moore (histoire de rappeler sa préférence personnelle pour le sujet humain), pour l'admirer dans son environnement! Choisissez seulement un jour de beau temps (plan du jardin, indiquant les sculptures) ...


Henry Moore, King and Queen, 1952-1953, Middelheim Museum, Anvers 




Ruban sans fin, Middelheim Museum, Anvers (Belgique)


Max Bill s'est plu à faire des variations sur ce thème, notamment en affrontant d'autres matériaux; en 1953 il signe une belle réussite en granit.


au Baltimore Museum of Art and Sculpture Garden, Baltimore (Maryland)


Le thème -ou le traitement par Max Bill- a en tous cas inspiré des épigones: voici une découverte innatendue!



à Bichkek (Kirghizistan)

Pour information, ce site en recense un certain nombre... d'une  qualité artistique très inégale. On peut préférer ne pas commenter!

Antoine Pevsner et les Surfaces Développables

Le cas est particulier à un double point de vue: il s'agit à la fois d'un type de surface réglée plus restreint (quoique ) et d'un artiste singulier. Nous lui consacrons donc une page spécifique... 


Construction Surface Développable, 1938 Colonne Développable de la Victoire, 1955


 Pevsner et les Surfaces Développables


Inspirations d'Aujourd'hui

Les exemples précédents... sont déjà dans l'histoire de l'art. Mais les surfaces réglées n'ont  pas cessé d'être une source d'inspiration, jusqu'au tournant du troisième millénaire!
Voici deux exemples... en attendant d'enrichir la liste.



David Lee Brown, Amity, 1977 Market Street East, Philadelphie (Pennsylvanie, U.S.A.)

L'artiste a de nombreuses autres travaux de la même veine, par exemple à l'aéroport de Fort Lauderdale-Holliwood (Floride). Faute d'être jamais passé par là jusqu'à présent, le Mathouriste vous propose un petit lien pour patienter...

En 2011, le Centre Georges Pompidou a fait l'acquisition d'une maquette architecturale en fils... qu'elle expose comme objet d'art!


Achim Menges, projet pour le
 pavillon allemand à la quadriennale de Prague, 2007

Références

  • H. MOORE, Sculpture, Éditions du Cercle d'Art
  • The Royal Society, exposition:  Intersections: Henry Moore and Stringed Surfaces (2012) avec un catalogue téléchargeable.
  • P. CURTIS, Barbara Hepworth, Tate Publishing
  • M. GALE, C. STEPHENS, Barbara Hepworth, Works in the Tate Collection & the Barbara Hepworth Museum St Ives, Tate Publishing


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