L'Armille, la Sphère, le Cylindre et les Autres...

... Une Promenade Fouriériste! (Partie 2)

Et maintenant, suivons Fourier dans les chapitres IV à VIII de la Théorie Analytique de la Chaleur. Tel Maurice Ravel dans son Boléro, l'auteur a conçu un crescendo subtil dans la difficulté. Le temps, absent du chapitre III par souci de pédagogie, s'introduit dès le chapitre IV; puis les diverses symétries du domaine vont permettre autant de variations et d'adaptations de la méthode, comme pour convaincre un sceptique par son adéquation à des situations de plus en plus complexes..Curieusement, ce n'est qu'à la fin du chapitre VIII (c'est à dire à la fin du groupe étudié dans cette page, et ce qui est la fin de son manuscrit de 1807) qu'il justifie sa présentation:

"On a traité jusqu'ici les questions fondamentales de la chaleur, et considéré l'action dans les corps principaux. L'ordre et l'espèce des questions ont été tellement choisis, que chacune d'elles présentât une difficulté nouvelle et d'un degré plus élevé."

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. VIII, § 341 ( 1822)

L'Armille



Et tout d'abord... qu'est ce qu'une armille?
Le mot n'est plus guère présent dans nos dictionnaires, qui conservent cependant l'entrée armillaire; cet adjectif n'est employé que dans l'expression sphère armillaire: sphère qui porte des anneaux, repérant les divers cercles (fictifs) tracés sur la sphère céleste pour le repérage, et destinée à l'enseignement de l'astronomie.

Une armille est donc un anneau!


Sphère armillaire (Rome, vers 1600)
par Giovanni Paoli Ferreri

Musée Borhaeve, Leiden (Pays Bas)

Après deux variables d'espace sans qu'intervienne le temps (la lame), deux variables encore, mais cette fois la variable temps et une seule variable d'espace!
Pourquoi l'armille, et pas la barre rectiligne? Fourier n'en dit rien... Il se peut qu'après un cas avec conditions aux limites, sans condition initiale, il veuille faire l'inverse:  étudier un cas  avec condition initiale, "sans" conditions aux limites, en raison de la forme de l'anneau... en apparence du moins, car cela conduit à les remplacer par une condition de périodicité, il est vrai assez intuitive.
Ou ne serait-ce pas plutôt une façon plus naturelle d'introduire, avec une condition initiale périodique, un développement en série trigonométrique ?


C'est maintenant dans un anneau de rayon r que se déroule l'action, en l'occurence le refroidissement.
x désigne ici la coordonnée curviligne sur l'anneau.

D'emblée, l'équation (établie au chapitre II) est simplifiée par un changement de fonction. Il n'y a là aucune astuce, mais plutôt un sens de l'observation que les physicnens développent parfois plus que les mathématiciens vis à vis des groupements de termes. Et comme Fourier est les deux à la fois...
Oublions un instant la dépendance en x , et ramenons v au premier membre; (b) est de la forme
v'(t) + h.v(t) = w (x, t)
On reconnait au premier membre la dérivée [ v(t). eht ]' , à condition de corriger par un facteur multiplicatif  e-ht . Et si on ne reconnait pas, c'est qu'on n'a jamais fait un calcul de dérivation de sa vie! Il est alors naturel de poser u(t) = v(t). eht soit v(t) = u(t). e-ht .
Rien n'empêche de faire de même avec 
u(x,t) et v(x,t)...  le tour est joué.


Source du document : BnF


Il pourrait, comme au chapitre III, séparer les variables en cherchant les fonctions
 u(x,t) =  f(x).g(t)
On ferait alors le travail de la même manière, obtenant les deux équations différentielles ordinaires
g'(t =  m.g(t) f"(x)  = - N. f(x)
et
m =  -K.N
La périodicité forcerait évidemment à prendre N = n².

Fourier ne prend pas cette peine: la périodicité d'une part, la décroissance exponentielle en fonction du temps (à laquelle il s'attend) d'autre part, lui fournissent cette solution évidente, et, il le remarque un peu plus loin, sa "sœur jumelle" en cosinus.

Source du document : BnF

Fourier dispose donc d'un ensemble de solutions élémentaires suffisamment vaste, les
( an cos nx + bn sin nx ) e-Kn²t.
qu'il peut sommer, en série aussi bien qu'en somme finie, puisque les deux procédés ne sont pour lui qu'un seul, la sommation. Au passage, notons que des indices font, presque pour la première fois (on en trouve à la toute fin du chapitre III), leur apparition. Faisant t = 0, il constate que les coefficients doivent lui être donnés par un développement de la fonction qui représente la condition initiale; comme tout a été dit sur la question au chapitre III, il ne s'apesantit pas. Tout est dit dans ce § 240:


Source du document : BnF
  • le développement de la fonction F donnant la température initiale;
  • la vérification par la série formée de toutes les conditions demandées;
  • le calcul des coefficients (qui renvoie, bien sûr, aux formules générales des coefficients de Fourier du chapitre III):
  • en prime, au début du § 241, l'approximation de la série par ses deux premiers termes, suivi d'une ode glorifiant ce qu'on appellera bientôt les modes propres du problème, qui sont mathématiquement à la chaleur ce que sont les modes propres de vibration à une corde (pour qui l'expression a été inventée):
"Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, et dont nous composons la solution générale, tirent leur origine de la question elle-même. Chacune d'elles représente un état élémentaire qui peut subsister de lui-même dès qu'on le suppose formé; ces valeurs ont une  relation naturelle et nécessaire avec les propriétés physiques de la chaleur."

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. IV, § 241 ( 1822)

Il traite en application deux exemples; le second, où les deux demi-cercles représentant l'armille sont aux températures respectives 1 et 0 l'amène naturellement au développement de la fonction créneau, considérée comme naturellement périodique (et non par l'effet d'un prolongement, comme au chapitre III)

Il s'offre pour terminer une assez longue digression pour traiter le  problème d'une autre manière: considérant d'abord le cas d'un nombre fini de masses réparties régulièrement sur l'armille, il fait tendre ce nombre vers l'infini pour retrouver ses résultats, levant le voile sur son approche:

"On pourrait résoudre la question pour un nombre déterminé de corps, et supposer ensuite ce nombre infini. Cette méthode de calcul a une clarté qui lui est propre, et qui dirige les premières recherches. Il est facile ensuite de passer à une méthode plus concise dont la marche se trouve naturellement indiquée."

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. IV, § 278 ( 1822)

Et voici qu'il passe aux aveux: c'est ainsi qu'il a obtenu la série solution, puis, faisant t = 0, le développement de la condition initiale sous une forme comportant des intégrales: ainsi lui sont apparus "pour la première fois" les coefficients de Fourier sous forme intégrale, et la révélation du calcul par orthogonalité !




Source des documents : BnF

Enfin, doit-on préciser que la physique expérimentale n'est pas oubliée? Elle était présente dès la mise ne équation, au chapitre II.

Source des manuscrits : BnF

  croquis décrivant le dispositif expérimental de l'armille.
relevé d'expériences: y compris la date, qui nous renseigne sur l'avancement du travail de Fourier!

La Sphère

Préparation

Si l'équation de la chaleur demeure
 
l'expression en coordonnées sphériques du laplacien est bien moins engageante:


Fort heureusement, le problème que se pose Fourier, à savoir le refroidissement  dans l'air ambiant d'une sphère préalablement chauffée, possède d'évidence la symétrie sphérique: le refroidissement s'opère de même dans toutes les directions. La fonction cherchée sera donc radiale, c'est à dire ne dépendra que de la coordonnée sur le rayon, r, et non des deux angles. En ce cas, l'expression du laplacien est déjà moins farouche:



D'ailleurs, Fourier n'opère pas ainsi (cas général simplifié par les symétries), il établit directement son équation avec une seule variable d'espace, tant il est évident que le phénomène est indépendant de la direction spatiale: il imagine la boule comme une réunion de sphères successives, concentriques, de faible épaisseur, chacune à une tempréature uniforme. Il nomme x (et non r comme il est de tradition aujourd'hui) cette unique variable d'espace, et X=R  sa limite supérieure (rayon de la sphère enveloppe, au contact de l'air).
On regarde donc désormais la fonction inconnue v de Fourier comme fonction des seules variables r (espace) et t (temps)
v = v (r, t)
Enfin, il traduit  le bilan des flux de chaleur au bord, à tout instant. Ainsi s'obtient un système qui, pour la première fois dans le traité, mêle conditions aux limites et condition initiale: la progression dans la complexité se poursuit, sans changer pour l'instant le nombre de variables. Et la condition au bord est moins simple que celle que donnerait le maintien à température constante, v(R,0) = 0 par exemple, et cela aura une incidence intéressante. Voici, en notations modernes, la position complète du problème.

évolution   coordonnées sphériques
condition
au bord
 (R, t) + h.v (R, t) = 0 échange 
avec l'air ambiant
condition initale v (r, 0) = F (r) donnée

Nous pouvons donc maintenant lire Fourier, qui commence par énumérer au §283 ces trois conditions:

Source : BnF

Le changement de fonction inconnue est probablement inspiré par la technique classique qui permet, dans une équation différentielle du second ordre, d'enlever la dérivée première. À moins qu'il n'ait trouvé dans Euler des cas d'équations ramenées aux coefficients constants... Il expose alors son plan (classique et identique aux cas déjà résolus) et annonce un résultat d'unicité.

Mais puisqu'il a retrouvé... la même équation que dans le cas de l'armille, inutile de refaire les calculs: les solutions élémentaires sont les mêmes!
(r, t) = ( a cos nr + b sin nr ) e-Kn²t.
Cependant, la division par x pour retrouverva obliger à annuler les termes en cos, pour que les solutions restent bornées à l'origine, ce qu'exigent la physique... et le bon sens. C'est en fait une deuxième condition à la limite, qui n'a pas été explicitée au départ. Reste donc
(r, t) = e-Kn²t. sin nrr
À ceci près que n n'a aucune raison d'être entier, en dépit de la notation! L'argument de périodicité qui amenait à cette conclusion pour l'armille n'existe plus...

Des Racines et des Modes...

L'intéressant, la nouveauté arrivent en se penchant sur la condition à la limite R (X pour Fourier); puisque c'est une condition de nullité, il suffit de la vérifier sur chaque composante élémentaire pour qu'elle reste vraie pour toute somme, finie ou non. La traduction est immédiate, mais conduit à une équation transcendante, dont les solutions exactes ne peuvent plus être explicitées. Il n'y a de quoi arrêter
  • ni le "mathématicien pur" Fourier, qui va remplacer la suite d'entiers n = j de l'armillepar une suite de réels n j pour la sphère,ce qui lui fournira encore une famille dénombrable de fonctions comme "base" de développement
  • ni le "mathématicien appliqué" Fourier, qui va nous indiquer comment les évaluer numériquement. Et si nous avons mis ces qualificatifs entre guillemets, c'est pour mieux montrer que cette séparation n'a guère de sens: il n'y a que des mathématiciens... ou alors, ce ne sont pas de vrais mathématiciens!

Étude de l'équation, ramenée à
 tan ε = ε / λ
Selon la pente, la droite coupe, ou ne coupe pas, le premier arc ailleurs qu'en la solution triviale 0; en prolongeant (mentalement) la figure vers le haut, on imagine facilement l'existence d'une racine unique dans chaque intervalle délimité par les asymptotes verticales.
Source des documents : BnF

Fourier présente le calcul par approximations successives, ayant disposé convenablement l'itération pour assurer la convergence.; il détaille l'interprétation graphique, en soulignant qu'il est possible de partir d'une valeur supérieure comme d'une valeur inférieure à la racine cherchée, voire coupler les deux pour obtenir un encadrement.

 
Étude de l'itération, présentée avec le graphe de la fonction tan sous la forme
 tan εn+1 = εn / λ
mais en fait réalisée numériquement sous la forme
εn+1 =  arc tan εn / λ
 

Source des documents : BnF
Bizarrement, il reviendra à la fin du chapitre sur cette équation pour justifier qu'elle n'a d'autres racines que les racines réelles qu'il vient de mettre en évidence.

Curieux mélange d'une volonté de rigueur et d'une pratique eulérienne qui en a beaucoup moins: il reprend le développement du sinus en produit infini, qu'il affectionne décidément, le tronque à un ordre m, le dérive: les racines sont celles d'un polynôme, et comme il en tient m, le plein est fait, si toutefois on interprète bien ce qu'il entend par "principes ordinaires de l'algèbre".

 
Mais il n'y a pas plus de preuve d'existence des m racines de ce polynôme (si ce n'est l'acte de foi: plus m est grand, plus ce polynôme est proche de la fonction étudiée, donc a des racines proches de celles de cette fonction) que de justification que cette situation demeure par passage à la limite.
Ce qui ne nuit pas le moins du monde à la sérénité de sa conclusion!

Source du document : BnF

Et tout ceci pour conclure qu'au fond, cette digression n'avait rien d'indispensable. Pourtant, si les mémoires de 1807 et 1811 ont éventuellement la marque d'un écrit terminé en hâte, ce ne peut être le cas ici: Fourier a eu le temps et le sésir de peaufiner le texte édité. Alors, c'est peut-être une réponse indirecte aux critiques de ses pairs, Lagrange, Laplace, Poisson...
 
"Au reste la solution que nous avons donnée n'est point fondée sur la propriété d'avoir toutes ses racines réelles. Il n'aurait donc pas été nécessaire de démontrer cette proposition par les principes de l'analyse algébrique. Il suffit pour l'exactitude de la solution que l'intégrale puisse coïncider avec un état initial quelconque [...]"

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. V, § 305 ( 1822)

Un Développement d'un Nouveau Genre

La suite parait d'abord tenir de la routine: former une série candidate, avec des coefficients non précisés; puis ajuster ces derniers au bord, pour t = 0.

§ 290 & 291, mise en page recomposée (Source : BnF)

Le miracle du calcul des coefficients, grâce à une intégration terme à terme, et l'annulation de toutes les intégrales sauf une, va-t-il se reproduire? Oui, grâce à l'équation que vérifient les valeurs (n'ayons pas peur de le dire: les valeurs propres!) nj.
Ce que Fourier vient de réaliser, c'est l'un des premiers développement en série de fonctions orthogonales.  Certes, comme souvent en sciences,  l'idée est dans l'air du temps: dans son étude du potentiel de l'ellipsoïde, en 1785, Legendre a obtenu des relations d'orthogonalité entre "ses" polynômes. Mais il n'a pas développé une fonction quelconque! L'article de Gauss sur les quadratures approchées, considéré comme séminal pour la notion de polynômes orthogonaux, date, lui, de 1814 -il est donc postérieur aux deux premiers mémoires de Fourier; et le concept d'orthogonalité ne sera pleinement dégagé qu'en 1826 par Jacobi, dans le sillage de Gauss.
Avec tout le confort des notations modernes, et l'abus de vocabulaire, commun chez les physiciens, mais qui fait ticquer les mathématiciens (le mot exact serait base hilbertienne, mais il est un peu plus difficile à définir!), le travail effectué se résume, de façon aussi esthétique que compacte, en:

"base" φj (x) = sin  nj x / x  fonctions propres
produit scalaire "poids"
orthogonalité  < φiφj > = 0 i et j distincts
coefficients aj  = < Fφj > / < φjφj >

Voilà qui est promis à une belle descendance mathématique, et Fourier va être, dès le chapitre suivant, encore le premier à explorer la voie qu'il vient d'ouvrir. Mais avec toutes ces belles mathématiques, il ne faudrait pas oublier la physique. D'abord, rappeler que, comme pour la lame, comme pour l'armille, les séries théoriques laissent la place, en pratique, à des sommes de quelques termes seulement:

"Les racines n1,  n2, n3, n4, etc. de l'équation  nX / tan nX = 1 - hX sont très inégales; d'où l'on conclut que si la valeur du temps écoulé t est considérable, chaque terme de la valeur de v est extrêmement petit par rapport à celui qui le précède. À mesure que le temps du refroidissement augmente, les dernières parties de la valeur de v cessent d'avoir aucune influence sensible; et ces états partiels et élémentaires qui composent d'abord le mouvement général, afin qu'il puisse comprendre l'état initial, disparaissent presque entièrement, excepté un seul."
Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. V, § 292 ( 1822)

Bref, tout ceci reste aussi maniable. Puis, viennent les applications physiques proprement dites: un long développement sur les thermomètres, et une annonce spectaculaire:
 
"La question du mouvement de la chaleur dans une sphère comprend celle des températures terrestres. Pour traiter cette dernière question avec plus d'étendue, nous en avons fait l'objet d'un chapitre séparé."
Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. V, § 304 ( 1822)

En outre, la chaleur dans une sphère, cela peut concerner aussi une serre, témoins ces géantes (dédiées à la présentation d'un nombre ahurissant d'espèces) inspirées par les célèbres dômes géodésiques de Buckminster Fuller!
.


Extérieur et intérieur des serres de l'Eden Project, St Austell (Cornouailles, Grande Bretagne)


Le Cylindre

Fourier remplace la sphère du chapitre précédent par un cylindre infini, et, comme on va le voir, très peu de choses changent; pour être plus précis, juste un misérable coefficient 2 qui devient 1. Non, ce n'est pas une erreur de calcul! C'est que le problème est exprimé en coordonnées cylindriques, ce qui modifie radicalement l'expression du laplacien
Mais comme précédemment, il y a simplification par symétrie. La symétrie sphérique laisse sa place à la symétrie de révolution, le paramètre angulaire n'intervient donc pas, et il reste pour une fonction radiale


 X=R est maintenant le rayon du cylindre, et sans surprise la condition au bord s'y traduit de la même manière. À nouveau, le problème n'a plus que deux variable, r qui désigne la position sur le rayon à l'intérieur du cylindre (espace) et t (temps); la fonction inconnue v de Fourier s'écrit
v = v (r, t)
et vérifie le système

évolution  
coordonnées cylindriques
condition
au bord
 (R, t) + h.v (R, t) = 0 échange 
avec l'air ambiant
condition initale v (r, 0) = F (r) donnée

Aussi Fourier, qui a fait sa mise en équation au chapitre II, écrit-il d'emblée les deux premières, équation de diffusion de la chaleur et condition au bord.


§ 306, mise en page recomposée (Source : BnF)

Sans détailler une séparation des variables qu'une lectrice scrupuleuse (la lectrice est souvent plus scrupuleuse que le lecteur, c'est bien connu...) aura tout intérêt à détailler
v (r, t) = u(r). w(t)
il pose directement w comme exponentielle, mais écrit l'équation différentielle vérifiée par u. S'il avait explicité celle concernant la sphère, il aurait obtenu presque la même: la modification du 1 en 2 peut facilement être suivie à la trace! En posant, comme il le fera un peu plus bas, g = m / k, on aurait respectivement

sphère r u"(r) + 2.u'(r) + gr u(r) = 0
cylindre r u"(r) + 1.u'(r)gr u(r) = 0

Oui, mais voilà: finie la petite astuce qui vous ramène aux coefficients constants! On n'est pas dans un exercice de mathématiques où tout a été prévu pour que le calcul s'arrange... Dame nature est moins gentille avec le physicien/mathématicien. Qu'à cela ne tienne, Fourier a de la maîtrise technique -on l'a déjà vu:  il cherche les solutions développables en série entière
Et sur quoi peut-il tomber, de cette manière?
Prenons un instant g = 1, pour ne pas nous encombrer: on reconnait l'équation différentielle de Bessel, et le développement en série entère correspondant de la fonction J0! Et ceci, deux décennies avant les écrits (1830) de Bessel (ou biographie en allemand bien plus complète!) dans lesquelles il introduit les célèbres fonctions qui portent désormais son nom, mais que, comme l'a fait unltérieurement remarquer Heine en 1868, on devrait plus justement nommer fonctions de Fourier-Bessel. D'ailleurs, ce dernier n'avait pas pris ombrage de cette antériorité, exprimant au contraire toute son admiration pour son devancier, si l'on en croit Kelvin -lui même, il est vrai, grand admirateur de Fourier.

Timbre allemand pour le bicentenaire de Bessel.
Derrière lui, ses deux premières fonctions,
J0 et J1

Dans le cas général, prenant γ > 0  tel que g = γ², on reconnait, tant sur le développement en série qu'en faisant ce petit changement de variable dans l'équation différentielle, que la solution de Fourier est
u(r) = J0 ( γ r)
Tout se passe comme sur la sphère, mais une fonction usuelle chasse l'autre... car si, pour le pionnier Fourier, J0 n'a rien d'usuel, ce n'est pas ce que dirait un physicien d'aujourd'hui! Bref, J0 remplace sin, et il reste donc à tirer une infinité dénombrable de valeurs de g de la condition au bord, ce qui "exige un examen attentif" (sic), puis suivra la routine de la sommation en série pour construire une solution aux deux premières équations.
L'examen attentif se fait à grands coups d'alternance de zéros, à la façon des futurs théorèmes de Sturm. Fourier y est pour le moins allusif, invoque "des propositions fondées sur la théorie des équations algébriques et démontrées depuis longtemps", mais parait bel et bien traiter les séries entières comme s'il s'agissait de simples polynômes. Il y a certainement des lacunes, mais le résultat est le bon. Le joli timbre ci-dessus illustre fort bien ce genre d'entrelacement.

Il reste à traiter la condition initiale, mais auparavant Fourier explore plus avant la fonction de Bessel, parvenant de deux manières à son expression intégrale!

Source : BnF

Fourier poursuit le parallèle au cas de la sphère avec une grande sérénité: le calcul des coefficients ne peut que provenir de relations d'orthogonalité. Il est bien loin, le temps de son calcul de funambule du chapitre III où il était d'abord passé à côté de cette méthode: maintenant, il les cherche! Jonglant avec l'équation différentielle et les intégrations par parties, il finit par trouver la bonne fonction poids pour le produit scalaire: après x² pour le cas de la sphère, c'est tout simplement x :



Utilisation de l'orthogonalité pour le calcul des coefficients, § 318 & 319 (extraits)
(Source: BnF)


Soit, avec la magnifique concision des notations géométriques modernes (il suffit de regarder l'expression de la série générale qu'obtient Fourier pour saisir la clarté qu'elles apportent):

"base" φj (x) = J0 ( γj x ) = ψ ( γj x ) fonctions propres
produit scalaire
"poids" x
orthogonalité  < φiφj > = 0 i et j distincts
coefficients aj  = < Fφj > / < φjφj >
 

Formule donnant la solution, § 319
Source du document : BnF


Petite Digression sur les Ondes

Certes, dans son livre, Fourier traite d'un sujet unique: la chaleur. Ce qui ne l'empêche pas de remarquer, ici ou là, que sa méthode s'applique à d'autres problèmes. Quoiqu'il ne l'ait pas fait lui-même, il est intéressant de comparer, pour une propagation/diffusion radiale, les deux équations des ondes et de la chaleur: bien peu de choses changent si nous nous attachons à la forme de ces équations; la constante α n'est bien sûr pas la même dans les deux cas, mais si cela est d'une grande importance physique (homogénéité dimensionnelle), cela n'importe en rien pour le mathématicien, toujours tenté de pousser la désinvolture jusqu'à prendre α = 1 !
chaleur (diffusion) ondes (propagation)

Le Laplacien conserve la même expression; donc, quand on cherchera les solutions à variable séparées
v (r, t) = j(r). w(t)
la fonction f vérifiera la même équation différentielle, c'est à dire celle de Bessel. g vérifiera, elle, une équation à coefficients constants du second ordre, et non plus du premier. C'est tout!
On peut donc voir des fonctions de Bessel dans un bassin où se propagent des ondes radiales: vous en rêviez, le Mathouriste l'a fait! (On peut supposer que la condition au bord est d'annuler la solution, ce qui correspond à l'immobilisation sans réflexion de l'onde; cela paraît une approximation acceptable... et fait intervenir sans détour les racines de J0)


Vu à Gaziantep (Turquie)

Leur ressemblance avec des sinusoïdes amorties a d'intéressantes conséquences musicales; nous y reviendrons ailleurs.


La généralisation magistrale à d'autres systèmes de fonctions orthogonales sera l'œuvre de Liouville; ce n'est pas un hasard s'il part d'une équation de la chaleur généralisée et rend hommage à Fourier. Pour tout cela, rendez-vous dans notre page Liouville, ou sur le site BibNum pour l'étude détaillée du problème de Sturm-Liouville qui y est réalisée.

Les Autres...



(à suivre...)

Références


Jean-Pierre Kahane: une vie au service de l'Analyse de Fourier! (Mai 2011, École Polytechnique )
On reconnait au tableau l'évocation de la naissance de la toute première série écrite par Fourier
 dans le Mémoire déposé à l'automne 1811 à l'Académie des Sciences, qui obtiendra le Grand Prix 1812.

 Dire qu'il y a des centaines d'ouvrages consacrés à l'Analyse de Fourier n'est sans doute en rien exagéré. Le Mathouriste se limitera, au moins pour l'instant, au choix amoureux de quelques ouvrages qui l'ont particulièrement séduit, et qu'il a classés par ordre d'accessibilité mathématique :
  •  B. BURKE-HUBBARD, Ondes et Ondelettes (Belin-Pour la Science)
  • G. TOLSTOV, Fourier Series (Dover)
  • H. LEBESGUE, Leçons sur les Séries Trigonométriques (Gauthier-Villars 1906 -disponible en ligne sur Gallica-BnF)
  • C. GASQUET, P.WITOMSKI, Analyse de Fourier et Applications (Dunod)
  • E. PRESTINI, The Evolution of Applied Harmonic Analysis: Models of the Real World (Birkhaüser)
  • T. KÖRNER, Fourier Analysis (Cambridge University Press)
  • J.-P. KAHANE, P.-G. LEMARIÉ, Séries de Fourier et Ondelettes (Cassini)
On trouvera aussi sur le site BibNum:
  •  Une analyse  du chap. III, sections I & II, p. 159-177. de la Théorie analytique de la chaleur (1822)

  •  dans la page consacrée au problème de Sturm-Liouville, une présentation élémentaire de la méthode de Fourier, celle qu'il inaugure avec succès dans la Théorie Analytique: on y étudie trois exemples issus du Mémoire, en progressant du cas le plus simple au plus élaboré, respectant ainsi le modèle de démarche de son ouvrage. Le développement d'une fonction en série de fonctions orthogonales est en effet une généralisation de celui de Fourier -incontournable dans la Physique contemporaine, et l'une des preuves de l'extraordinaire fécondité de son travail.

Oeuvres de Fourier disponibles en téléchargement sur le site de la B.N.F.

 Et aussi...


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Aller à la Page: Naissance de la Transformée de Fourier 
(Promenade dans la Théorie Analytique, #3) : Bientôt, sur nos écrans!

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