La Naissance de la Transformation de Fourier

... Une Promenade Fouriériste! (Partie 3)





Voilà Fourier à une étape essentielle de ce voyage d'exploration, pour ne pas dire voyage initiatique qu'est la Théorie Analytique de la Chaleur. Ici finisssait  son Mémoire de 1807; ici se poursuit, avec ce chapitres IX, celui de 1811.
Il vient en effet de terminer l'étude de la diffusion, graduée en difficulté, dans les divers solides de formes remarquables. L'outil qu'il a créé, la série de Fourier, s'est adapté et, certes, compliqué au fur et à mesure des chapitres, mais tous les cas ont été résolus par la somme dénombrables de soluttions  élémentaires. Si l'on regarde avec attention le chemin parcouru, c'est aux conditions aux limites que l'on doit de n'avoir qu'une infinité dénombrable de modes propres, et donc, dans chacun des cas, une série pour solution du problème.

Maintenant, les domaines ne seront plus bornés. Certes, il maintient une gradation en dimension, commençant par une ligne. Mais on pourrait craindre que les solutions élémentaires, à base de fonctions trigonométriques, ne soient plus naturellement adapétées que dans le cas de l'armille ou de la barre finie (pour qui la répétition périodique -la période étant la longueur de la barre- est un artifice mathématique). Fourier, lui, ne semble pas douter: les conditions aux limites ont disparu, il y aura du coup plus de modes propres... l'intégrale est un autre outil de sommation, et c'est ansi qu'il va inventer, naturellement, sans heurt, un deuxième outil, l'intégrale de Fourier, et réussir à rendre pertinentes les fonctions trigonométriques dans l'analyse des signaux NON périodiques.

Vu hors du contexte de son traité -et c'est le cas de la plupart des cours, entreprendre cette analyse en apparence contre nature est, pour le moins, un coup d'audace, et la réussir  un coup de génie, mais au fil de l'ouvrage, cette révolution se présente comme une simple... évolution.
Car la transformation de Fourier va être, plus encore que sa série, l'âme de l'universalité contemporaine des outils de Fourier.
Source du document : BnF

De la Série à l'Intégrale

Après avoir rappelé l'équation générale en dimension 3, et la condition initiale, Fourier précise ce qui change, à savoir l'absence de conditions au bord ( "l'état de la surface"... qui délimite le volume, mais l'expression n'est pas très claire, et, pour une fois, il aurait pu meux s'exprimer.). Rappelons aussi que dans ce contexte, le mot intégrale signifie simplement solution.

"Dans les questions que nous avons traitées précédemment, l'intégrale est assujettie à une troisième condition qui dépend de l'état de la surface. C'est pour cette raison
que l'analyse en est plus composée [...]. La forme de 
l'intégrale est beaucoup plus simple, lorsqu'elle doit seulement satisfaire à l'état initial; et il serait facile de déterminer immédiatement le mouvement de la chaleur selon les trois dimensions. Mais pour exposer cette partie de la théorie, et faire bien connaître suivant quelle loi la diffusion s'opère, il est préférable de considérer d'abord le mouvement linéaire [...]."

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. IX, § 343 ( 1822)

Pour plus de clarté, nous avons explicité dans le tableau ci-dessous une comparaison entre le cas borné et le le cas non borné. Toujours dans un souci pédagogique, la fonction arbitraire F de la condition initiale est choisie paire; il traitera ensuite le cas impair, et conclura qu'il suffit de décomposer une donnée initiale quelconque en somme de ses parties paires et impaires, puis d'additionner les deux solutions obtenues. (n°354): l'élégance mathématique du procédé permet aussi de traiter des expressions de taille deux fois moindre!
segment domaine droite (infinie)
y =  u (x, t) inconnue y =  u (x, t)
  évolution
u (a, t) = 0
(b, t) = 0
conditions
au bord
néant
       u (x, 0) =  F(x) conditions initales  u (x, 0) =  F(x)
F arbitraire sur [ a , b ]
prolongée par périodicité
F arbitraire sur [ a , b ]
nulle en dehors

Parmi les solutions élémentaires paires
uq (x, t) = aq e-kq²t cos qx

il n'y a donc plus de conditions au bord pour restreindre q à une infinité de valeurs particulières, toutes les valeurs de q sont des modes propres!

Fourier dirait: pour sommer sur toutes les valeurs de q, nous écrivons...
u (x, t) = aq e-kq²t cos qx dq = Q(q) e-kq²t cos qx dq
directement avec le signe intégrale  , qui en serait surpris?

Le signe somme... est là pour sommer, depuis l'invention du calcul infinitésimal; et selon que l'on somme sur des valeurs discrètes (espacées) ou continues, les mathématiciens de l'époque utilisent respectivement le  Σ et le . Pourtant Fourier éprouve le besoin de se justifier, en écrivant une série, probablement pour se placer dans la continuité des chapitres précédents. Le "il en résulte" est dès lors un peu osé quand il s'agit d'une simple heuristique, d'autant qu'il n'a pas besoin d'une déduction logique: il lui aurait suffi de l'analogie avec changement de type de sommation pour poser la formule; après quoi on peut vérifier, par dérivation sous le signe intégral, qu'elle fournit une solution pour toute fonction f. D'autant qu'en ce temps-là, personne ne serait venu vous chicaner sur les conditions d'application d'un théorème ad hoc!

Ce qui lui permet de poser le problème que soulève alors l'intervention de la condition initiale
faisant t=0,
F(x) = u (x, 0) =[0,[  Q (q)cos qx dq
F est donnée, peut on trouver Q ?
 


Tout de suite, l'Inversion

Il vient tout à la fois d'écrire F comme transformée de Fourier (cosinus) de  et de poser le problème de son inversion, c'est à dire trouver une formule qui donne en fonction de F.
 C'est en un seul paragraphe, le §346, et moins de deux pages, qu'il va le résoudre, et donner la formule d'inversion! Démonstration, suggestion de preuve, simple analogie, heuristique audacieuse... cela peut se discuter, et il ne sera pas interdit que tous les lecteurs soient du même avis, sauf sans doute pour exclure catégoriquement la première option: démonstration. Voici le texte brut, et quelques éléments d'appréciation.
 Le mot transformation n'apparaît pas encore, mais il l'explicitera plus loin.
 
De F transformée de Fourier de Q...
à Q = f(q) transformée de Fourier de F!

Il est certain que Fourier veut imiter, en le serrant au plus près, son travail sur les séries. Avec son sens de l'esthétique, il a dû apprécier le résultat auquel il parvient, et, qui sait, il en a peut-être, avant tout calcul deviné la forme, au coefficient près?
Car dans les deux cas, on exprime F par une somme des valeurs de Q cos qx; si dans le premier Q est une somme sur la période des valeurs de F cos qx, pourquoi n'en irait-il pas de même dans le second, à ceci près que l'absence de périodicité peut être vue comme... l'existence d'une période infinie.
discrète (valeurs espacées)
Type de sommation continue (tous le réeels)
série Outil de sommation intégrale
condition initiale t = 0
calcul inverse:
Q en fonction de F
 

Pourquoi, alors, direz-vous, ne pas se lancer dans le calcul de l'intégrale de F(x) cos qx? C'est qu'il est risqué, comme on le verrra un peu plus loin. Fourier est eulérien dans son maniement des objets mathématiques, mais être eulérien, c'est garder un savant contrôle sur les objets manipulés: pas question de jouer à l'apprenti sorcier. Il va donc:
  • d'une part, éviter l'intégration jusqu'à l'infini, en la menant de 0 à nπ. Avec un petit brin d'hypocrisie, en disant aussi que n est infini!
  • d'autre part, en remplaçant l'intégrale donnant F par une série, selon l'approximation classique des rectangles (mais une infinité de rectangles).
L'ordre de travail n'est pas le plus naturel: choisir d'abord n grand, puis poser un pas h=1/n serait plus judicieux que l'inverse...
Quoi qu'il en soit, ce double subterfuge le ramène à un calcul fait plusieurs fois, l'intégration terme à terme de la série pour évaluer


en utilisant l'orthogonalité des cosinus: toutes les intégrales sont nulles, sauf pour un indice j tel que qj = r.

Et c'est bien le problème: ce calcul n'est pas valable pour tout r réel, mais pour une infinité dénombrable. Pas plus que F n'était la série proposée.
Bien sûr, quand n tend vers l'infini, "la série des rectangles devient l'intégrale", et "tout  r est un qj" pour notre auteur. On ne sait pas encore que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable, et s'approcher n'est pas être égal. C'est toute l'ambiguité de ce raisonnement "par infiniments petits" : l'intégrale est somme d'une infinité de rectangles infinitésimaux, d'épaisseur nulle, mais cette infinité n'est pas dénombrable... Bref, pas moyen d'être convaincu, et il n'est même pas sûr que Fourier le soit à en juger par les retours fréquents sur cette formule dans la suite de son texte.

Quoi qu'il en soit, il tient sa formule de calcul des Q(q) en fonctions des F(x) qu'il n'a plus qu'à reporter dans u (x, t) pour avoir une formule dont on peut aisément vérifier qu'elle est solution de l'équation aux dérivées partielles et de la condition initiale. Autrement dit, même s'il n'a  que deviné sans prouver, le physicien Fourier tient la solution correcte du problème de diffusion, quoique le mathématicien Fourier puisse ruminer sa manière de l'obtenir!


la solution générale (pages 431/432, recomposition)

Revenons un peu sur son itinéraire: le suivre pas à pas ne nous dit pas pourquoi il prend ce chemin!

Fourier: archaïque... ou hyper-futuriste?

Et si Fourier avait tenté directement l'intégration de 0 à ∞?
Ce n'est pas impossible... mais voici ce qui se serait passé, et qui, peut-être, l'a fait reculer vers la rédaction ci-dessus:



Intervertir les intégrales, soit, personne n'aurait, en ce temps, soulevé d'objection. Mais le crochet est une intégrale ... qui n'a pas de sens! Si Fourier a écrit ces deux lignes, il a dû trouver la chose un peu raide, même s'il n'en est pas tout à fait à la première du genre...Et même: pourrait-il encore invoquer la fameuse orthogonalité des cosinus entre eux, c'est à dire lui attribuer la valeur 0, sauf si r = q, ce qu'il veut faire à tout prix? Or cet argument est capital pour conclure, ici comme dans les chapitres précédents. Double impasse, qui peut justifier les contorsions précédentes, même si elles ne se révèlent pas complètement probantes...

Qu'à cela ne tienne: signons un pacte avec le diable, et poursuivons. Le coup de force accompli, il n'est pas plus déraisonnable d'écrire

Il suffirait donc de donner un sens à une seule intégrale qui n'existe pas, celle du cosinus: pactiser avec le diable, soit, mais alors, autant payer le moindre prix. Imaginons qu'il existe une "fonction" telle que
  (*)
Une "fonction" un peu extraordinaire, évidemment... Imaginons! Oui, imaginons, comme nous le dit, pour l'éternité, John Lennon depuis Central Park

  • Une fonction, nulle partout, SAUF...
  • sauf en 0, où elle est INFINIE! 
  • et dont l'intégrale vaudrait 1.
Un tel objet existe; les physiciens l'appellent fonction de Dirac, en hommage au grand physicien Paul Dirac (1902-1984), prix Nobel en 1933, qui avait au moins un point commun avec Fourier, celui d'être très mathématicien, et comme lui très sensible à l'esthétique des formules.

Les mathématicien, un peu sourcillieux devant ces conditions contradictoires, préfèrent l'appeler distribution de Dirac. L'appellation vient de la Théorie des Distributions, inventée par Laurent Schwartz pour résoudre élégamment ces contradictions avec toute la riguer mathématique souhaitable. Elle lui a valu la Médaille Fields 1950.
Cette "fonction diabolique" a de plus les propriétés suivantes:
La première généralise la valeur 1 de son intégrale: δ concentre son action au seul point 0 (on l'appelle aussi pic de Dirac!).
La seconde donne facilement la formule (*) dont nous avions besoin!

Admettant la propriété (*) , la fin du calcul est immédiate!
Cela vous parait osé? Chimérique? (Oui,évidemment, pensez-vous: "avec des si"... que ne ferait-on pas?)
Eh bien, le Mathouriste n'a plus qu'à continuer sa citation de Lennon: "Vous pouvez penser que je suis un rêveur, mais je ne suis pas le seul!" Voyez plutôt cet extrait d'un cours d'Analyse de Fourier très récent (2016), destiné aux étudiants de physique (L3), et téléchargeable ici. L'auteur, Éric Aristidini, est responsable d'un Cours d'Optique Ondulatoire (Université de Nice Sophia-Antipolis), et cela n'a rien fortuit, vue l'importance de la transformation de Fourier en Optique!


Cliquez pour agrandir, ce sera plus confortable!

C'est la même histoire, racontée avec les exponentielles complexes pour plus de concision et de maniabilité, le calcul de TF(1) ayant été légitimé précédemment, dans une présentation de la "fonction de Dirac" très accessible, en version adoucie de distributions, histoire de ne pas trop malmener les étudiants!

Avec  son "n =  1/dq",  Fourier  n'est pas si loin que cela de l'approche de la distribution δ comme "limite" d'escaliers d'aire constante 1. En faire un précurseur de Schwartz serait sans doute exagéré, mais il est certain en revanche que, dès ses premiers papiers,  Schwartz s'occupe de la fonction de Dirac et de la transformation de Fourier!
 

Un des premiers articles de Schwartz (l'article complet à télécharger), à l'usage d'ingénieurs:
il y est notamment question des procédés hardis liés à la "fonction de Dirac"!
à peu près à la même époque...
...avec un autre de ses bébés!
(archives de l'X)

Étudier la Transformation de Fourier?

 Fourier donne alors deux exemples (qui vont devenir des classiques de cours!) qui montrent que sa formule d'inversion permet d'obtenir immédiatement les valeurs de certaines intégrales. L'idée est de faire un calcul très simple de transformée (un créneau dans le premier cas, exp(-|x|) dans le second); puis d'appliquer la formule d'inversion, qui lui fournit des résultats beaucoup moins classiques: la transformée du sinus cardinal (sin q)/q dans le premier, celle de 1/(1+q²) dans le second.



en partant du créneau....
ou de exp(-|x|)

Mais surtout de faire une observation importante sur les intégrales du type F(x) = [0,[  f (x,q) dq:
  • Même avec f très régulière -et en tout cas, continue, F peut être discontinue;
  • Même avec f très régulière -et en tout cas, partiellement dérivable en x, F peut ne pas être dérivable
Il est vraiment l'un des premiers, si ce n'est le premier, à le faire remarquer: une "somme infinie", par exemple une intégrale, ne se comporte pas comme une somme finie. Un certain Cauchy, qui se piquerait volontiers de lui donner des leçons de rigueur, s'y fera prendre dans le cadre des séries!

 
Il évoque le problème d'inversion similaire pour la transformation de Laplace,

"[...] mais sans s'arrêter à ces diverses conséquences dont l'examen nous éloignerait de notre objet principal, on se bornera au résultat suivant[...] ."

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. IX, § 361 ( 1822)

Le résultat auquel il s'intéresse est de mettre cîote à côte les formules d'inversion de sa transformation pour une fonction impaire  et d'une fonction paire, ce qui lui permet de déduire une formule générale (E) en décomposant toute fonction φ en somme de sa partie paire F et de sa partie impaire f .
Après quoi... il insiste!

"La réduction des fonctions arbitraires en intégrales définies, telles que l'expriment l'équation (E), et les deux équations élémentaires dont elle dérive donne lieu à diverses conséquences que l'on omettra ici parce qu'elles ont un rapport moins direct avec la physique."

Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch. IX, § 362 ( 1822)

Bref, après ces premières remarques intéressantes sur les intégrales fonction d'un paramètre, le physicien Fourier semble être pressé de reprendre le dessus, de donner d'autres formes intégrales des solutions, de comparer, de généraliser à l'espace -ce qu'il peut faire rapidement , comme il s'y était engagé.
 

Et pourtant... c'est plus de cent pages en aval qu'il se décide à souligner une des propriétés aujourd'hui classiques: le calcul de la dérivée. Lequel est très facile, puisque la variable ne figure plus que sous un sius ou cosinus. Et là, Fourier oublie toute prudence vis à vis des risques de la dérivation sous l'intégrale, qu'il a lui-même soulevés dès ses premiers exemples!
A-t-il raison? A-t-il tort? Les deux, car si le garde-fou s'impose (comme tout contre-exemple en mathématiques), il est tout aussi important de montrer que l'outil est efficace, et que dans 99% des cas, l'ingénieur en tirera un profit appréciable.
Bizarrement, il ne mentionne pas la propriété "duale" relative à la transformée d'une dérivée, si utile dans l'application aux équations aux dérivées partielles. Il est vrai qu''il peut l'obtenir par transformée inverse! Et puis, il ne veut pas trop "s'écarter du but de l'ouvrage" et tient à nous le redire...Moins anecdotiquement, le procédé est enfin nommé transformation: née 107 pages plus tôt, voilà la transformation de Fourier enfin baptisée!

 
Sur ce point, comme sur bien d'autres de ce long chapitre IX, on peut s'interroger: a-t-il été suffisamment retravaillé pour la publication? On sait que le manuscrit de 1811 fut achevé in extremis pour la soumission à l'Académie, et cet ultime chapitre, comme il n'était pas dans le Mémoire de 1807, a sans douté été écrit en dernier et peut-être quelque peu souffert du rush final...  on ne peut exclure qu'il ait été livré tel quel pour l'édition qui marquait la fin d'un combat de 15 ans. Sauf pour régler leur compte aux critiques qui lui avaient été présentées, mais dont les auteurs revêtent la tenue de camouflage réglementaire: "On avait objecté, au sujet de notre analyse... On avait allégué que, pour résoudre des questions de ce genre..."

Des Preuves Alternatives de la Formule d'Inversion?

( A SUIVRE ! )

Références

Oeuvres de Fourier disponibles en téléchargement sur le site de la B.N.F.

 

Poursuivre...


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