Un  peu de ses mathématiques...


L'Animateur :

le "Journal de Liouville"

Liouville a eu un rôle clef dans la stimulation et la diffusion de la Recherche: lorsque les Annales de Gergonne (voir leur présentation sur le site BibNum), auxquelles il avait contribué, cessèrent leur parution en 1832, il est celui qui lança une nouvelle revue, le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, en 1836.

Des Annales de Gergonne...
...au Journal de Liouville
(avec un article de sa main, sur les équations différentiellles)

 Le titre revendiquait d'ailleurs la filiation du travail de Gergonne, qui avait intitulé son journal... Annales de Mathématiques Pures et Appliquées; l'avertissement confirmait explicitement cette revendication.

Télécharger la table complète du premier numéro, et le texte intégral de l'avertissement.

Le JMPA existe toujours! Voici sa page web.
Quant à ses archives, vous pouvez consulter en ligne tous les numéros de 1836 à 1934 via la Cellule MathDoc de l'Université de Grenoble (accès direct sur Gallica, site de la BnF).

 
la page de titre et l'avertissement du tout premier numéro du JMPA

Pour en savoir plus sur ces deux journaux:
Si, au début, Liouville publie ses propres articles et ceux de Sturm (voir plus bas l'édification de la théorie de SturmLiouville), ce n'est pas pour tirer la couverture à lui, mais pour "amorcer la pompe", en quelque sorte. et offrir à tous les mathématiciens de son époque ... et des temps futurs le moyen de faire connaître leurs découvertes,

sur le site philatélique de Jeff Miller
l'œuvre de Galois, présentée par Liouville dans le JMPA









Un Drame à l'Académie

Le 1er Mars 1847, Liouville est l'un des acteurs essentiels d'un moment resté célèbre dans l'histoire des Mathématiques. Enhardi par son succès sur le cas (n=7) du Grand Théorème de Fermat (1837), Gabriel Lamé annonce l'avoir prouvé dans tous les cas; de plus, il place au point de départ de son idée une conversation avec... Liouville! Lequel, pourtant, non seulement décline toute paternité, mais surtout met en doute la validité et pointe le passage délicat . Les Comptes-Rendus de l'Académie, ici le volume 24 de 1847, nous permettent de revivre la séance presque comme si nous en avions été les témoins!


Le Jour J... ou F??? Début de l'intervention de Lamé L'objection de Liouville (montage p.315-16)
Texte intégral de la communication

Le problème n'est pourtant pas nouveau: la preuve d'Euler pour n=3 comporte la même lacune. À l'énorme différence qu'elle pouvait être comblée pour Euler, et que ce n'est plus possible en général pour Lamé. Il s'agit de généraliser le Théorème de la Factorisation Unique, bien connu dans Z, à des anneaux d'entiers contenus dans C. Liouville signale que ce résultat, dont il doute, est implicitement utilisé...Grands Mathématiciens et humbles étudiants sont ainsi logés à la même enseigne: quand il y a faute, c'est souvent dans le non-dit!

Écoutons le prudent Liouville (les mises en gras sont de l'auteur du site):
"Toutefois, quelques essais me portaient à croire qu'il faudrait d'abord chercher à établir pour les nouveaux nombres complexes un théorème analogue à la proposition élémentaire pour les nombres entiers ordinaires, qu'un produit ne peut être décomposé en facteurs premiers que d'une seule manière. L'analyse de M. Lamé me confirme dans ce sentiment; elle a besoin, ce me semble, du théorème dont je parle: et pourtant je ne vois pas que notre confrère soit entré, à ce sujet, dans les détails que la matière paraît exiger. N'y a-t-il pas là une lacune à remplir?"

La réponse viendra d'Allemagne en Avril, et Liouville la communique à l'Académie le 24 Mai: cela fait trois ans que Kummer sait que ce résultat est faux et qu'il l'a publié! Liouville reproduit aussitôt l'extrait crucial de cette lettre dans son Journal ( Tome 12, 1847)

La lettre de Kummer, en date du 28 Avril 1847

Pour en savoir plus sur l'affaire...
  • H. EDWARDS, Fermat's Last Theorem (Springer-Verlag)
  • A VAN DER POORTEN, Notes on Fermat's Last Theorem (Springer-Verlag)

Le Chercheur: ses plus Célèbres Résultats

L'impossibilité d'obtenir une expression élémentaire pour certaines intégrales (1833,1835)

Un des premiers "grands" articles... et l'un des plus remarquables, voyez ce qu'en dit ce livre:
George F. SIMMONS, Calculus gems: brief lives and memorable mathematics (MAA)



Le tout pemier article sur le sujet: Journal de l'X, 1833
Les deux mémoires de Liouville sont consécutifs dans le journal: p124-148 pour le premier, 149-194 pour le second. Ce journal est consultable sur Gallica (BnF). Ensuite parait un  nouvel article (1835) au Journal de Crelle, en Allemagne.
Ces questions, qu'il semblait de peu d'intérêt d'évoquer il n'y a pas si longtemps, sont revenues sous les feux de l'actualité depuis les années 1990, car elles définissent les classes de ce que le calcul formel ne peut pas réduire les unes aux autres.

Esquisse Bibliographique

  • J. DAVENPORT, D. SIRET, E. TOURNIER, Calcul Formel (Masson)
  • M. BRONSTEIN, Symbolic Integration (Springer Verlag)

Le Problème de Sturm-Liouville (1836,1837)

Les deux héros, dans l'ordre de nomination...
Pour le dire brièvement, le problème de Sturm-Liouville consiste à rechercher les scalaires λ et les fonctions y qui vérifient l'équation différentielle (E) et les conditions aux limites en a et b (L), ou d'autres du même genre.
{ y''+q(x)y = λ y  (E)
y(a) = y(b) = 0  (L)
Comme le souligne d'emblée Liouville dans son premier Mémoire, le problème trouve son origine dans l'application de la Méthode de séparation des variables que Fourier avait inauguré en 1807 dans son étude de la chaleur: c'est lorsqu'on forme les deux équations différentielles en x et t en cherchant les solutions  de la forme u(x,t) = y(x).z(t) dans une équation aux dérivées partielles que s'introduit la constante arbitraire  λ.
Les conditions (L) restreignent l'ensemble des constantes possibles à un ensemble moins vaste: en fait, une suite (λk). Résoudre le problème de Sturm-Liouville, c'est:
  1. déterminer les λk et les fonctions yk associées;
  2. développer toutes les fonctions assez régulières en série des yk
Le problème le plus simple de ce type est issu de l'Équation des Cordes Vibrantes (voir notre page sur D'Alembert), et (L) provient du fait que les extrémités de la corde sont fixes (guitare, violon...)
{ y'' = λ y  (E)
y(0) = y(π) = 0  (L)
Il est alors facile à résoudre pour un étudiant de Mathématiques Supérieures et la question du développement n'est autre que celle... du développement en série de Fourier usuelle (qu'il abordera l'année suivante en Spéciales!)
Autrement dit, la théorie de Sturm-Liouville généralise celle de Fourier à d'autres systèmes de fonctions propres. 
Texte complet du Mémoire n°1 Texte complet du Mémoire n°2 Texte complet du Mémoire n°3

Vous trouverez désormais le Premier Mémoire, présenté et commenté sur le site BibNum .

Comme par hasard, Sturm (1803-1855) était un élève de Fourier! L'antériorité de l'étude semble lui revenir: il communique ses recherches à l'Académie pour la première fois en 1833 (mais le texte ne parait qu'au n°1 du Journal de Liouville) alors que Liouville s'adresse à l'Académie en 1835, citant explicitement le travail de Sturm. Quant à sa rédaction  figure, et pour cause, dans le même n°1 du Journal. Les deux hommes, tous deux enseignants à l'École Polytechnique, ont rapidement noué une solide amitié, et ils unissent leurs efforts sur la question. Dès 1837 parait d'ailleurs un article cosigné.
Texte complet du Mémoire de Sturm Texte complet de l'article commun

Il s'agit bel et bien de recherches différentes autour d'un même problème, qui est dans l'air du temps pour attaquer les équations aux dérivées partielles. À Sturm revient indiscutablement la paternité des fameux théorèmes de comparaison et d'oscillation des solutions, tandis que dès son premier article Liouville s'occupe surtout des développements en série. Et, rendant à César ce qui est à César, et à Poisson ce qui est à Poisson, il reconnait dès le premier mémoire  que c'est ce dernier qui a repéré et exploité le premier l'orthogonalité des fonctions propres (pour dire la chose dans un langage moderne dont les auteurs de ce temps, qu'il s'agisse de Liouville ou de Gauss, ne disposaient pas, ce qui ne facilite ni leur tâche... ni celle du lecteur!).

En tout cas, la Suisse, elle, a pensé à célébrer, dans sa ville natale, le bicentenaire de la naissance de Sturm; suivre ce lien:
Charles-François Sturm: Quelques ressources numériques disponibles
à l'occasion du colloque du bicentenaire de Charles-François Sturm, Genève, 15-19 septembre 2003.
Il semble, et c'est totalement injuste, qu'à l'exception de quelques initiatives isolées, rien d'analogue n'ait été organisé en France pour son complice Liouville, et c'est bien regrettable.

Pour aller plus loin: livres, liens et...vidéo!

Des livres d'abord! Les liens, lorsqu'il y en a, vous permettront d'accèder à de larges extraits via Google Books. Deux traités généraux pour commencer: comme presque tous leurs semblables, ils proposent un chapitre sur ce problème incontournable. Les deux suivants lui sont dédiés; le troisième, qui insiste particulièrement sur l'aspect historique, est un recueil de conférences données à Genève au colloque du bicentenaire. Un Catalogue des Équations Différentielles de Sturm-Liouville, par W.N. Everitt

Une vidéo en ligne, dans la collection des Amphis de France 5: Le Problème de Sturm-Liouville, par Jacques Vauthier. (Niveau: licence L3, mais partiellement abordable dès L2)

J. Vauthier: "Un feu d'artifice final pour ce cours..."

Les Approximations Successives pour les Fonctions: un sous-produit de l'étude précédente! (1838)

Le Mémoire n°2 de Liouville contient, dans le cas d'une équation diférentielle du second ordre, la toute première apparition de cette méthode, dont les spécialistes pensent qu'elle était également connue de Cauchy. De toutes façons, l'histoire lui a attaché le nom d'Émile Picard, qui l'a présentée dans un cadre plus général encore (les équations aux dérivées partielles) et bien plus nettement sur les équations différentielles. Il s'agit de l'adaptation au cadre fonctionnel de ce qu'Al-Kashi avait inventé pour les équations numériques, en l'espèce celle du troisième degré afin de calculer sin (1°) à partir de sin (3°), connu par construction géométrique.
Avant de jeter un oeil aux textes, peut-être voulez-vous vous rafraîchir la mémoire avec un petit comparatif rapide?

Quand? Qui? Quoi? Comment? Inconnue
1430 Al Kashi u = F( u ) un+1 = F( un ) u, un nombre
1838/1890 Liouville/Picard y' = f( y, x ) y'n+1  = f( yn ,x ) y, une fonction


Dans le mémoire de Liouville...

...et celui de Picard: première page et deux extraits choisis relatifs aux équations différentielles ordinaires.

Si vous voulez lire l'article de Picard dans son intégralité... c'est très simple: consultez le... Journal de Liouville, mais pour l'année 1890 -soit une bonne cinquantaine d'années plus tard! Voici le lien direct sur Gallica.

Les Premiers Nombres Transcendants (1844)

Entre la position du problème de la transcendance de e et π par Lambert (voir son article et une étude détaillée sur le site BibNum), et sa résolution  par Hermite (1873) et Lindemann (1882) respectivement, les deux notes au Comptes Rendus de l'Académie des Sciences où Liouville, pour la première fois, construit explicitement des nombres transcendants (i.e. qui ne sont racine d'aucun polynôme à coefficients entiers) occupent une position charnière. Il les regroupe et les complète dans son journal un peu plus tard, en 1851.

Version enrichie de 1851 à télécharger ici

Voir la première note de 1844 et une analyse élémentaire (sans fractions continues!) par Michel Mendès-France sur le site BibNum.

Pour ceux que les fractions continues n'effraient pas -voire même pour ceux qui sont séduits par leur élégance, télécharger le texte de ma conférence aux journées Padé (Lycée Faidherbe, Lille, 1994):
    Alain Juhel: Irrationalité et Transcendance: État des Lieux avant Hermite.
On y aborde aussi l'héritage moderne de la méthode fondée par Liouville à cette occasion: c'est la question des mesures d'irrationalité, un domaine de recherche toujours très actif!

N.B.: ce qui est remarquable dans la démarche de Liouville, c'est qu'elle inverse le point de vue sur la transcendance. Jusque là, le but poursuivi était d'établir la transcendance d'un nombre donné -essentiellement e ou π. Or, Liouville a visiblement commencé par cette approche classique, en montrant dans une première note très brève, que e n'est racine d'aucune équation du second degré (1840). Le résultat est étendu "dans la foulée" à  e² : les pages se suivent exactement dans son journal.

Télécharger l'ensemble des deux textes

Voir une analyse plus détaillée de ces textes par Norbert Verdier sur le site BibNum, dans l'article consacré à la preuve par Fourier de l'irrationalité de e², telle que la rapporte Janot de Stainville.

Une note manuscrite prouve que Liouville a essayé de renouer avec cette approche en 1845 et d'établir la transcendance de π ; mais il a découvert presque aussitôt une faille dans son travail, qui le conduit à l'abandon définitif sur ce terrain.

Quelques livres pour accompagner...

  • H. BOALEM, R. BROUZET, La Planète R, Voyage au Pays des Nombres Réels (Dunod)
  • D. DUVERNEY, Théorie des Nombres (Dunod) 

Le Théorème de Liouville sur les Fonctions Holomorphes (1847)

Il s'énonce ainsi:

"Toute fonction, holomorphe et bornée sur C tout entier, est constante"

Cauchy en disputa la priorité: certes, de façon générale, il n'était pas très bon joueur, mais peut-être avait-il raison en l'occurrence. Le problème est qu'il n'existe pas de publication  spécifique de Liouville à ce sujet: dès qu'il l'énonça, Cauchy fit remarquer qu'il pouvait se déduire de ses inégalités. Il est probable qu'ils l'aient tous deux découvert indépendammment; l'inspiration de Liouville lui vint de l'étude des fonctions elliptiques et d'une suggestion d'Hermite. Ses notes personnelles attestent sa découverte dès l'été 1844, et c'était pour lui un résultat de première importance, puisqu'il l'appelait son Principium.
Un intérêt de ce théorème est qu'il offre une démonstration agréable et rapide du Théorème Fondamental de l'Algèbre (théorème de D'Alembert-Gauss). Et là, pas de doute, c'est de Liouville et de personne d'autre: un manuscrit conservé à la Bibliothèque de l'Institut de France en apporte la preuve.
On peut donc dire, avec Jeanne Peiffer (dont l'article cité en référence ci-dessous détaille considérablement la genèse de ce résultat) que:

 "Même si le théorème découle immédiatement de la théorie de Cauchy, c'est Liouville qui l'a découvert et appliqué. Il en a fait un principe général de sa théorie des fonctions doublement périodiques"






 - la réalisation d'un numéro (45)  du bulletin de la SabiX entièrement consacré à notre héros, et constitué d'articles inédits. (Sommaire en cliquant sur l'image)


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