Une Brève Histoire des Séries Trigonométriques ...

... Une Promenade Fouriériste! (Partie 4.4)


Le  Mathouriste vous propose ici une petite promenade dans le temps, pour faire voir la richesse, la variété et... la difficulté! des questions soulevées par le travail de Fourier, tout le temps qu'il a fallu pour les résoudre, et l'immense chamboulement des Mathématiques qui s'en est suivi. Un chantier qu'on pourrait  comparer, pour qui n'a pas fréquenté ces chapitres de mathématiques (c'est à dire, une très grande partie de la population... donc, chères lectrices et cherslecteurs, pas de complexes déplacés), au bouleversement qu'a fait subir Hausmann à la ville de Paris!. D'autres de nos pages sont dévolues aux applications: on n'évoque donc ici que les retombées internes à la discipline, et, autant que possible, sans trop de technicité.

Il  s'agira surtout de l'après Fourier, mais, pour le lecteur qui rentrerait par cette porte, on mentionnera quelques liens et repères.

Calendrier de l'Avent

Donner à une planète un mouvement sur un cercle dont le centre lui-même décrit un cercle, c'est décrire sa position par un polynôme trigonométrique complexe;  en effet la courbe obtenue a pour équation
 z = R1 eiω1t R2 eiω2t
ou, si l'on est plus habitué aux coordonnées réelles:
x = R cos ω1t R2 cos ω2t
y = R1 sin ω1t R2 sin ω2t

Rien n'empêche de continuer, en disposant un troisième cercle centré sur le deuxième, ce qui revient à introduire un troisième terme dans les expressions des coordonnées; de fait, certains astronomes postérieurs l'on fait, pour améliorer la précision du modèle. Car s'il est mécaniquement faux (on sait maintenant qu'il n'en est pas ainsi), le modèle est prédictif, donc scientifique (il permet de calculer les positions futures) et d'une grande rigueur au sens de l'approximation mathématique: que la trajectoire soit une ellipse képlérienne (modèle où le soeleil est vu "seul" avec la planète étudiée), ou plus compliquée si l'on tient compte des perturbations dues à l'attraction d'autres astres (voir comment Le Verrier a découvert Neptune), tant que cette trajectoire est régulière (possède en tout point une tangente qui varie sans à coups), le théorème de Dirichlet, qu'on évoquera plus bas, montre que l'on peut réaliser une approximation à n'importe qu'elle précision par la série de Fourier. Les méthodes de l'astronomie grecque constituent donc une approche empirique de cette théorie.



Mouvement de Vénus sur un épicycle, dans l'Almageste

Mouvement de Saturne sur un épicycle, dans l'Almageste
" [...] Hipparque, l'homme le plus passionné pour la vérité, n'a recherché que les hypothèses du soleil et de la lune, en prouvant qu'il était possible de rendre absolument compte de leur révolution par des combinaisons de leurs révolutions par des combinaisons de mouvements circulaires et uniformes ; tandis que pour les cinq planètes, dans les mémoires qu'il nous a maissés, il n'a même pas abordé kla question [...]"

C. PTOLÉMÉE, Compositione Mathématique, IX.2 

Ainsi Ptolémée signale t-il que, s'il est le premier à employer les épicycles pour le mouvement des planètes, Hipparque les connaissait déjà; et il faut probablement en faire remonter l'invention à unée époque antérieure:

"Quelques grands, en effet, que soient les services rendus par Hipparque à la science, son rôle me paraît avoir été singulièrement exagéré. C'est aux astronomes antérieurs de l'École d'Alexandrie, et en particulier à Apollonius de Pergé que doivent, à mon avis, être restituées l'invention des méthodes géométriques et trigonométriques [...] ."

P. TANNERY, Recherches sur l'Histoire de l'Astronomie Ancienne



Épicycles des planètes supérieures dans le De revolutionibus de Copernic


U "(θ) + U(θ) = 1 + Ω(θ)

il a l'idée de le remplacer par un développement en série trigonométrique, pour se ramener par somme au cas élémentaire d'un second membre en sinus ou cosinus.

Sur les sujets de ce paragraphe, vous trouverez un peu plus de précisions mathématiques dans ce petit article écrit par votre serviteur.

Et Fourier créa la Série...

Juste avant Fourier... c'est bien sûr la célèbre Controverse des Cordes Vibrantes. Sa place pourrait (devrait ?) être dans le paragraphe précédent, mais puisque nous cela fait partie de nos pages d'initiation à la théorie de Fourier, allez la découvrir dans notre page d'initiation musicale, en compagnie de quelques virtuoses de la Gibson, pour un plaisir maximum!

À ce moment de l'histoire, c'est là qu'il aurait été naturel de creuser le sujet des séries trigonométriques. Personne ne semble y avoir pensé... de sorte que Fourier l'introduit sur la question de la chaleur (voir notre page), pour lequel la décomposition en modes propres est physiquement bien moins naturelle, quoique mathématiquement-c'est à dire abstraitement!- tout aussi pertinente. Fourier n'est pas pour rien le fondateur de la Physique Mathématique!

Fourier for Ever: Il n'y a plus d'Après?

La Convergence

"En général, les séries auxquelles nous sommes parvenus, en développant les diverses fonctions, sont toujours convergentes; mais il ne nous a point paru nécessaire de le démontrer ici: car les termes qui composent ces suites ne sont que les coefficients  des termes qui donnent les valeurs des températures; et ces coefficients affectent des quantités exponentielles, qui décroisseent très rapidement, en sorte que ces dernières séries sont très convergentes. "
Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur, ch III, § 228 ( 1822)

 Et tâchons de le comprendre un peu mieux que Poisson et Lagrange:
  1.  la convergence de sa série n'est pas son objet d'étudie! Ce n'est qu'un problème marginal, au sens propre du terme: cela concerne un bord du domaine ESPACE × TEMPS.   Il a besoin des  coefficients, non pou reconstruire la fonction de départ, mais pour obtenir la solution de l'équation de la chaleur à l'intérieur du domaine.
  2. Et là, non seulement il y est attentif "en théorie" (la présence des exponentielles en fait une évidence puisque les coofficients sont bornés pour toutes les fonctions quil peut considérer), mais aussi en pratique: il suffit, nous dit-il plus loin, de quelques termes seulement -guère plus de 3, le plus souvent) pour avoir une excellente approximation: c'est le sens à donner à l'expression, qui peut surpendre aujourd'hui, mais qui est pleine de bon sens. Le résultat est correct, et en accord avec l'expérience. Que demander de plus?
Néanmoins, on ne saurait dédoauner totalement Fourier, qui réitère un peu plus loin son affirmation. Dirichlet impose seulement à la fonction d'avoir pour graphe une réunion finie d'arcs continus (en gros, pouvant être tracés sans lever le crayon), dérivables (possédant une tangente en chaque point) et... un peu plus: continûment dérivables (la tangente varie elle aussi continûment, sans heurt, quand le stylo décrit la courbe). "Réunion finie" est important: il permet d'avoir un nombre fini de points de discontnuité où la fonction possède une demi-tangente à droite et une à gauche, et des points anguleux en nombre fini: le trait se fait sans lever le crayon, mais les tangentes à droite et à gauche ne sont pas dans le prolongement l'une de l'autre: il y a un saut de pente. Les exemples donnés par Fourier, et perpétués dans les exercices classiques infligés aux étudiants, vérifient tous sans peine ces conditions!

Ou, pour laisser à Riemann  le soin de le dire, dans un texte qu'on évoquera un peu plus loin:

"En effet, pour tous les cas de la nature, les seuls dont il d'agit ici, la question était complètement résolue; car si peu que nous sachions comment les forces et les états de la matière varient avec le lieu et avec le temps dans les infiniment petits, nous pouvons cependant admettre en toute sécurité que les fonctions auxquelles ne s'appliqueraient pas les recherches de Dirichlet ne se rencontrent pas dans la nature."

B. RIEMANN, op.cit.


 
Qu'en est-il pour une fonction qui ne serait que continue? Dans l'ensemble, les mathématiciens  croient à un résultat positif.  Bernhard, frère Bernhard, ne vois-tu rien venir? Hélas, l'intéressé se morfond!

"À la fin de son mémoire, Dirichlet promet bien de revenir plus tard sur ces cas; mais sa promesse est restée jusqu'ici sans effet."

B. RIEMANN, op.cit.


Mais quand arrive une réponse sous la plume de Paul Du Bois-Reymond (1831-1889), la surprise est de taille: il a réussi à construire une fonction continue pour qui la série de Fourier diverge en un point. (Son article, en Allemand). C'est évidemment un exemple construit ad hoc: l'auteur lui a doonné une infinité de fortes oscillations au voisinage de 0. Très loin déjà des braves et honnêtes fonctions rencontrées en pratique...




Cela pouvait-il être plus grave? L'ensemble de divergence pouvait-il être "grand"?

Il a fallu presqu'un siècle pour en venir à bout! Lennart Carleson (né en 1928) a établi en 1966 que, pour une fonction continue, l'ensemble des points de divergence est de mesure nulle. (Sommairement: pour tout ε>0, l'ensemble peut être enfermé dans une réunion d'intervalles ouverts dont la longueur, s'ils étaient mis bout à bout, n'excèderait pas ε: cette notion a pour cadre la théorie de l'intégrale de Lebesgue, dont on parlera plus loin).
Un dégât somme toute limité, si l'on pense qu'Andreï Kolmogorov (1903-1987) avait réussi a construire en 1926 une fonction intégrable (au sens de Lebesgue) dont la série de Fourier diverge partout!


L'article de Carleson est réputé très difficile: on peut en lire la présentation de Jean-Pierre Kahane au Séminaire Bourbaki. Il a obtenu le Prix Abel en 2006, et le communiqué de presse (montage d'extraits ci-contre), qui rend hommage à son travail, ne manque pas de commencer par saluer celui de Fourier. Il souligne la double surprise que constitue la résistance inattendue du problème et sa solution à un moment où l'on ne l'attendait pas.
Lire aussi une interview de Carleson.

Récréation: tout ce qu'on peut faire avec le théorème de Dirichlet!

En Février 2018 est apparue sur la toile une vidéo assez spectaculaire: on y voit un crayon dessiner d'un seul trait, à partir de deux "mystérieux" mouvements circulaires combinés, l'un en abcisse, l'autre en ordonnée,  la Jeune fille à la Perle de Vermeer de Delft.


 

Vous trouverez l'animation
à cette adresse.
(Generative Art, de @jagarikin)

Commençons par un petit conseil touristico-artistique: si vous voulez voir l'original, qui en vaut évidemment la peine... faites comme le Mathouriste : renoncez à la bousculade lorsqu'elle vient à Paris dans une rétrospective où vous l'apercevrez à peine dans la foule (le tableau est assez petit) après avoir lonnguement fait la queue, et rendez lui visite, chez elle, à la Mauritshuis de La Haye. Pour peu que ce soit un matin de semaine, vous l'aurez pour vous tout seul... et en vous retournant, la magnifique vue de Delft n'est pas mal non plus!

Mais revenons à notre sujet, les séries trigonométriques, en l'occurence les séries de Fourier. Le procédé de tracé n'a rien de bien mystérieux, et vous le trouverez fort bien expliqué sur cette page du site Choux Romanescos, Vache qui rit et Intégrales Curvilignes .

La méthode est tout simplement celle qu'employait déjà Ptolémée dans son Almageste, comme nous l'avons indiqué plus haut: une composition de mouvement circulaires de rayons  an et  bn , à la "vitesse" n est la version graphique de l'approximation (complexe) de la série de Fourier d'une coordonnée, qu'il suffit ensuite de projeter sur son axe de référence pour obtenir le tracé voulu. Les coefficients de Fourier an et  bn auront bien entendu été calculés comme on va le rappeler ci-dessous.
Conditions exigées: le tracé se referme (périodicité), et il est régulier (une tangente en tout point, qui varie continûment). Le théorème de Dirichlet garantit alors la convergence vers la fonction coordonnée correspondante; en prenant assez de termes (quelques dizaines), on aura un fort dessin fort ressemblant.


Sur sa lancée, Choux, etc... nous propose un autre exemple, tout aussi propre à surprendre le visiteur non averti, tout aussi justiciable du théorème de Dirchlet : un tracé d'une carte de France. L'envers du décor est ainsi révélé: grâce à une (patiente et courageuse) numérisation de 578 points, on peut déployer abcisse et ordonnée pour mieux visualiser ces fonctions, et faire un calcul approché, par transformée de Fourier discrète, des coefficients de Fourier: on possède alors tout ce dont on a besoin pour l'opération inverse. Et ça marche bien, et c'est normal: la France a un bord de classe C1, comme on dit, ou mieux C1 par morceaux, car, tout de même, il ne faut pas exagérer: le fond de l'estuaire de la Gironde, la presqu'île de Crozon, le Cap Gris-Nez ou la pointe de la frontière Nord-Est du côté de Strasbourg ont l'allure d'aspérités avec deux demi-tangentes différentes à droite et à gauche...


 

Une remarque...

Et voilà qui nous permet de poser une intéressante question subsidiaire: cela marchera-t-il pour tout pays?
En première réponse, on sera tenté de dire: oui, bien sûr. Mais si l'on considère ceux dont la côte est particulièrement torturée: Écosse, Norvège, Islande, c'est moins sûr!

Voilà des pays dont le bord est indiscutablement continu... mais est-il raisonnable de croire qu'il y ait une tangente en tout point? Lewis Fry Richardson (1881-1953) fut le premier à suggérer que ce bord n'était peut-être même plus une courbe, mais un objet fractal de dimension (au sens de Hausdorff) intermédiaire entre 1 et 2: plus vraiment une courbe, pas encore une surface... Si on pense au modèle le plus simple du même genre, le flocon de Von Koch, les coordonnées islandaises (et autres...) pourraient assez raisonnablement avoir l'allure de fonctions continues en tout point,  dérivables en aucun (c'est à dire, n'admettant en aucun point une tangente).

Et donc... non seulemnt le théorème de Dirichlet ne peut plus garantir la convergence, mais l'exemple de Du Bois-Reymond laisse entendre qu'il y a un risque de non convergence de l'approximation. Entendons nous bien: chaque fois que vous prenez  un risque, l'accident ne vient pas vous sanctionner immé diatement!  Heureusement quand même,  sinon, que de morts sur les routes et les pistes de ski...
D'un point de vue pratique, si l'on réalisait l'expérience, il y aurait sans doute bien peu de chances d'observer un cas où la ressemblance "déraillerait" sérieusement. C'est avant tout une question d'échelle! Ainsi, sur la carte de France, la Bretagne présente le même risque; pourtant rien de méchant n'est apparu à la reconstruction. Il faudrait au moins numériser plus, beaucoup plus serré, avec d'intenses variations entre un point et son successeur sur le graphe des coordonnées.

Cette remarque n'avait d'ailleurs pour but que de faire mieux saisir, à qui n'en est pas familier, la différence entre la classe C1 et la seule continuité, et entre convergence assurée et "convergence à risque".

... et une vidéo d'explication simple, vivante, et TRÈS pédagogique!

Du même auteur (Choux Romanescos, etc... si vous avez oublié)  ce formidable petit film vous explique  beaucoup de choses en moins d'un quart d'heure, en partant des épicycloïdes, c'est à dire du Spirograph® et de l'Astronomie Grecque par laquelle nous avons débuté cette page (Sur ce double sujet, voir notre page sur le De Revolutionibus de Copernic). Beaucoup d'animations, pas trop de formules, et un défi lancé en boutade à Enrico Fermi par... lisez plutôt:

"Avec 4 paramètres, je peux faire une bonne approximation d’un éléphant, et avec un cinquième, je peux lui faire bouger la trompe"
János (John) Von Neumann



Voir l'article complet
(l'emploi des séries de Fourier est mis en évidence)
Maison natale de Von Neumann et sa plaque commémorative, à Budapest (Hongrie)
Von Neumann voulait seulement signifier qu'à force de rajouter des paramètres à un modèle, on peut lui faire prédire tout ce qu'on veut. Mais un chimiste a tenté, en 1975, et trois biologistes ont réussi, en 2009, à relever le gant en publiant un article sur le sujet. Jusqu'au mouvement de trompe de l'éléphant!
Pour ce faire, un développement de Fourier à une trentaine de termes a été filtré (c'est un des principes de compression - voir notre page dédiée ) en ne retenant que les 4 (ou 5) composantes qui ont le plus grand coefficient.


La Mauvaise Réputation

Jean-Pierre Kahane a pu titrer à bon droit un paragraphe "Les Séries Trigonométriques comme Sujet peu Recommandable" dans l'ouvrage co-éctrit avec P.-G. Lemarié, Séries de Fourier et Ondelettes. Avant même l'irruption de la fonction de Du Bois Reymond, Riemann avait semé le trouble. Une première fois dans son mémoire de 1854 (voir ci-dessous), en y introduisant une série "exotique":

voilà une série qui converge aux points rationnels (puisqu'à partir d'un certain rang, n!x sera un entier), mais dont le terme général ne tend pas vers zéro!
De la deuxième fois, il n'y a hélas pas de trace écrite. Weierstrass rapporte que Riemann, qui croyait à l'existence de fonctions continues mais nulle part dérivable, aurait proposé à ses étudiants l'exemple

Á l'évidence, son intuition reposait sur la divergence grossière de la série dérivée terme à terme (son terme général ne tend pas vers 0). Nous savons depuis Weierstrass que ce raisonnement est incorrect: la convergence (uniforme) de cette série n'est qu'une condition suffisante pour dériver la fonction somme; mais celle-ci peut être dérivable sans cette hypothèse. Et de fait, la réponse à Riemann , elle aussi surprenante, a été apportée par un étudiant américain, Joseph Gerver, en 1971: elle est dérivable en π,  aux points (2p+1)π/ (2q+1) -ce que Hardy avait réussi à établir en 1916- et... nulle part ailleurs!


Weierstrass, qui s'était essayé en vain à prouver rigoureusement sa nature, avait gardé l'idée, mais modifié la réalisation, avec


où 0<a<1 assure la continuité, grâce à une convergence uniforme immédiate, et ab>1+3π/2 pour lui donner partout de fortes oscillations.
Ainsi naquit, en 1872, la première fonction
continue partout, mais nulle part dérivable. Des exemples plus géométriques, mettant bien en évidence les fortes oscillations à toute échelle et le caractère d'objet fractal, devaient être donnés plus tard, à partir de la construction de l'ensemble de Cantor (voir ci-dessous), mais après Du Bois Reymond, c'en était trop, même pour les meilleurs et les plus lucides des mathématiciens, qu'on en juge:

allure de la fonction de Weierstrass



Charles Hermite
détail d'un dession de Vuillier
"Je me détourne avec horreur et effroi de cette plaie lamentable que sont les foncttions continues sans dérivée."

C. HERMITE, Lettre à Stieltjes

"Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela [...]
[...]  En Spéciales et dans la première année de l'École Polytechnique, on ne parlera pas des foncttions  sans dérivée, on n'en parlera que pour dire: il peut y en avoir, mais nous ne nous en occuperons pas ."

H. POINCARÉ

Henri Poincaré, dessin d'un X.

Curieusement, c'est un physicien qui, le premier, se montra plus hardi, pour ne pas dire... accueillant, envers ces objets qui semblaient incongrus, pire: antinaturels aux meilleurs mathématiciens. Et c'était bien avant que Benoît Mandelbrot ne les réhabilite en célébrant la Géommétrie Fractale de la Nature!

m
Stèle à Jean Perrin
(Paris, Rond-Point des Champs Elysées)
"Si les fonctions à dérivée sont les plus simples, les plus faciles à traiter, elles sont pourtant l'exception; ou, si l'on préfère un langage géométrique, les courbes qui n'ont pas de tangente sont la règle, et les courbes bien régulières, telles que le cercle, sont des cas fort intéressants, masis très particuliers.
Au premier abord, de telles restrictions semblent n'être qu'un exercice intellectuel, ingénieux sans doute, mais en définitive artificiel et stérile, om se trouve poussé jusqu'à la manie le désir d'une rigueur parfaite.
Et le plus souvent, ceux auxquels on parle de courbes sans tangentes ou de fonctions sans dérivées commencent par penser qu'évidemment la nature ne présente pas de telles complications et n'en suggère pas l'idée.
C'est pourtant le contraire qui est vrai, et la logique des mathématiciens les a maintenus plus près du réeel que ne faisaient les représentations pratiques employées par les physiciens.  "

J. PERRIN, Les Atomes (1913)

le médaillon; l'inscription gravée aurait bien besoin d'être repeinte!

La Sérénité Retrouvée



la note de Fejér aux CRAS (1900)
Fejér jeune, à l'époque de sa trouvaille
 la version allemande, plus étendue (1903)

On trouvera la genèse des idées de Fejér (et bien plus!) dans l'article de Jean-Pierre Kahane, Léopold Fejér et l'Analyse Mathématique au début du XXe siècle (1981)

Le résultat se déduit de celui sur l'approximation polynômiale; on sourira du "une foule de façons"... par contre, l'expression série de Fourier est abusivement employée au lieu de polynôme trigonométrique.



[N.B.: Les articles de Weierstrass proviennent du site HAT: History of Approximation Theory d'Allan Pinkus, d'une grande richesse en papiers originaux.]

De façon immédiate, le théorème de Fejér fournit une nouvelle démonstration du résultat, beaucoup plus simple que celle de Weierstrass, et avec des approximants qu'on pourrait expliciter (en théorie au moins).

Deux Visions Révolutionnaires de l'Intégrale

Encore un retour en arrière, pour voir comment, au delà de la seule question de laconvergence, les séries de Fourier ont extraordinairement enrichi les mathématiques.

Cela faisait deux bons siècles que sont nés les pères du Calcul Intégral, Newton et Leibniz, et que l'on somme à tour de bras. C'est pourtant en étudiant les séries trigonométriques et en s'interrogeant sur les coefficients de Fourier que deux mathématiciens vont poser les défintions modernes du concept de fonction intégrable. C'est la première des retombées inattendues de la théorie de Fourier... ce ne sera pas la seule!

Dirichlet a montré la nécessité de mieux préciser la notion à la fin de son article, avec un contre-exemple encore plus célèbre que celui qu'il a jeté à la figure de Cauchy

"... l'intégrale d'une fonction ne siginfie quelque chose qu'autant que la fonction satisfait à la condition précédemment énoncée. On aurait un exemple d'une fonction qui ne remplit pas cette condition , si l'on supposait φ(x) égale à une constante déterminée c lorsque la variable x obtient une valeur rationnelle, et  égale à une autre constante d lorsque cette variable est irrationnelle. La fonction ainsi définie a des valeurs finies et déterminées pour toute valeur de la variable x, et cependant on ne saurait la substituer dans la série, attendu que les différentes intégrales qui entrent dans cette série, perdraient toute signification dans ce cas."

G. LEJEUNE-DIRICHLET, op.cit.


 

"Toutefois, ces cas non élucidés par Dirichlet semblent, pour une double raison, mériter l'attention. [...]
En second lieu, l'application des séries de Fourier n'est pas restreinte aux seules recherches physiques; on l'emploie maintenant avec succès dans une branche des mathématiques pures, la théorie des nombres, et ici ce sont précisément les fonctions dont
Dirichlet n'a pas étusié la représentation en série trigonométrique qui semblent être les plus importantes."

B. RIEMANN, op.cit.


Son mémoire a commencé par un historique soigné, qui s'étend des cordes vibrantes à la vaine attente d'une suite au mémoire de Dirichlet. La formule intégrale des coefficients, présentée comme un coup de génie, lui donne l'occasion d'un vibrant hommage à Fourier:

"Près de cinquante années s'étaient écoulées sans que la question de la possibilité de la représentation analytique des fonctions arbitraires fit aucun progrès essentiel, quand une remarque de Fourier vint jeter un  nouveau jour sur cet objet. Une nouvelle ère s'ouvrit pour le développement de cette partie des Mathématiques, et s'annonça bientôt d'une manière éclatante par de grandioses développements de la Physique mathématique. "

B. RIEMANN, op.cit.

et d'un rappel de l'incompréhenssion à laquelle il se heurta:

" Quand Fourier, dans un de ses premiers travaux sur la chaleur, présenté à l'Académie des Sciences en 1807, énonça pour la prmeière fois cette proposition, qu'une fonction donnée (graphiquement) dune manière tout à fait arbitraire, pouvait s'exprimer par une série trigonométrique, cette assertion parut à Lagrange si inattendue, que l'illustre vieillard la contesta de la manière la plus formelle. [...]
C'est Fourier qui a, le premier, compris d'une manière exacte et complète la nature des séries trigonométriques. "

B. RIEMANN, op.cit.


Mais ce sont ces mêmes coefficients qui l'amènent à poser la question fondamentale:


et à la résoudre en introduisant ce qui est resté sous la dénomination sommes de Riemann: la fonction est dite intégrable si elles ont toutes la même limite fixe lorsque les δj tendent vers 0.
La fonction de Dirichlet n'est pas intégrable au sens de Riemann.

La question de Riemann, Henri Lebesgue (1875-1941) se la pose presque dans les mêmes circonstances! Ses leçons sur l'intégration (1902) d'une part, les leçons sur séries trigonométriques (1906) d'autre part, sont séparées de quelques années seulement; mais ce qu'il dit en préface des premières ne laisse aucun doute:

"On peut se demander, il est vrai, s'il y a quelque intérêt à s'occuper de telles complications et s'il ne vaut pas mieux se borner à l'étude des fonctions qui ne nécessitent que des définitions simples. [...]Mais,  si l'on voulait toujours se limiter à la considération de ces bonnes fonctions, il faudrait renoncer à résoudre bien des problèmes à énoncés simples posés depuis longtemps. C'est pour la résolution de ces problèmes, et non par amour des complications, que j'ai introduit dans ce Livre une définition de l'intégrale plus générale que celle de Riemann et comprenant celle-ci comme cas particulier. [...]
Comme application de la définition de l'intégrale, j'ai étudié la recherche des fonctions primitives et la rectification des courbes. A ces deux applications j'aurais voulu en joindre une autre très importante : l'étude du développement trigonométrique des fonctions; mais, dans mon Cours, je n'ai pu donner à ce sujet que des indications tellement incomplètes que j'ai jugé inutile de les reproduire ici."

H. LEBESGUE, Leçons sur l'Intégration et la Recheche des Fonctions Primitives.

Les secondes commencent par une introduction brève mais essentielle, sur la façon dont il faut envisager toutes les intégrales rencontrées dans l'étude des séries trigonométriques: elles devront être considérées au sens de sa nouvelle intégrale. Un des acteurs essentiels de son utilisation, Frédéric Riesz, témoignera avoir eu pour "déclencheur" cet ouvrage! (Son article et cette mention, ci-dessous).

Étudier ce remarquable ouvrage (qui est d'une grande clarté et n'est en rien démodé!) serait une digression trop longue dans notre sujet. Mais il est instructif de voir à l'œuvre la pédagogie de Lebesgue, le "révolutionnaire tranquille" qui se fait passer pour un... continuateur, avec une simple inversion du point de vue: le regroupement des valeurs de la fonction par leurs ordonnées plutôt que par les abcisses:
 
"Remarquons que notre définition constructive de l'intégrale est aussi très analogue à celle de Riemann; seulement, alors que Riemann divisait en petits intervalles partiels l'intervalle de variation de x, c'est l'intervalle de variation de f(x) que nous avons subdivisé.
Cette façon d'opérer s'imposait, et ses avantages sont évidents. Lorsque l'on forme la somme S= f (
ξi)[ xi+1- xi ] pour une fonction continue f(x), on groupe des valeurs de x fournissant des valeurs peu différentes de f(x) et c'est parce que ces valeurs sont peu différentes qu'on peut les remplacer dans S par l'une d'elles f(ξi). Mais, si f(x) est discontinue, il n'y a plus aucune raison que des choix d'intervalles (xi,  xi+1) de plus en plus petits conduisent à grouper des valeurs de f (x) de moins en moins différentes. Et c'est pourquoi le procédé de Riemann ne réussit que rarement et en quelque sorte par hasard. Puisque nous voulons grouper des valeurs peu différentes de f(x), il est bien clair que nous devons, comme nous l'avons fait dans ce Chapitre, subdiviser l'intervalle de variation de f(x) et non l'intervalle de variation de x."

H. LEBESGUE, Leçons sur l'Intégration et la Recheche des Fonctions Primitives.

ou, de manière encore plus imagée:

"Je dois payer une certaine somme, disait-il; je fouille dans mes poches et j’en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l’ordre où elles se présentent jusqu’à atteindre le total de ma dette. C’est l’intégrale de Riemann. Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables et j’effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C’est mon intégrale."

H. LEBESGUE, cité par 
A. DENJOY, L. FELIX, P. MONTEL Henri Lebesgue: le Savant, le Professeur, l'Homme
.

Et c'est ainsi que la fonction de Dirichlet est intégrable au sens de Lebesgue!
Les deux noms sont aujourd'hui inséparables dans le remarquable énoncé de 3 mots, pas un de plus, que l'on donne aux étudiants de L3: "Lp est complet". Cet énoncé synthétise beaucoup de choses; il va très vite au but. N'importe qui est à même de comprendre que la voiture, le TGV et l'avion ont une utilité indéniable, mais vous privent trop souvent des charmes instructifs de la  randonnée pédestre. Il en est de même ici: par sa progressivité naturelle, la promenade historique fera mieux apercevoir le paysage des vastes espaces... de Hilbert!

Pour commencer, la notation
Lp n'existait pas encore: on parlait d'espace des fonctions de puissance p-ième sommable (c(est à dire intégrable en module ou valeur absolue), et pour le plus important d'entre eux, L2 , d'espace des fonctions de carré intégrable. Le "L" n'est venu qu'après, en hommage à Lebesgue, et ce geste dit déjà à lui seul que son intégrale est au cœur de ces résultats.
Ensuite, Riesz et Fischer ne s'intéressent dans leurs premiers articles respectifs, qu'au cas de
L2 .
Alors, suivons un excellent guide, en savourant le commentaire qui suit la position du problème, qui concerne les séries de Fourier::


"Quelles relations y-a-t-il entre une fonction f et la suite (cn) de ses coefficients de Fourier?
 Quelles propriétés de f peut on lire sur la suite (cn) , et réciproquement?

La plus belle réponse à cette question est le 
théorème de Riesz-Fischer, obtenu indépendamment en 1907 par Frédéric Riesz et Ernest Fischer. [...] C'est pour  [Riesz] le triomphe de l'intégrale de Lebesgue.
Aujourd'hui, dans les cours sur
l'intégrale de Lebesgue, on énonce souvent comme théorème de Riesz la proposition suivante: Lp est complet.  Riesz n'a jamais énoncé un tel théorème. Pour la démonstration du théorème de Riesz-Fischer, il utilise un lemme, qui signifie en effet que L2 est complet. Mais les choses ne s'exprimaient pas de façon si compacte à l'époque. On n'avait pas encore baptisé l'espace L2,  et la notion de complétion était encore implicite. Ainsi le lemme est devenu théorème , et l'essentiel du lemme est passé dans les définitions. [...]  Ce qu'on prend aujourd'hui pour base d'une théorie, les définitions de base, sont bien souvent, historiquement, l'aboutissement  de la théorie quand elle était en marche. Il est bien difficile, quand on enseigne ou simplement qu'on expose des mathématiques, de ne pas être infidèle à la démarche de la découverte."

J.-P. KAHANE,  journées X-UPS, École Polytechnique  ( Mai 1989)
.

 Le cas élémentaire des fonctions continues est une porte d'entrée commode. On peut faire établir sans peine à un étudiant de première ou seconde année le résultat qu'on appelle inégalité de Bessel:

Il dit en particulier que, pour une telle fonction, la série des carrés des coefficients de Fourier converge, ce qui pose naturellement le double problème réciproque:
  1. Donnant des suites arbitraires de nombres (an) et (bn), telles que la série des carrés converge, existe-t-il une fonction dont ce sont les coefficients de Fourier?
  2. Si oui, est-elle de carré intégrable?
La réponse sera bien oui... mais à condition de considérer son intégrabilité au sens de Lebesgue. Ni la continuité, ni l'intégrabilité au sens de Riemann ne conviendraient à cette réciproque. Pour le dire plus lapidairement:
 si pour ce problème sur les séries trigonométriques, l'intégrale de Lebesgue n'avait pas existé... il aurait fallu l'inventer!

Et c'est pourquoi Kahane est fondé à y voir le triomphe de l'intégrale de Lebesgue.

Riesz et Fischer inséparables... dans le temps aussi: ils firent leur découverte indépendamment, mais quasiment au même moment, et ils la publièrent à moins de deux mois d'intervalle. Il est teùps de revenir aux sources  instructif de revenir aux sources et de comparer leurs contributions. Riesz prolonge les travaux de Hilbert sur les équations intégrales, et la référence aux coefficients de Fourier, éventuellement généralisés au cas d'un autre système orthogonal, est explicite. Fischer se positionne par rapport à Riesz: sans contester à celui-ci la primeur de publication, il prouve son indépendance par la date d'un exposé devant témoins. Mais, bien plus important, il va en donner une deuxième preuve, par sa démonstration qui est différente.différente

 
  Voici maintenant leurs versions respectives du théoème:

 
La version de RIESZ ( lire l'article complet de Riesz)
La version de FISCHER ( lire l'article complet de Fischer)

Riesz répond à la question, qu'il a d'ailleurs lui-même posée au début de son article, de la correspondance entre fonctions et séries des coefficients de Fourier.
"Etant donné un système orthogonal de fonctions, déduites pour un intervalle déterminé, attribuons à chaque fonction du système un nombre réel. Sous quelles conditions existera-t-il une fonction telle que, pour chaque fonction du système, l'intégrale du produit de cette fonction et de la fonction en question, prise sur l'intervalle, soit égale au nombre donnéd'avance?. "
F. RIESZ, op.cit.

Sa réponse positive équivaut à la complétude, mais ce ne sera jamais dit en ces termes, seule l'expression de système complet -on dirait plutôt, de nos jours,système total- sera employée dans son papier.
Bien des années après (voir ci-contre), il revient sur sa vision, en légitime et fier pionnier de l'utilisation de l'intégrale de Lebesgue, saluant l'influence décisive de ses Leçons sur les Séries Trigonométriques. Et trouve l'image juste!

Dans le n°1 des Annales de l'Institut  Fourier (1949), F. Riesz évoque cette découverte. Il l'appelle joliment le billet aller et retour permanent entre l'espace L2 et  l'espace l2. C'est pour lui le triomphe de l'intégrale de Lebesgue."

J.-P. KAHANE, ,  journées X-UPS, École Polytechnique  ( Mai 1989)


(lire l'article historique de Riesz)

La formulation de Fischer, en revanche, est bien plus proche de notre présentation actuelle: c'est, très explicitement, le critère de Cauchy dans , qui affirme sa complétude pour la norme quadratique (noter que Fischer parle simplement de convergence en moyenne, mà où nous disons: convergence en moyenne quadratique. La théorie des espaces vectoriels normés va naître bientôt, avec Hilbert, Schmidt, Banach (voir notre page sur Banach & les espaces complets); les notations si commodes de produit scalaire et de norme sont encore absentes; on ne les verra guère arriver, par exemple, que dans le célèbre ouvrage de Riesz et Nagy, Leçons d'Analyse Fonctionnelle (1952).

La Naissance de la Théorie des Ensembles

"C'est à l'occasion de la théorie des séries trigonométriques que M. G. Cantor a commencé l'étude des ensembles de points."

H. LEBESGUE, Leçons sur les Séries Trigonométriques.

 Georg Cantor (1845-1918) met ses pas dans ceux de Riemann. Sur la suggestion de Heine, il aborde le problème de l'unicité de l'écriture d'une série trigonométrique partout convergente. Par différence, on le ramène à celui-ci: si

 0 = a0 + a1 cos x b1 sin x + ... + an cos nx bn sin nx + ...

cela entraîne-t-il que tous les coefficients sont nuls?

Il y parvient en 1869, et cherche à généraliser, dans les cas où la série converge sauf en un point, en un nombre fini de points, en une infinité dénombrable de points... Tout ceci l'amène en 1872, dans l'article Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, (Mathematische Annalen, vol. 5, pp. 123-132, 1872) -c'est à dire: Sur la Généralisation d'un Théorème relatif aux Séries Trigonométriques, à définir les points d'accumulation, leur ensemble (ç y est, le mot est lâché!), dit ensemble dérivé, puis le dérivé du dérivé... puis à ce que l'on appellera plus tard la construction de Méray-Cantor des nombres réels, ceux-ci étant définis comme limites des suites de Cauchy de rationnels! (On notera la formulation impeccable, moderne, du fameux critère, qui était bien plus rustique et branlant chez celui dont il porte le nom).


De là s'enchaîneront en 1874 la preuve qu'il y a plus de réels que de rationnels, dans un article sur la dénombrabilité des nombres algébriques (le célèbre procédé diagonal ne viendra qu'en 1891), et de 1879 et 1884 les six articles fondateurs de la théorie des ensembles. et de la théorie de la cardinalité.

Voilà donc Cantor, parti de Fourier, qui s'en éloigne de plus en plus... voire!
Il a été suggéré que son célèbre ensemble tri-addique, construit par retraits successifs du tiers central d'un intervalle, lui aurait été suggéré par... un chapiteau égyptien de l'île de Philaé, vu dans la Description de l'Égypte, qu'il avait de bonnes raisons d'avoir feuiilleté: il avait un cousin égyptologue!
On pourra accorder un sourire à cette anecdote, qui n'est pas... documentée de façon irréfutable. Mais, comme l'on dit en Italie:
 Si non é vero, bene trovato!


construction de l'ensemble de Cantor par ablation du tiers central (d'après Wikipedia)


Incidemment, ce n'est qu'après sa mort qu'il sera prouvé (Rajchman, 1921) que le tri-addique K de Cantor est un ensemble d'unicité: si la série trigonométrique converge vers 0 sauf sur K, elle est nulle. Mais... qu'au lieu d'enlever le tiers central à [0,1], on enlève ]ξ,1-ξ[, et qu'on réitère le procédé, on définit un ensemble K(ξ) qui généralise K=K(1/3), le résultat dépend de la valeur de ξ. Et, beaucoup plus déconcertant, d'une manière curieuse et subtile, révélant un lien secret avec un domaine des mathématiques a priori sans rapport, la théorie des nombres:

K(ξ) estensemble d'unicité: si et seulement si θ = 1/ξ est un nombre algébrique, vérifiant une condition technique annexe!

Vers une Généralisation des Fonctions

Immédiatement après la fin de la Seconde Guerre Mondiale,  Laurent Schwartz publie... aux Annales de l'Institut Fourier (Grenoble), un article fondateur de sa théorie des distributions, pour laquelle il recevra la médaille Fields en 1950. La transformation de Fourier figure en bonne place dans le titre, et pour cause: la fonction constante égale à 1 (élément neutre multiplicatif pour les fonctions) a comme antécédent par la transformation de Fourier un objet bien moins orthodoxe, la "fonction de Dirac"... qui n'est pas une fonction! (lire notre encadré dans notre page sur la Transformée de Fourier)
L'idée de Schwartz est d'interpréter les fonctions comme des densités de charge ou de masse (un rôle qu'elles assument couramment en physique); devenue "masse de Dirac", l'objet insolite s'assimile à une charge ponctuelle et l'idée de distribution (au sens : "distribution de charge" englobe alors les deux. Bien sûr, faire fonctionner cette idée demande encore du travail; lidée géniale est de faire opérer ces objets sur les fonctions indéfiniment dérivables, à "support compact" ou à "décroissance rapide à l'infini".


 
l'article fondateur (Annales de l'Institut Fourier)
Pendant la guerre, Laurent Schwartz et son épouse sont, pour leur sécurité, contraints à employer une fausse identité!
(Archives de l'École Polytechnique)


(l'article complet à télécharger)

Tout en "dénonçant" l'emploi hardi de procédés inavouables par les physiciens et ingénieurs, Schwartz reconnaît leur "succès incontestable" , leurs"constants services en éléctricité",et  leur "grande adaptation à l'étude de la transformation de Fourier" ; aussi n'hésite-t-il pas à s'adresser à ces catégories dans leurs revues pour populariser sa théorie et montrer qu'elle apporte le fondement mathématique qui manquait jusqu'alors à cet emploi empirique.


N. Bourbaki, Éléments d'Histoire des Mathématiques, 1960.
On est loin, très loin du refus des applications jugées dégradantes pour les mathématiques pures d'un certain Bourbaki, à la même époque, et du mépris absolu dans lequel il tient Fourier et son œuvre: une seule page en parle, et sous quel titre improbable! Avec quelle consdescendance sur l'originalité de son travail!
On en viendrait à comprendre pourquoi les rédacteurs ont préféré se réfugier derrière un pseudonyme...


Références

  • J.-P. KAHANE, P.-G. LEMARIÉ, Séries de Fourier et Ondelettes (Cassini)
  • F. RIESZ, B. NAGY, Leçons d'Analyse Fonctionnelle (3ème éd, J. Gabay) ou  Fonctiunal Analysis (Dover)
  • W. RUDIN, Analyse Réelle et Complexe (Dunod)
  • C. ZUILY, H. QUEFFELEC, Éléments d'Analyse pour l'Agrégation (Masson)

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