AIRY

Airy, Astronome Royal, #1

	Il est temps de faire connaissance avec celui qui fut, en tant que 7ème Astronome Royal, le maître des lieux de 1835 à 1881, un mandat particulièrement long qu'il a marqué par une profonde rénovation de l'observatoire, tant dans la modernisation de ses instruments que dans la mise en ordre des criches collections des observations antérieures.
	Deux portraits à l'observatoire, approximativement aux deux extrémités de son mandat. Celui de droite est du peintre John Collier (1883)

Il doit sa plus grande célébrité au choix du méridien origine en 1851, qu'il définit en installant la lunette méridienne (Transit Circle, en Anglais) qu'il a fait construire selon ses plans. Ne pouvant se muvoir que dans le plan du méridien choisi, l'instrument sert, couplé à une horloge de précision, à noter le moment de passage d'une étoile ou d'une planète (la lune, par exemple) au mérisien du lieu. C'est l'instant ou elle traverse le méridien céleste (fictif) correpsondant, ce qui explique le mot transit; elle est montée, pour la pointer, sur deux roues de part et d'autre, d'où le mot circle. Le vocabulaire anglais précise bien mieux sa fonctionnalité!


		La gravure ancienne atteste l'aspect à peu près inchangé (notamment les dispositifs d'ouverture de la fente ùéridienne du toit) de l'Airy Transit Circle; seuls ont été ajoutés les escaliers latéraux, sans doute pour faciliter l'entretien du dispositif.

À la verticale de la lunette, le méridien est tracé par une règle qui s'échappe du bâtiment, vers le sud. Le long de son trajet, sur la terrasse, sont indiquées les longitudes de quelques grandes villes... avec une préférence pour ce qui constitua l'Empire? Il faut dire que c'est à l'apogée de celui-ci qu'en 1884, le méridien de Greenwich fut adopté comme méridien origine pour le monde entier, lors d'un congrès tenu à Washington (le timbre en commémore le centenaire). On ne s'étonnera guère que la France eût préféré que le choix se portât sur celui de Paris... mais ce fut (encore) une bataille perdue contre l'Angleterre.


			in Encyclopædia Britannica 1911, repris sur Wikipedia

Il est temps de justifier notre suggestion d'une visite hivernale. Pourquoi l'hiver? Parce que la nuit tombe plus tôt... et vous offrira ainsi l'opportunité, avant votre retour à Londres, de voir le méridien origine matérialisé par un puissant rayon laser!

Et n'est-il pas beau de voir comment l'observatoire domine Londres? Le sommet d'une colline était évidemment un choix stratégique, à l'époque de sa fondation, en 1675, par Georges II. Greenwich étant alors domaine royal, aucune dépense supplémentaire n'était nécessaire pour l'acquisition du terrain... avantage supplémentaire!

Une parenthèse... longitudinale

Une bonne raison pour ce choix international du méridien de référence est la prééminence à l'époque, des marines britanniques (essentiellement) et américaine, qui l'utilisaient déja pour la détermination de la longitude en mer. Revenons en arrière pour mieux situer l'enjeu:
S'il est un problème qui fut considéré comme prioritaire en Angleterre, c'est bien celui-ci! L'absence de solution coûta à l'Angleterre un tribut inacceptable en hommes et en navires. Une catatrophe frappante par son ampleur, évoquée en deux tableaux dans la partie muséale de l'observatoire, décida de mesures énergiques; cette fois, c'était une de trop!

l'amiral Shovell

"Craignant que ses navires fissent naufrage sur les brisants des côtes, [l'amiral Sir Clowdisley Shovell] appela tous ses navigateurs à se concerter.
Leur opinion commune situait la flotte anglaise en sécurité au large de l'île d'Ouessant, un avant poste de la péninsule de Bretagne. Mais, tandis que les marins poursuivaient leur course vers le nord, ils découvrirent à leur horreur, près des îles Scilly, qu'ils avaient mal calculé leur longitude. Ces petites îles, à une trentaine de kilomètres de la pointe sud-ouest de l'Angleterre, indiquent le cap Land's End comme une jetée de pavés. Et cette brumeuse nuit du 22 octobre 1707, les Scilly devinrent les pierres tombales de 2000 hommes sous le commandement de sir Clowdisley.
Le navire amiral, l'Association, s'échoua le premier. Il sombra en quelques minutes, entraînant tous ses hommes. Avant que le reste des navires pût réagir au danger évident, deux autres bâtiments, l'Eagle et le Romney, furent éperonnés par les rochers et coulèrent comme des pierres?. En tout, quatre sur cinq navires de guerre furent perdus."

Dava SOBEL, Longitude (Points Sciences)

le naufrage (? ou un autre similaire)

En réponse à une pétition des marchands et marins, le Longitude Act de 1714 offrait une forte récompense (20000 livres, somme comparable à la rançon demandée pour un roi prisonnier) à qui proposerait un moyen précis "à un demi-degré de longitude". On savait que la solution résidait dans la comparaison, au même instant, entre l'heure locale et l'heure au point de départ du navire (si vous n'êtes pas familier du problème, pensez aux fuseaux horaires, qui donnent une estimation -très grossière- de l'éloignement sur la Terre); Encore fallait-il pour cela, embarquer une horloge bien réglée et capable de consrver de manière fiable "son" heure... et là résidait tout le problème technique!

Galilée avait découvert le principe de l'horloge à balancier (l'isochronisme des petites oscillations), et Huygens l'avait mis en pratique: en 1660, deux de ses horloges avaient fait des voyages dans l'Atlantique, et permis des mesures satisfaisantes de la longitude. Mais voilà: la mer était calme! Un amusant et instructif dispositif montre, dans la même salle, un pendule secoué par des forces extérieures simulant une grosse mer... comme on s'en doute, il n'y a pas deux "secondes" de ce pendule qui se ressemblent, et l'heure en résultant sera trop fantaisiste pour qu'on lui fasse confiance. Huygens, conscient de ce défaut, inventa et fit breveter le ressort spiral en 1675. Sans pour autant en dériver un chronomètre de marine satisfaisant.

Celui qui réussit et dama le pion aux meilleurs savants de son époque fut un artisan autodidacte, John Harrison (1693-1776) [article un peu plus étendu en version anglaise]. Et Greenwich conserve ses trois premières horloges!... ce qui justifie amplement ce petit insert: méridien origine et chronomètre précis sont les deux ingrédients de la longitude)

Le prototype H1...	... présenté en fonctionnement! .
		À gauche, leprototype H2... ..
		...à droite, H3
John, Harrison, par Thomas King (1767)	"L'horloger anglais John Harrison, un génie mécanique qui inaugura la science de la mesure de précision et portable fu temps, consacra sa vie à ce problème. Il réussit ce que Newton avait craint impossible: l'invention d'une horloge qui donnerait le temps véritable depuis le port d'attache, comme une flamme éternelle, et jusqu'à n'importe quel coin reculé du monde. [...] Sans éducation formelle, ni quelconque formation d'horloger, [il] construisii néanmoins une série f'horloges virtuellement libres de frottement, qui ne requéraient ni graissage, ni nettoyage, qui étaient faits de matériaux inoxydables et dont les parties mobiles demeuraient parfaitement équilibrées les unes par rapport aux autres, quelles que fussent les les inclinaisons ou les secousses qu' on leur infligeât." Dava SOBEL, Longitude (Points Sciences)		Dalle souvenir à Westminster Abbey

Rassurez vous, il a réussi à parvenir à un modèle bien moins encombrant, le H4, avec l'allure d'une grosse montre de gousset... de 1,5kg. Bien moins que la trentaine de kg des précédents! . Vous pourrez voir les modèles ci-dessus en fonctionnement au coeur de cette vidéo, qui raconte l'histoire de Harrison, de ses inventions,... et des méandres de difficultés qu'il rencontra auprès des experts à convaincre, pas tous de bonne foi.

Astronome Royal, #2

Airy a accompli un énorme travail de modernisation d'un observatoire dont il a hérité "dans un drôle d'état" (selon ses propres mots!) pour ne pas dire, comme Lord Auckland, premier Lord de l'Amirauté, qu'il n'était "bon qu'à être rasé". Son activité se déploie selon deux axes: un renouvellement complet du matériel d'une part, une mise en ordre des observations antérieures et une réorganisation de la bibliothèque, d'autre part. Ce qui l'autorise en 1849 à cette petite amabilité à l'égard de son prédécesseur John Pond, sixième astronome royal et qui avait lui-même, rendons lui ctte justice,... amélioré le matériel:

"Il n'y a désormais plus une seule personne employée, ni plus un seul instrument utilisé dans cet observatoire à l'époque de M. Pond."

Reste une tache (controversée!) dans cette carrière pleine d'honneurs et de reconnaissance internationale: l'affaire de la découverte de Neptune, cette controverse de primauté de la découverte entre John Couch Adams et Urbain Leverrier, largement attisée par la presse des deux côtés de la Manche. Adams, convaincu, calculs à l'appui dès 1845 était en avance, mais ce fut Le Verrier en France, qui, pressé par Arago, alors directeur de l'Observatoire de Paris, publia le premier ... en Juin 1846. Il avait commencé au moment où Adams en avait presque terminé, mais travaillé d'arrache-pied.

Dès lors on accusa en Angleterre Airy, en qualité d'Astronome Royal, et James Challis, directeur de l'Observatoire de Cambridge (le meilleur, techniquement) de négligences. L'affaire est compliquée: malgré deux passages à Greenwich, Adams n'avait pas trouvé Airy; il avait bien laissé des notes, qui incitèrent Airy à lui demander un complément, en vain. On se reportera à nos deux pages web précédemment mises en lien pour les détails; il est juste dans celle-ci de donner la parole à la défense:

"Le 22 Septembre Challis m'écrivit pour me dire que M. Adams me confierait ses résultats sur l'explication des inégalités d'Uranus, par l'action d'une planète extérieure. En Octobre, Adams m'a rendu visite, en mon absence. Le 5 Novembre, je lui ai écrit pour lui demander si sa théorie expliquait l'irrégularité du rayon-vecteur (aussi bien que celle de la longitude). J'ai en vain attendu une réponse."

G.B. AIRY, Autobiography, 1845


Médaillon en souvenir d'Adams, découvreur de Neptune (sic), à Westminster Abbey (Londres) Noter qu'il se trouve non loin de Herschel, découvreur d'Uranus: c'est ce qu'on apprend grâce à la plaque commémorative de James Joule, sur le côté gauche.		Le Verrier, devant l'Observatoire de Paris

De son côté, Challis n'était pas enthousiasmé par cette recherche. D'abord parce qu'il était plus préoccupé par la sienne propre, la traque des comètes... et surtout l'ardent désir d'en voir une porter son nom! D'autre part, la plage de recherche suggérée par Adams était trop vaste (20° environ!), tandis que Le Verrier avait fourni à l'astronome allemand Galle une position probable... qui s'avéra juste, à 1° près!

Adams se montra relativement sportif, au moins officiellement, tout en situant assez précisément les responsabilités d'Airy et Challis... avec un tact tout britannique:

"Après avoir obtenu plusieurs solutions différant peu les unes des autres, en prenant graduellement en compte de plus en plus de termes des séries qui expriment les perturbations, je communiquais au Professeur Challis, en Septembre 1845, les dernières valeurs que j'avais obtenues pour la masse, la longitude héliocentrique et les éléments de l'orbite de la planète supposée. Je communiquais le mois suivant, les mêmes éléments, légèrement corrigés, à l'Astronome Royal. [...]Le résultat [de nouvelles corrections] dont j'ai informé Mr Airy en Septembre de cette année, apparurent plus satisfaisantes que les précédentes [....]
En Novembre 1845, M. Le Verrier présenta à l'Académie Royale des Sciences une investigation très complète, très élaborée de la Théorie d'Uranus, perturbée sous les actions de Jupiter et Saturne, mettant en lumière des inégalités jusqu'ici négligées; et en Juin de cette année, il la fit suivre d'un mémoire dans lequel il attribuait les perturbations résiduelles à l'action d'une autre planète, à un éloignement du Soleil deux fois plus grand que celui d'Uranus. Il trouva pour la nouvelle planète une longitude trèx voisine de celle que j'avais obtenu sous la même hypothèse. Le 31 Aiût, il présenta à l'Académie une recherche plus complète, dans laquelle il déterminait la masse et les éléments de l'orbite de la nouvelle planète, ainsi que des bornes pour la distance moyenne et la longitude héliocentrique. Je mentionne ces dates dans le seul but de montrer que mes résultats avaient été obtenus indépendamment et antérieurement à la publication de M. Le Verrier, sans l'intention de lui disputer sa juste revendication des honneurs de la découverte; car il n'y a aucun doute que ses recherches ont été publiées les premières, et ont conduit à la découverte de la planète par le Dr Galle; et donc les faits énoncés ci-dessus ne peuvent en aucune manière diminuer le crédit dû à M. Le Verrier."

J.C. ADAMS, Sur les Perturbations d'Uranus, 13/11/1846
in Appendices to various Nautical Almanacs between the years 1834 and 1854

Laissons, pour finir, la parole à la défense... puisque cette page est consacrée à Mr Airy!

"Le sujet qui a accaparé l'attention cette année fut la découverte de Neptune. Comme je l'ai dit (cf 1845), je n'ai obtenu aucune réponse d'Adams à ma demande de précisions. Le 26 Juin, j'ai entamé une correspondance d'un caractère satisfaisant avec M. Le Verrier, qui avait entrepris d'étudier les perturbations d'Uranus, et qui était parvenu à des conclusions peu différentes de celles d'Adams. J'écrivis le 9 Juillet à Challis, le priant, puisqu'il dispose du télescope le plus puissant en Angleterre, de balayer l'espace à la recherche de la planète; je suggérais un plan. Je reçus l'information de sa découvete par Galle, pendant que je visitais Hansen à Gotha. Pour la suite de l'histoire officielle, voir mes communications à la Royal Astronomy Society, et pour mon histoire privée, les papiers de l'Observatoire Royal. J'ai été férocement injurié, tant par les Anglais que par les Français."

G.B. AIRY, Autobiography, chapter:1846

Caricature de Cham dans L'Illustration: Adams découvre Neptune...
en observant à la lunette la publication de Le Verrier, par dessus la Manche!

Caricature d'Airy dans Vanity Fair
( source: Wikipedia )

Mais aussi Mathématicien!

C'est au très fameux Trinity College de Cambridge qu'Airy étudia les mathématiques...

L'entrée sur la rue

La Grande Cour; de gauche à droite:
la tour de l'horloge, la chapelle, la fontaine et le portail d'entrée

le bâtiment joignant la chapelle au portail abrita l'appartement et les laboratoires de Newton.
Il donnait sur un jardin, séparé de la rue par un haut mur.

... avec un talent certain, puisqu'il remporta en 1823 la célèbre compétition de clôture des études de "premier cycle" (en 3 ans, donc correspondant davantage à une licence), le Mathematical Tripos, recevant ainsi le titre de Senior Wrangler.
Il poursuit brillament dans cette voie en y devenant enseignant, titulaire en 1826 de la mythique chaire lucasienne de mathématiques, occupée avant lui par Newton, plus tard par Stephen Hawling (liste complète avec portraits dans la page mise en lien) qu'il quitte dès 1828 pour prendre la direction de l'Observatoire de Cambrige, nouvellement créé. Cest Charles Babbage qui lui succède sur la chaire lucasienne.

Il n'est donc pas étonnant que cette inflexion de sa carrière lie ses recherches mathématiques à l'astronomie et à l'optique, pour l'amélioration des instruments dobservation: il reste ainsi très connu pour la tache d'Airy. Mais les mathématiciens retiennent essenttiellement la fonction spéciale (gamme de fonctions "usuelles" pour les physiciens... mais un peu moins usuelles que celles qui figurent de manière standard sur le clavier d'une calculatrice scientifique!) introduite lors de son étude de l'arc en ciel, dénommée depuis fonction d'Airy,

Pour ceux que les formules n'effraient pas... (niveau L1-L2, sinon, on peut sauter ce cadre)

Elle a une forme explicite... relativement compliquée, puisqu'il s'agit d'une intégrale fonction d'un paramètre (la variable d'intégration,t,signale juste que l'on somme cete fonction de t, elle n'apparaît donc pas dans le résultat. Par contre, la fonction sommée n'est pas la même si, par exemple, x=2 ou x=3, donc le résultat de l'intégration dépend de x.


Ai est en rouge sur la figure ci-contre. (Source: Wikipedia)

Elle vérifie une équation différentielle très simple, mais très intéressante, l'équation d'Airy (évidemment!)

y" = xy

On peut le vérifier formellement, par dérivation sous le signe intégrale. Attention cependant, la justification précise est un peu plus délicate, car l'intégrale est prise au sens impropre, ce qui empêche d'appliquer le théorème usuel de dérivation dominée.
Enfin, il est vivement conseillé, pour alléger le calcul, de travailler avec la forme associée en exponentielle complexe!
À partir de cette équation différentielle, on obtient facilement le développement en série entière de Ai.

La seconde fonction tracée, Bi, forme avec Ai une base de l'espace des solutions, de dimension 2 (résultat classique, l'équation étant normaliséee). Vous trouverez sa forme explicite en intégrale dans la page Wikipedia: fonction d'Airy, ainsi que plein d'autres informations sur ces fonctions. Leurs aoolications ne se limitent pas à lOptique; elles interviennent aussi en Mécanique Quantique.

En quoi est-elle emblématique des équations linéaires du second ordre?

Voici quatre équations différentielles linéaires du second ordre, "ressemblantes" à première vue, en ce sens que les coefficients qui affectent la fonction inconnue n'ont rien de "sauvage". Elles ont pourtant un rapport bien différent au cours d'Analyse!

(1) y" = y

(2) xy" = y

(3) x²y" = y

(4) y" = xy

En effet, connaissant les fonctions élémentaires "de la calculette" (puissances, exponentielle et logarithme notamment), on trouve immédiatement les solutions de (1) (à coefficients constants) et de (3), qui s'y ramène (type d'Euler, ou recherche des solutions de type puissance). Rien de tel avec (4), celle d'Airy: le répertoire existant ne suffit plus, il faut de nouvelles fonctions!
Mais si on est pas arrivé devant elle sans aucune information préalable, un théorème d'existence et d'unicité nous affirme qu'elle possède des solutions, et plus précisément que le problème de Cauchy en x₀

y" = xy ; y (x₀) = u , y' (x₀) = v

ou plus généralement, a et b étant des fonctions continues

y" = a(x) y' + b(x) y ; y (x₀) = u , y' (x₀) = v

a, pour u et v donnés, une solution unique sur l'intervalle réel.

C'est un résultat puissant, puisqu'il permet, entre autres, de démontrer que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2, dont une base est formée par les deux solutions associées respectivement aux valeurs initiales (1,0) et (0,1). Et toujours sans aucune expression explicite de ces solutions.
Cela s'applique à (4)

pour les solutions sur ]-\infty , +

\infty[, mais, attention, seulement sur

]0 , +

\infty[ (ou aussi bien

]-\infty , 0

[) dans le cas de (2): hors des hypothèses du théorème, on ne vous garantit plus rien!

En quoi le programme actuel de Première et Terminale S tient-il sur du sabotage intellectuel sur l'exponentielle et le logarithme?

[nous répétons ici, qu'on nous en pardonne, quelques arguments que nous avons plus longuement développés dans notre page Tsiolkovsky et le Logarithme. C'est que la question nous tient à cœur]

Un tel résultat ne se démontre qu'avec des connaissances nettement plus approfondies que de simples calculs avec des formules. (Niveau Bac +2/+3). La résolution des équations d'ordre deux se situe donc à un échelon franchement supérieur à celles du premier ordre.
Aussi, lorsqu'on voit le programme de première et terminale actuel, prenant pour définition de l'exponentielle un théorème d'existence et d'unicité admis pour le premier ordre

"La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVII^e siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables àceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant

l'équation différentielle y’ = y et la condition initiale y(0) = 1.

L’existence est admise."

Bulletin officiel de l'Éducation Nationale, 2019

on est perplexe: quelle mouche a piqué les concepteurs du programme? Rien à redire sur la correction mathématique, bien évidemment, mais elle a trois défauts majeurs:

Elle est plus compliquée (que celle qui commence par Log, primitive de 1/x), donc plus difficile à comprendre et assimiler;
Il faut admettre davantage de choses:
mais surtout, surtout... elle brouille complètement les niveaux de difficulté entre les équations linéaires du premier et du second ordre, c'est cela que nous ne lui pardonnons pas!

et c'est un amateur enthousiaste des équations différentielles qui vous le dit...

Il y a un gap important entre le premier et le second ordre, qui justifie aussi le fait qu'ils soient abordés à des niveaux différents d'enseignement. Comme pour les équations algébriques, contrairement à ce que la plupart des gens croient (NON! Un mathématicien n'est pas un distributeur automatique de formules...), il y a peu de cas où l'on sait résoudre par des formules explicites. Ce qui, soit dit en passant, rend la théorie des équations différentielles passionnante: sans formules, mais pas sans imagination ni outils mathématiques, il faut trouver moyen de dire des choses sur ces solutions, calculer des valeurs approchées, tracer des courbes, donner des formules approchées). De quoi se motiver pour des études plus approfondies, qu'en pensez-vous, cher lecteur?

Si on aplatit tout, si on perd la vision de ce changement de niveau -et la définition actuelle nous paraît y conduire- on perd beaucoup dans l'apprentissage des mathématiques. Bien entendu, ceci est un avis personnel du Mathouriste, évidemment ouvert au débat si quelque auteur de ce programme, membre de commission, thuriféraire ardent découvre ces lignes et... souhaite défendre ce point de vue. De ceux à qui il a été imposé, il n'a encore rencontré personne qui ait envie de plaider cette cause; et il a essayé, en vain, de savoir qui avait lancé cette idée! Des pédagogues? Des didacticiens?

À l'Observatoire de Greenwich... avec AIRY!

Airy, Astronome Royal, #1

Une parenthèse... longitudinale

Astronome Royal, #2

Mais aussi Mathématicien!

Bibliographie et Liens

Sites

Livres

	Même si vous n'êtes féru ni de mathématiques, ni d'astronomie, vous ne regretterez pas de consacrer, lors d'un séjour londonien, une journés à Greenwich... car vous ferez des découvertes aussi variées qu'intéressantes! Commençons donc par ce volet touristique. Le Mathouriste vous conseille, pour commencer, la meilleure façon de s'y rendre: choisissez (si possible) une belle journée d'hiver (sa photo ci-contre a été prise à la mi-janvier). Pourquoi l'hiver, direz-vous? Parce qu'il y aura une petite surprise en bonus... un peu de patience, nous vous la révélerons en temps utile). Et choisissez la voie fluviale pour faire le trajet, grâce aux fréquentes navettes, dont vous trouverez facilement les arrêts: ici, par exemple, près de Big Ben et Westminster. Vous jouirez ainsi de la vue de Londres depuis la Tamise, loin du bruit et de la pollution des routes.
	Et, à l'arrivée, le mythique clipper Cutty Sark vous accueillera en majesté, comme posé sur une mer de verre... un autre thème de visite passionnante pour petits et grands (Musée depuis 1954, inscrit au Patrimoiine Mondial de l'UNESCO en 1997). Avant ou après l'Observatoire? Faites selon vos goûts...

	Une petite montée conduit à l'observatoire, juché comme il se doit au sommet de la colline, de manière à bénéficier d'une vue bien dégagée à 360°. Ce que nous confirme une vue plongeante sur Londres!
		au premier plan, juste devant la Tamise, les bâtiments de l'université de Greenwich


Le bandeau au dessus de l'entrée nous confirme que ous sommes bien à l'endroit désiré (mais pouvions nous en douter, en découvrant les coupoles?) On ne peut qu'être frappé par la grande sobriété de l'édifice, si on le compare à son rival historique, l'Observatoire de Paris, élégant petit château aux façades sculptées, dessiné par Perrault: une commande du Roi-Soleil ne pouvait se concevoir sans un certain faste!