Après Fourier, c'est encore du Fourier!

de Gabor  aux Ondelettes

... Une Promenade Fouriériste (Partie 5)


Nul ne résumera mieux le point de vue de l'analyse de Fourier que l'auteur des lignes qui suivent. Qui? Quand?
Patientez jusqu'à la citation suivante pour le savoir!

"Pratiquement, pour évaluer le degré de complication d'une fonction intervenant dans un système de transmission, on procède à son analyse harmonique, c'est-à-dire qu'on la décompose en composantes sinusoïdales, sous forme de série ou d'intégrale de Fourier. Une fonction s(t) est ainsi considérée de deux points de vue différents :

a) du premier point de vue, on considère la fonction directement ; à chaque valeur de t est associée une valeur de s; et la fonction est d'autant plus compliquée que la courbe représentative exprimant s en fonction de t présente plus de variations. Dans le cas de signaux acoustiques, ce premier point de vue est assez difficile à préciser ; dans le cas de signaux télégraphiques au contraire, constitués par une serie de creneaux de même largeur et de même hauteur, on voit facilement qu'une fonction est d'autant plus compliquée que l'on peut loger davantage de créneaux dans un intervalle de temps donné.

b) du deuxieme point de vue, on considère la fonction comme composée de la superposition de fonctions sinusoîdales, différant par leur amplitude et leur phase. La fonction est d'autant plus compliquée qu'elle contient davantage de composantes sinusodales d'amplitude appréciable. Ce deuxieme point de vue est intéressant pour l'etude des distorsions ; si, en effet, le signal est transmis à travers un systeme distorsif qui supprime certaines composantes sinusoîdales, il y a dans cette déformation une perte d'information que l'on peut évaluer."







Ceci posé, il va oser critiquer ce magnifique système. Et d'une critique simple, de bon sens, qui peut venir à l'esprit de chaque lecteur de notre page d'introduction musicale...
Dès son début, nous y avions montré comment différencier le timbre de deux instruments jouant la même note: l'analyse de Fourier mettait en évidence des spectres différents, c'est à dire des composantes sinusoïdales différentes, comme le rappellent les imagettes ci-dessus, extraites de cette page.
Mais que va-t-il se passer à l'exécution dun morceau complet? 

Un Défaut Congénital



"À l'audition d'un morceau de musique il n'y a aucun rapport entre l'impression physiologique éprouvée à un instant donné et l'amplitude du signal acoustique s considéré : l'oreille ne réagit qu'à une succession de valeurs de s(t). Mais cela n'entraîne point que la définition de s par ses composantes sinusodales soit parfaite. Si nous considérons en effet un morceau contenant plusieurs mesures (ce qui est le moins qu'on puisse demander) et qu'une note, la par exemple, figure une fois dans le morceau, l'analyse harmonique nous présentera la frequence correspondante avec une certaine amplitude et une certaine phase, sans localiser le la dans le temps. Or, il est evident qu'au cours du morceau il est des instants ou l'on n'entend pas le la. La representation est néanmoins mathématiquement correcte, parce que les phases des notes voisines du la la sont agencées de manière à détruire cette note par interférence lorsqu'on ne l'entend pas et à la renforcer, également par interférence, lorsqu'on l'entend ; mais s'il y a dans cette conception une habileté qui honore l'analyse mathematique, il ne faut pas se dissimuler qu'il y a également une défiguration de la realite : eneffet, quand on n'entend pas le la, la raison véritable est que le la n'est pas émis."

J. Ville, Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique
in Câbles & Transmissions, 2ème année, n°1 (1948)

La très célèbre fin de l'Art de la Fugue, de J.S. Bach, est comme envahie par le thème formé sur son nom, en notation germanique: B (Si bémol) - A (La) - C (Do) - H (Si bécarre).
Pourtant, à chaque apparition du motif,  le A n'est présent qu'une fois sur quatre!
Au fait, pourquoi n'en profiteriez vous pas pour l'écouter? (en suivant la partition, note à note, avec les cellules B.A.C.H.de la fin indiquées? ou juste le contrepoint I avec l'explication de la structure d'une fugue?)

Jean Ville (1910-1989), normalien, élève d'Émile Borel, est considéré par Yves Meyer (qui a tiré ses travaux de l'oubli en se faisant historien de la théorie des ondelettes, dont on parlera plus loin), comme un pionnier de l'analyse temps-fréquence qui prolonge celle de Fourier. Et que les musiciens pratiquent naturellement, à la façon d'un Monsieur Jourdain usait de la prose: pour le dire grossièrement, tant que vous avez des partitions sous les yeux, le temps décrit un axe horizontal (du début à la fin du morceau), et la notation de la musique revient à considérer un axe des fréquences vertical, puisqu'à chaque instant on fait entendre la fréquence d'une note.


le plan temps-fréquence



L'exemple ci-dessus est simple -comme celui d'un tracé de fonction en mathématique: une seule hauteur par abcisse de temps.
On peut corser le jeu, en proposant une dictée musicale à plusieurs voix: la noter, c'est faire une analyse dans le plan temps-fréquence!   Le premier à avoir fait l'analyse temps-fréquence d'un signal compliqué pourrait donc être, bien avant Gabor, Morlet, Meyer et Daubechies (dont cette page va vous parler) ... le petit Wolfgang Amadeus Mozart, alors âgé de 14 ans et reconstituant après deux auditions seulement la partition du Miserere d'Allegri dont les papes avaient interdit, un siècle durant, qu'elle fût éditée, pour leur en garantir l'exclusivité (l'œuvre n'était éxécutée que durant la semaine sainte). Un peu de science musicale, d'astuce, d'organisation peuvent faciliter l'exploit, comme l'indique judicieusement cet article; mais pour nous, qui nous intéressons aux précurseurs de l'analyse temps-fréquence plus qu'à  l'exhibation de phénomènes de foire, c'est sans importance! Seule compte la date: 1770. (l'écouter par Ars Nova Copenhagen)
le plan temps-fréquence du Miserere (Wikipedia)


Du Côté de chez Gabor...

Reprenons le discours de Ville exactement là où nous l'avons laissé: il va nous présenter lui-même le premier à avoir fait un pas important dans la généralisation de la décomposition de Fourier:

" Il est donc souhaitable de rechercher pour un signal une définition mixte, du genre de celle préconisée par Gabor: à chaque instant, se présentent un certain nombre de fréquences donnant la hauteur et le timbre du son tel qu'on l'entend ; à chaque fréquence est associée une certaine répartition, dans le temps qui définit les intervalles pendant lesquels la note correspondante est éemise. On est ainsi conduit a la définition d'un spectre instantané, fonction du temps, donnant la structure d'un signal à un instant donné ; le spectre du signal, au sens usuel du terme, qui donne la structure en frequences du signal pendant toute sa duree d'emission, s'obtient alors en cumulant tous les spectres instantanés (d'une manière precise en les integrant relativement au temps). D'une manière corrélative, on est amené à une répartition des frequences dans le temps ; en intégrant ces répartitions, on reconstitue le signal.
Malheureusement, les choses ne sont pas si simples qu'elles paraissent à premiere vue."



Vous aurez reconnu, dans la première intégrale, la transformée de Fourier du signal, et dans la deuxième, sa transformée inverse. Mais prenons le temps d'aller à la rencontre de Gabor, avant  d'étudier ce qu'il propose: il ne faudrait tout de même pas oublier la vocation de promenade des pages que vous lisez!

De Budapest au Prix Nobel 

Voici la maison où est né, le 5 juin 1900,  Dénes Günszberg à Budapest, au 25, Rippl Rónai Utca,  tout près de la bien connue Place des Héros. Deux ans plus tard, la famille changera son nom en Gabor.



 

La plaque de marbre rappelle les dates de sa vie: 1900-1979, et l'invention qui l'a rendu célèbre et lui a valu le prix Nobel 1971 (lire sa conférence), l'holographie.
C'est d'ailleurs celle-ci qui est mise en avant à la porte de l'autre maison de la ville où il a passé son enfance: une demi-sphère, pas très grande, est censée présenter un hologramme. Excellente idée, mais... est-ce un problème d'entretien (ou plutôt, de manque d'), de vieillissement... difficile de voir quoi que ce soit dans la boule! D'ailleurs, le Mathouriste n'était pas seul à se gratter la tête, car, les Hongrois ayant le sens de l'humour, et la rue s'appelant Falk Miksa utca...







Une troisième plaque commémorative porte enfin un portrait reconnaissable, à l'entrée de  l'immeuble qui abritait le Berzenyi Gymnásium, 18-20 Markó Utcá, où il fit ses études. C'est aujourd"hui une école bilingue nommée Xantus Janos.





Gabor a commencé ses études dingénieurs à Budapest, mais les poursuit à l'Université Tecnique de Berlin à partir de 1918; il est diplômé ingénieur en 1924, docteur-ingénieur en 1928: en ce temps là, Berlin est, pour la physique, le centre du monde... mais, en 1933, il s'exile  à Londres, avant que ses origines juives ne lui vaillent des ennuis. Londres conserve la mémoire de son habitation grâce à une de ses rituelles blue plaques. 79 Queen's Gate, Kensington, non loin du superbe Science Museum. N'hésitez donc pas à faire un petit crochet si vous allez voir ce must des visites scientifiques! C'est dans cette ville qu'il est décédé, le  8 février 1979.

 

Les Gaborettes entrent en scène




On remarquera tout d'abord le titre de l'article de Gabor, deux ans avant celui de Shannon: on sent bien, à travers ce choix, quel était LE problème de l'époque:! Et Gabor y revient dès son introduction: transmettre l'information dans les meilleures conditions possibles, et pour cela rechercher une allocation optimale des fréquences...

Il est également symptomatique de constater qu'il fait référence aux mêmes prédécesseurs que Shannon: Nyquist (1924), Hartley (1928).





Pour saisir une portion, sinon instantanée, du moins plus limitée du signal s(t), Gabor a l'idée de le regarder "à travers une fenêtre", dont la forme est donnée par une fonction w(t), qui tend assez vite vers 0 à l'infini -ceci afin de ne retenir, à très peu près, q'une portion du signal à étudier. On la déplacera ensuite le long du signal, d'où le nom de Transformation de Fourier à fenêtre glissante (en Anglais, Short Time Fourier Transform insiste sur l'étude à court terme), en considérant autour de b, s(t).w(t-b). Souvenez-vous (ou retournez voir...): c'est exactement ce que fait Fourier dans son ultime preuve de la formule d'inversion de sa transformée! Gabor choisit l'archétype du genre, la fameuse courbe en cloche de Gauss:

w(t) = e -α
Ainsi, au voisinage de 0, le signal sera analysé avec les fonctions

e -α.cos nt,   e -α.sin nt

et au voisinage d'un temps b quelqonque, avec les fonctions

e(t-b)².cos nt, e(t-b)².sin nt

ou plus généralement
w(t - b).cos nt, w(t - b).sin nt

Comme on peut le voir ci-contre, "l'enveloppe" w se déplace le long de l'axe temporel, invariante dans sa forme, et que l'on remplit avec plus ou moins d'oscillations.

Autre façon de le dire: au voisinage du point central de la fenêtre b, on substitue à la transformée de Fourier du signal  s(t), celle de s(t).w(t-b), et on considère toute la collection de ces transformées quand b varie. D'où, en posant

wλ,b (t) = w(t - b) . e iλt
la formule de la transformée de Gabor de s :


Cette formule est donc analogue à celle de la transformée de Fourier, qu'elle généralise (c'est le cas w=1 !); à deux différences près:
  • la présence du terme "d'enfenestration" (si l'on ose dire) autour de b;
  • la dépendance vis à vis de deux paramètres, temps (b) et fréquence (λ); ainsi l'analyse en fréquences a  bien cédé la place à une analyse temps-fréquence, la première du genre!


translater
p
l
u
s

d'

o
s
c
i
l
l
a
t
i
o
n






Les "gaborettes" dans le texte original.
au centre, Gabor reconstruit une sinusoïde pure à l'aide de ses fonctions, que l'on voit "glisser" le long du signal.
le plan temps-fréquence dans le texte de Gabor.
Noter qu'il représente la fréquence en abcisse, le temps en ordonnée; la convention actuelle est plutôt l'inverse.


Tout cela doit s'accompagner, comme dans le cas de la transformation de Fourier, d'une formule de reconstruction du signal à partir de la transformée.;; et ça marche!


On n'en sera pas trop surpris: sous de bonnes hypothèses, le signal peut être reconstruit à partir des fréquences seules, par la formule d'inversion de Fourier. Or, on a ici un paramètre de plus, b, en sorte que l'information obtenue par la transformée de Gabor est, très certainement, redondante. Et cette formule n'a rien d'enthousiasmant pour une reconstruction numérique rapide...
Gabor en était bien conscient, qui pensait pouvoir se restreindre à une famille dénombrable
wm,n (t) = w(t - bn) . e icmt

correspondant à son pavage du plan temps-fréquence, et débouchant sur une formule de reconstruction du type série de Fourier -mais avec un double Σ .
L'idée était de choisir un "bon réglage" des paramètres b et c; malheureusement, on passait sans transition d'un système redondant à un système ne permettant pas de représenter tous les signaux.

L'emploi de la gaussienne n'a rien d'obligatoire, et certains successeurs essaieront d'autres choix.On pourrait d'ailleurs se dire: mais pourquoi pas un simple créneau, une fenêtre bien rectangulaire... comme dans les maisons?
Il y a une raison technique: la brusque discontinuité ainsi occasionnée produirait d''importants "parasites" dans le spectre (on parle alors d'artefacts), ce qui irait évidemment à l'encontre du but poursuivi. Il y a intérêt à ce que la fonction de fenêtrage possède une bonne régularité.

Un Petit Tour en Ville

Cité en introduction, Jean Ville est lui aussi, en 1947 (il date son article du 01/09/1947, mais il paraît en 1948), à la recherche d'une analyse temps-fréquence d'un signal; son résumé introductif l'annonce sans ambiguïté

 

Il définit une densité p (t,f) pour l''énergie du signal, puis sa transformée de Fourier (fonction caractéristique, au sens des probabilités), F (u,v). Son but est d'exprimer F à l'aide du signal temporel Ψ(t).

En s'inspirant de la modulation de fréquence pour définir la fréquence instantanée d'un signal, il parvient à deux formules qui ne le satisfont pas (incohérentes avec la conjugaison); c'est alors qu'il imagine une moyenne géométrique des intégrandes pour parvenir à ceci:


Il vient de définir ce qu'on appelle la transformée de Wigner-Ville. Si elle répond à son programme et se montre expérimentalement efficace pour l'analyse des signaux brefs, elle soufre d'un gros handicap par rapport aux transformées de Fourier er de Gabor: elle n'est plus linéaire, puisque la fonction transformée figure deux fois, en produit, sous le signe intégrale!

Mais au fait, ce Wigner... mais oui, bien sûr, c'est le physicien Eugene Wigner (1902-1995), prix Nobel de Physique 1963 et auteur de la célèbre formule: "la déraisonnable efficacité des mathématiques" (titre d'un essai de quelques pages). Son sujet de prédilection était la physique quantique, mais elle l'avait amené à la même formule, d'où le nom partagé. Lui aussi était né à Budapest, et pour aller du centre ville aux demeures de Gabor... on passe devant!





76, Kiraly Utca (Budapest): maison natale d'Eugene Wigner

N.B.: il est facile, en une seule après-midi, de refermer le triangle des maisons natales des grands scientifiques de la ville en passant devant cellle de... John Von Neumann! Histoire de se convaincre du bien fondé de ce échange sur les extraterrestres à Los Alamos, un des "dadas" de Fermi.. Faut-il préciser que Leo Szilard était, lui aussi, d'origine hongroise, lui aussi parti en exil en 1933?

Enrico FERMI  -  S'ils sont partout, où sont-ils ? Pourquoi n'avons-nous trouvé aucune trace de vie extraterrestre intelligente ?
Leo SZILARD  - Ils sont déjà parmi nous, mais ils se font appeler les Hongrois!

De Morlet (1982) au Prix Abel (2017): le Triomphe des Ondelettes

Le pétrole! Symbole à lui tout seul de la réussite made in U.S.A... En échange du rêve, que ne ferait-on pas pour en trouver? All right, commençons par le rêve...





Motel Lorraine, Memphis (Tennesse)
Graceland, Musée Elvis Presley, Memphis (Tennesse) MoMA, New York: Edward Hopper, Gas

Morlet dans la Tourmente



En 1983, Elf, alors société d'état, se trouvait dans la tourmente de la révélation médiatique (merci, comme souvent, au Canard Enchaîné) d'une escroquerie de grande ampleur, la tristement célèbre affaire des avions renifleurs. N'étaient les millions gaspillés (ceux des contribuables, mais c'est sans doute accessoire... et puis, c'est une habitude, non?), l'affaire avait des côtés cocasses: les escrocs, prétendant avoir mis au point un dispositif repérant depuis le ciel des gisements de pétrole, avaient dupé entre 1975 et 1979, non seulement les plus hauts dirigeants de l'entreprise, mais un président de la République ancien polytechnicien et un premier ministre réputé "meilleur économiste de France". Deux chocs pétroliers (1973: guerre du Kippour et menace d'embargo des pays arabes; 1979: Révolution Iranienne) avaient fait baisser la garde aux plus méfiants: il fallait trouver, et vite, de nouveaux gisements moins sensibles du point de vue de la géopolitique...

Le moment était-il bien choisi pour proposer des camions-vibrateurs?




camion vibrateur: la partie marteau, entre les roues, envoie des secousses ryhtmées dont on mesure les ondes réfléchies.



La technique existait déjà depuis les années 1960, et reposait sur un principe simple: des couches géologiques différentes réagissent différemment à des ondes faisant vibrer le sol. Il n'y avait donc plus qu'à analyser le faisceau d'ondes réfléchies et le "faire parler" pour connaître les zones où la probabilité de présence d'hydrocarbures était la plus forte.

" Pierre Goupillaud, collègue et ami de Morlet, était lui aussi un ingénieur français, ancien élève de l'École des Mines. Il s'expatria aux États-Unis et travailla pour la compagnie pétrolière Conoco (aujourd'hui ConocoPhillips), dans le secteur de la géophysique. Goupillaud suggéra d'envoyer dans le sous-sol une vibration, courte et modulée en fréquence, au lieu de faire exploser des charges. L'énergie dépensée et les dégâts occasionnés sont alors réduits. Ce même principe est utilisé par le sonar de la chauve-souris. La vibrosismique était née."

Y. Meyer, Hommage à Jean Morlet
in La Jaune & la Rouge (revue des anciens de l'X)


Jean Morlet (1931-2007),
en 2001

Une technique plus... terre à terre, plus longue bien sûr (ce qui a dû favoriser le potentiel de séduction d'une solution aérienne). Ancien polytechnicien, ingénieur chez Elf, Jean Morlet travaillait sur l'analyse des données recueillies. Car la réalité était nettement plus compliquée que le principe:  si les charmants petits schémas explicatifs se limitent à 2 ou 3 couches, il y en avait au moins une centaine dans chaque portion de sol étudié; sans doute l'information cherchée était-elle dans les signaux reçus, mais presque aussi bien enfouie que le pétrole dans le sol!
Yves Meyer aime à rappeler que les 15 nuits de 1986 où des camoins vibrateurs ont sillonné Paris ont donné lieu à une année entière de travail d'exploitation des données... Mais Morlet avait une idée pour atttaquer le problème:

" Toute sa vie Jean Morlet fut un grand admirateur de Dennis Gabor, père de l’holographie et de la transformée de Fourier à fenêtre glissante (de forme gaussienne), encore appelée « transformée de Gabor ». Jean Morlet utilisait beaucoup celle-ci et en connaissait bien les avantages mais aussi les limites quand on souhaite analyser des signaux hautement instationnaires, tels les explosions ou les chocs émis par les camions-vibrateurs utilisés en sismique-réflexion pour sonder la structure du sous-sol."

M. Farge & alias, Les Ondelettes et le CIRM  in Gazette de la SMF, n°131 (janvier 2012)

Ainsi la sismique, après avoir donné un sérieux coup de pouce à la naissance de la F.F.T. (si vous avez oublié... revoyez notre page dédiée!),  allait contribuer à ouvrir un nouveau chapitre de l'analyse harmonique. En connaisseur des méthodes de Gabor, Morlet formula une critique à leur encontre: la forme de l'enveloppe restait immuable. Selon lui, il fallait plutôt disposer d'une enveloppe plus ou moins grande, selon la briéveté ou la longueur de la transitoire à représenter sans une portion du signal.
Il créa donc une "petite onde", ou ondelette dont toutes se déduiraient: l'ondelette-mère. Une bonne candidate se trouvait chez Gabor, en fixant à son goût l'oscillation:

ψ(t) = e -t²/2. cos 5t
                  Pour la placer au voisinage de b, on forme ψ(t - b); pour la dilater, on divise l'argument par un facteur a et l'on a toute la famille d'ondelettes

ou plutôt
Le facteur de normalisation placé devant n'est qu'une commodité  de normalisation (sans importance pour la compréhension de l'idée). a>1 dilate l'ondelette, tandis que a<1 la,contracte. Tout le monde peut comprendre un principe aussi simple: il suffit de regarder... attention, pas n'importe qui!



Comparaison entre les deux types de fonctions:
 * les gaborettes, à enveloppe fixe, ont de plus en plus d'oscillations intérieures;
 * les ondelettes, compressées ou dilatées, conservent le même nombre d'oscillation (la même forme)

Image empruntée à cette présentation
Astor Piazzolla  à Nice-Cimiez (12/7/1986, 18h).

et pour être sûr de bien comprendre ... pourquoi pas un Live à Montréal en 1984?


Comme chez Gabor, d'autres fonctions peuvent être utilisées, et, très rapidement, on vit les propositions (intéressantes!) se multiplier. Les formules  d'analyse donnant les "coefficients d'ondelettes" sont une simple généralisation de celles qui donnent les "coefficients de Gabor"
La reconstruction à l'aide d'une intégrale double reste tout aussi faisable, sous de bonnes hypothèses, mais elle n'intéressait guère Morlet, en raison de la lourdeur numérique qu'elle promettait -le problème a été soulevé dans le cas de Gabor. Il était donc à la recherche d'une reconstruction par sommation en série, analogue à celle des séries de Fourier:

avec l' idée plus précise qu'une "grille" de pas 2m, m entier relatif, devait suffire. Un choix obtenu par tâtonnements, mais sous l'influence forte de la règle d'échantillonnage de Shannon!

N.B.: ce sont les ψa , b précédentes, avec a = 2m, b = n, les indices ont été modifiés pour alléger; et l'on a écrit les coefficients sous forme de produits scalaires  pour maintenir l'analogie la plus forte possible.

Mais tenait-on là une base orthogonale, susceptible -c'est évidemment essentiel- de représenter tous les signaux? Morlet, encouragé par ses essais numériques, l'espérait, sans en être pleinement sûr. Il fut d'emblée soutenu par son camarade de promotion Roger Balian (physicien): à sa demande d'aide, Balain répondit par... une bonne adresse. Quant à Elf...

" Parallèlement donc, quand Morlet présenta ses travaux à Elf, il lui fut répondu : " Si c'était vrai, ça se saurait. " On peut dire aujourd'hui que les ondelettes ont paradoxalement bénéficié de cette sentence. Morlet dut alors prendre contact avec la communauté scientifique pour présenter et publier ses découvertes. Le physicien Roger Balian, qui était un des camarades de promotion de Morlet, l'orienta vers Alexander Grossmann, directeur de recherches au CNRS, qui travaillait à Marseille-Luminy au Centre de physique théorique. Grossmann fut patient, subtil et comprit ce que Morlet avait en tête. Écouter Morlet n'était certainement pas une tâche aisée, tant ses idées étaient originales, allusives, approximatives et souvent exagérément optimistes. Mais discuter avec lui était, en fait, très agréable, tant il était doux, sensible, courtois et tant ses vues étaient pénétrantes. [...] Grâce à la clairvoyance de Grossmann, les résultats de Morlet ont pu être publiés en 1984 dans une revue scientifique ayant une diffusion internationale."

Y. Meyer, Hommage à Jean Morlet
in La Jaune & la Rouge (revue des anciens de l'X)

 Elf, mal remise du traumatisme renifleur, était passée de l'excès de confiance à l'excès de méfiance :

"Jusqu'à aujourd'hui la seule récompense que lui ont value sa persévérance et sa créativité dans la mise au point de cet outil extraordinaire fut une mise à la retraite anticipée d'Elf! "
P. Goupillaud, cité par Y. Meyer
"Morlet était désespéré, car il était congédié au moment même où son travail de chercheur débouchait sur une découverte révolutionnaire. Plus de dix ans après cette mise à la retraite, Morlet obtint en 1997 le prix Reginald Fessenden de la Société américaine de géophysique."

Y. Meyer, Hommage à Jean Morlet
in La Jaune & la Rouge (revue des anciens de l'X)

20 ans plus tard encore, quelqu'un chez Total (à qui Elf est maintenant rattachée) a rendu hommage à ce génial créateur...

L'Envol

Formé à l'Analyse harmonique ("les séries trigonométriques, mes premières amours en maths"), Yves Meyer était le mathématicien de la situation. Il sut, pour commencer, tirer parti d'un fléau, la queue à la photocopieuse... c'est dire ses dispositions!

"Jean Lascoux, directeur du centre de physique mathématique de l'École polytechnique me montra, à l'automne 1984, ce premier texte sur les ondelettes. La photocopieuse que mathématiciens et physiciens partageaient étant située dans une petite pièce, j'attendais que Lascoux terminât ses photocopies en discutant avec lui : c'est suite à ces conversations autour de la photocopieuse que débutèrent mes recherches sur les ondelettes. Je pris le train pour Marseille et rejoignis ainsi le " Club des ondelettistes ". "

Y. Meyer, Hommage à Jean Morlet
in La Jaune & la Rouge (revue des anciens de l'X)

Meyer pensait qu'il n'y avait pas d'ondelettes orthogonales et indéfiniment dérivables: il essaya donc de le démontrer et, en échoaunt, construisit contre son gré la première du genre! Il fut bientôt rejoint par Ingrid Daubechies qui donna des moyens algorithmiques performants d'en construire beaucoup, notamment "à support compact", c'est à dire nulles hors d'un intervalle donné -un rêve d'abord considéré comme inaccessible. Puis Stéphane Mallat apporta un virage essentiel en les appliquant à l'analyse d'images. En à peine 15 ans furent obtenus à la fois des résultats mathématiques fouillés et des algorithmes efficaces, dont une F.W.T, Fast Wavelet Transform, prête à prendre le relais de la F.F.T. dans les applications.

Des Ondelettes partout!

Les mots de Cédric Villani par lesquels s'ouvre notre page sur la FFT pourraient aisément se trouver ici paraphrasé en:  "Et les ondelettes servent à tout! ".

Les Gros Soucis du F.B.I.

Le village ensoleillé de Hvar, dans l'île éponyme, en Croatie. Sur une maison de pierre, une plaque en souvenir de celui qui est né ici





la maison natale, et la première empreinte à avoir confondu un criminel (en l'occurrence une)

Ivan Vucetic, né en Autriche-Hongrie, mais naturalisé argention à 22 ans, fut le premier à affirmer que chaque personne était caractérisée par ses empreintes digitales, et proposa une méthode de classement. Son système fit la preuve de son efficacité en 1892: une femme soupçonnée d'homicide fut confondue par ses empreintes (ci-dessus). Il fut reconnu par l'Académie des Sciences de Paris en 1907, et les services de police et d'identité de tous les pays l'adoptèrent.


exemple: la fiche d'un petit délinquant
(le nom est inscrit en haut et à gauche)

Dans les années 1990, le F.B.I. décida de numériser sa banque d'empreintes. Soit environ 200 millions de fiches cartonnées, à numériser au taux de 500 points par pouce en 8 niveaux de gris, ce qui représentait a priori 10 Mo par fiche. L'archive brute aurait alors eu un volume de 2000 To; en ce temps-là, on prenait encore pour "unité de stockage" la disquette de 1,5 Mo... et, bien sûr, il arrivait tous les jours de nouvelles fiches!
Quant à la compression, elle était alors effectuée par la méthode JPEG, qui se révélait insuffisante: une compression efficace altérait trop certains détails de ces images à la complexité très particulières... Ce sont les ondelettes qui apportèrent la solution, et ce fut leur première utilisation en traitement de l'image!  L'exemple ci-dessous (que l'on trouve dans l'article de Brislawn) montre que l'on peut réaliser (à même rapport de compression) un gain substantiel par rapport à l'image d'origine; mais à taille égale, la compression par ondelettes fournit une meilleure qualité (la question nest pas la perfection de l'image, mais la possibilité de reconnaissance avec la sûreté maximale)

Original
Compressé par JPEG
Compressé par ondelettes



590 Ko
45 Ko 45 Ko


Détails dans l'article de C.Brislawn,  Fingerprints go Digital ou dans cee autre, qu'il a co-écrit avec J. Bradley. .

J.P.E.G. 2000

Créé en l'an 2000 pour remplacer le "vieux" standard JPEG lancé en 1992 (qui fait de la résistance dans nos appareils photos...), JPEG 2000 remplace la DCT par une compression  à bases d'ondelettes; c'est donc une application dans le même domaine et le même esprit que la précédente. En la présentant après, nous ne faisons que respecter leur ordre historique d'appartition!
À titre d'exemple, nous empruntons à cette page (EPFL, Lausanne) ces images les taux choisis sont volontairement "brutaux" afin de bien faire saisir les différences:

Taux de compression
 JPEG
JPEG 2000
très elevé

86:1


elevé

41:1




El Niño

Ce courant chaud qui affecte les côtes péruviennes (avec d'importantes conséquences pour la pêche, car il éloigne les bancs de poissons) n'a commencé à faire l'objet d'études approfondies qu'à la fin du XXème siècle. Il est connu pour avoir des périodicités empiriquement évaluées à 2 et 7 ans, mais l'analyse statistique des températures de surface en mer ne tirait rien de probant; les résultats avec des transformées de Fourier à fenêtre glissante avaient tendance à dépendre... du choix du type de fenêtre! Les chercheurs ont commencé à y voir plus clair en analysant les données avec les ondelettes de Morlet: il ne s'agit pas ici de reconstruire le signal, seulement  d'étudier la répartition des puissances des différents "composants", mal recensés.



historique des températures de surface
transformation en ondelettes de Morlet
(source: cet article)

L'analyse en ondelettes y montre notamment que les périodes 2 et 7 ont été beaucoup plus marquées aus deux fins de siècle que dans la période intermédiaire; une périodicité "secondaire" 16 apparait également. Voir aussi cet article.

À la Découverte des Ondes Gravitationnelles

Le 14 Septembre 2015, à 11.51 (temps universel),  les deux détecteurs du dispositif LIGO (page bien plus précise en Anglais!), l'un en Louisiane, l'autre en Californie) enregistrèrent la trace d'un évènement qui s'était produit  long ago and far away, comme on dit aux USA: la collision de deux trous noirs, à 1.3 milliard d'années lumières de notre belle planète. (Vidéos explicatives sur le site: Culture Science Physique). Pourquoi deux détecteurs, et si éloignés? Pour essayer de retrouver, par sa forme, le même infime signal noyé dans un bruit qui lui était mille fois supérieur. L'éloignement décale son signal: si on trouve la même chose aux deux endroits, à deux moments différents, cela ne peut être fortuit! La précaution n'a rien d'un luxe: selon les spécialistes, de nombreux signaux "fortuits", qui n'ont rien à voir, dont certains purement numériques (i.e. sans source physique!) se feraient bien passer pour l'évènement tant attendu... Des détecteurs qui, soit dit en passant, sont des interféromètres, ces engins qui fricotent si volontiers avec l'optique de Fourier!



localisation des détecteurs
(source;
LIGO
, sur Wikipedia)

principe d'un interféromètre LIGO 
(source: cette présentation; site du Prix Nobel) 

Einstein avait prévu l'existence de ces ondes dans sa relativité générale (1916), mais personne n'avait pu en observer. Ces ondes ne sont pas des ondes électromagnétiques: la déformation de l'espace-temps engendrée va agir sur les immenses bras de l'interféromètre, donc sera détectée par un moyen détourné. D'ailleurs, si le dispositif est de nature à apprendre que l'évènement a eu lieu, il ne permet pas de savoir où! La mise à niveau (en sensibilité de détection) du laboratoire européeen VIRGO en fera un troisième détecteur sensible à de telles ondes; on pourra alors, à une prochaine manifestation, connaître le lieu par triangulation.

Le signal à détecter (d'une fraction de seconde seulement, et bien plus faible que le bruit ambiant) est un chirp. Après la musique des sphères, chère à Képler, le gazouillis des trous noirs!

exemple de chirp
(source: article  de Wikipedia) 
Première onde gravitationnelle détectée
(source: cette présentation; site du Prix Nobel)

Vous pouvez entendre un exemple sonore sur Wikipedia, mais puisqu'il s'agit, au fond, d'un glissement continu de la fréquzence, c'est à dire, musicalement, d'un glissando, prenez donc un exemple infiniment plus agréable: la célébrissime introduction, à la clarinette, de la Rhapsody in Blue de George Gerschwin! Et puisque 2017, c'est le prix Abel, mais 2018, le centenaire de Leonard Bernstein, faites une pause dans le plan temps-fréquence avec cette vidéo! (NewYork Philharmonic, 1976)




Buste d'Albert Einstein, sur sa maison à Prague.
C'est là qu'il écrrivit les brouillons de l aRelativité Générale.

Sergueï Klimenko

Le physicien Sergueï Klimenko a mis au point l'algorithme de détection victorieux, directement dérivé d'un algorithme de Stéphane Jaffard, élève d'Yves Meyer.

"La beauté et l'unité de la Science, c'est que ce sont les mêmes outils mathématiques qu'il a employés et  qui sont utilisées  tous les jours dans votre téléphone portable: les ondelettes temps-fréquence pour la compression du signal en MP3. N'en déduisez quand même pas que vous pouvez écouter la musique des ondes gravitationnelles sur votre téléphone portable, ce serait trop simple!"

Y. Meyer, Confèrence du Prix Abel 2017

Et pour en savoir plus de la bouche, suivez sa conférence à l'Université de Nantes, (2017): Ondes Gravitationnelles et Musique des Sphères, ainsi que sa conférence du prix Abel (ci-dessous)

Le Triomphe

En 2017 ont à la fois été attribués le Prix Nobel de Physique à pour la détection des ondes gravitationnelles et le Prix Abel à Yves Meyer "pour son rôle pivot dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes". La presse, dans son ensemble, a donné à l'évènement un large écho, tant mieux! Voire même mis l'évènement à la une!
(peut-être le moment est-il opportun pour s'interroger sur ce curieux miroir déformant qu'est la presse: à la une, un évènement de portée mondiale, face à un vaudeville franco-français; une date gravée dans l'histoire des sciences, face à un remous oublié dans la quinzaine; un homme dont on se souviendra toujours et un quasi-inconnu... enfin, si c'est "pour emballer les poireaux le lendemain", comme la dit un autre grand homme...)



Yves Meyer, à la une du Monde (le, 22/03/2017)

Le succès le plus récent des ondelettes était justement leur contribution à la découverte des ondes gravitationnelles, et ce fut le thème par lequel Yves Meyer ouvrit longuement sa conférence de remerciement. Oui, longuement, au point que le Roi de Norvège, à qui il avait donné la veille quelques explications sur ses travaux, lui avait déclaré:

"Mais vous plaisantez! Vous êtes récompensé en tant que mathématicien, et vous me parlez en physicien!"

C'est que rien n'illustrait mieux cette unité de la science si chère à Fourier: sans la théorie mathématique des ondelettes, pas de détection des ondes gravitationnelles! L'hommage au  père fondateur s'est fait encore plus vibrant par la reprise explicite d'une phrase énigmatiquement prophétique de la célébrissime préface:

"Si la matière nous échappe comme celle de l'air et de la lumière par son extrême ténuité, si les corps sont placés loin de nous, dans l'immensité de l'espace, si l'homme veut connaître le spectacle des cieux pour des époques successives que sépare un grand nombre de siècles, si les actions de la gravité et de la chaleur s'exercent dans l'intérieur du globe solide à des profondeurs qui seront toujours inaccessibles, l'analyse mathématique peut encore saisir les lois de ces phénomènes. Elle nous les rend présents et mesurables, et semble être une faculté de la raison humaine destinée à suppléer la brièveté de la vie et l'imperfection des sens; et ce qui est plus remarquable encore, elle suit la même marche dans l'étude de tous les phénomènes; elle les interprète par le même langage, comme pour attester l'unité et la simplicité du plan de l'univers, et rendre encore plus manifeste cet ordre immuable qui préside à toutes les causes naturelles.. "
Fourier, Discours Préliminaire à la Théorie Analytique de la Chaleur (1822)

Fourier avait-il prévu les ondes gravitationnelles? Si génial soit-il, n'exagérons pas, ce serait le décrédibiliser. Mais ce qui apparaît comme certain, c'est la profonde confiance qu'il avait en l'outil mathématique qu'il avait créé -comme dans les développements ultérieurs qu'il pourrait recevoir- pour permettre à l'homme d'appréhender ce qui dépasse sa perception immédiate et les limites étroites d'une vie. Depuis 200 ans, cette vision du futur s'est montrée pertinente en des circonstances variées, et 200 ans après, elle brille d'un éclat nouveau en s'appliquant à l'aide apportée par le traitement numérique du signal à la prédiction faite par Einstein, à mi-chemin temporel du texte de Fourier et de cette découverte.

Vous trouverez la passionnante conférence de Meyer en vidéo, ainsi que celles de ses confrères à cette page
  The Abel Lectures
 

Les conférenciers, ou les trois mousquetaires des ondelettes:
Stéphane Mallat, Yves Meyer, Ingrid Daubechies, Emmanuel Candès.
(source: lettre d'infos du CMLA, Juin 2017)



Références

Articles d'initiation

Conférences en Vidéo



Livres

  •  B. BURKE-HUBBARD, Ondes et Ondelettes (Belin-Pour la Science)
  • I. DAUBECHIES, Ten Lectures on Wavelets (Society for Industrial & Applied Mathematics)
  • P. FLANDRIN, Temps-Fréquence (Hermès)
  • C. GASQUET, P.WITOMSKI, Analyse de Fourier et Applications (Dunod)
  • J.-P. KAHANE, P.-G. LEMARIÉ, Séries de Fourier et Ondelettes (Cassini)
  • S. MALLAT, Une Exploration des Signaux en Ondelettes (Éditions de l'École Polytechnique)
  • Y. MEYER, Les Ondelettes, Algorithmes & Applications (Armand Colin)

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