Cristallographie, Optique, Astronomie...

... Une Promenade Fouriériste! (Partie 4.3)


Nous poursuivons l'exploration du vaste monde des applications de la transformation de Fourier; dans cette page, on a regroupé tout ce qui touche à l'optique --en un sens assez large, comme on le verra!

Des cristaux aux quasi-cristaux

Émise par Haüy  en l'an 1781, l'idée qu'ils sont un empilement d'atomes n'est toujours, au début du XXème siècle, que l'hypothèse la plus probable! D'autant que de nombreux savants en France sont ce qu'on appelerait probablement aujourd'hui des "atomo-sceptiques", dont le très influent Marcelin Berthelot; il faut en revanche saluer ici la clairvoyance d'un Jean Perrin, atomiste convaincu. Pour en revenir à Haüy, il fut le professeur de Fourier; ni l'un, ni l'autre ne pouvaient deviner que bien des années plus tard, leurs noms seraient associés dans l'histoire de la discipline!



Haüy, Museum d'Histoire Naturelle, Paris (Wikipedia)

"Haüy , ci-devant abbé, est d'une simplicité et d'une modestie fort extraordinaires; il n'est pas vieux, son costume est encore à peu près celui d'un homme d'église; il a en outre refusé de prêter le serment. Il a la voix très nette, se fait parfaitement entendre
et parle avec beaucoup d'élégance et de facilité. Il est impossible de s'exprimer en meilleurs termes. [...] Il est tellement timide que si quelqu'un prend la parole pour lui demander un éclaircissement, il se brouille et et répond mal ou ne répond point du tout. Ce n'est pas qu'il ne soit fort instruit, et s'il ne brille pas comme [Lagrange et Laplace]par le génie, il a du moins tout l'éclat de la méthode et l'appareil de la démonstration la plus élégante."

Fourier, Note sur ses professeurs à l'École Normale



Ce qu'il faudrait  pour donner des preuves, c'est pouvoir faire des mesures de distance éclairantant leur disposition. Deux outils... (et des gens pour les mettre à profit) vont intervenir.

Prélude: outillage physique

La diffraction de la lumière est connue depuis Fresnel : elle résulte de la nature ondulatoire de la lumière (lire une analyse de son mémoire sur BibNum). Lorsque celle-ci traverse une grille fine, l'optique géométrique prédirait une simple ombre portée de la grille, les rayons poursuivant leur route en ligne droite. Mais si la grille est très fine (du même ordre de taille que la longueur d'onde du rayon), les lois de l'optique géométrique cessent de s'appliquer et chaque trou se comporte comme s'il était une nouvelle source luimneuse: la source unique est, en quelque sorte, fractionnée en une multitudes de sources, d'où le nom. C'est le principe de base pour les interférences lumineuses, qui vont être utilisées ià plusieurs reprises dans cette page.

Mais... il y a un mais: le phénomène ne peut se produire que si la longueur d'onde de la lumière est inférieure au pas de la grille. Dans l'exploration d'un cristal, c'est le réseau d'atomes qui constitue la grille, et  les distance interatomiques (évaluées à l'estime, mais assez correctes) sont inférieures à toutes les longueurs d'onde alors connues dans le spectre.


 
exemple de diffraction dune source lumineuse par une grille:
démonstration par Sylvain Ravy lors d'une conférence
première radiographie:
la main de madame Röntgen et sa bague

Les Rayons X ont été déccouvert en 1895 par Wilhelm Röntgen (incidemment, savez vous que son cousin Julius était un compositeur de talent, dont la musique vous pénétrait jusqu'à la moëlle des os, disait Grieg?). Ils lui ont valu le prix Nobel 1901; leur longueur d'onde les rend susceptibles d'être diffractés par le réseau cristallin... il n'y a plus qu'à monter l'expérience. Max Von Laue a des idées pour cela, et des complices: ...Friedrich, assistant de Sommerfeldt, et Knipping, doctotrant de Röntgen.  Sauf que le patron du laboratoire -Sommerfeldt, justement!- ne veut pas, et qu'ils devront attendre une de ses absences pour tenter et réussir l'expérience, en avril 1912. Il s'agit d'observer sur un écran les interférences des rayons X diffractés par un cristal. L'interprétation de Von Laue est erronnée (fluorescence), mais l'avancée lui vaudra le Nobel 1914.



premier cliché de diffraction X, repris par un timbre à la gloire de l'auteur de la méthode.

Fourier entre en scène

L'interprétation correcte viendra de William H. Bragg (1862-1942) et William L. Bragg (1890-1971), son fils. Ce dernier énonce la loi éponyme; elle est basée sur un mini-calcul géométrique de la différence de chemin entre deux rayons réfléchis par des atomes situés dans des plans différents distants de d : leur interférence sera constructive si la différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde (en ce cas, la lumière est maximale par somme des amplitudes); les parties noires correspondant à des ondes en opposition de phase: rien de nouveau depuis Fresnel!



"Cette relation est connue comme loi de Bragg, et jai toujours trouvé que l'associer à mon nom était un honneur bien facilement gagné, puisqu'il s'agit simplement d'une relation usuelle en optique pour la réflexion sur des films minces, présentée sous une autre forme."

W.L. Bragg

Ensuite, il a le génie d'inverser la recherche de Laue: celui-ci voulait aller des cristaux vers les figures de diffraction, Bragg comprend qu'il doit pouvoir remonter des figures de diffraction aux cristaux, c'est à dire exploiter les premières pour comprendre la structure interne des seconds.

C'est, en revanche, son père qui le premier (1915), relie ce travail à l'analyse de Fourier:

la première page de la Bakerian Lecture de Bragg, et le passage crucial

100 ans( plus si on se rapporte à la présentation à l'Académie, un peu moins si l'on prend pour base la publication) après Fourier, Bragg a compris -et fait savoir -que le travail de maturité de l'ex-élève Fourier peut apporter une aide énorme aux classifications de son ex-professeur Haüy!

Du Sel de Cuisine à l'ADN

Dès 1913, les Bragg élucident plusieurs sructures: le sel ordinaire (NaCl), la blende (ZnS), le diamant... et encore un prix Nobel dans cette page! (1915, père et fils). Mais leur investigation atteint rapidement ses limites: ils trouvent parce qu'ils ont une idée approximative de ce qu'ils cherchent. Ainsi, la structure du diamant avait été conjecturée 30 ans auparavant par William Barlow (1845 - 1934), un géologue parvenu aux mêmes idées de classification que le chimiste Fédorov, dans son article Probable Nature of the Internal Symmetry of Crystals. (Nature 1883, n°29).




source: exposition Cristallography (pour les 100 ans de la diffraction des rayons X).
et à part ça, puisque... les diamants intéressent du monde, offrez vous un petit plaisir pas cher: quelques minutes d'une éblouissante Marylin!

À partir de 1925, chimistes et cristallographes utilisent les séries de Fourier pour analyser des structures de plus en plus complexes (de vrais objets 3D, terriblement "tordus"!); pénicilline et  cholestérol en sont des exemples typiques, dont l'importance médicale est évidente. Et c'est là que, bien avant son emploi dans l'imagerie radiologique, le transformation de Fourier allait servir la cause d'Esculape... lentement, certes, mais tout de même en s'appuyant sur un système d'économie des calculs, c'est à dire la même philosophie que celle de la FFT.

"L'un de nous (C.A.B.) suggéra alors d'essayer la méthode de Fourier récemment proposée par Bragg. Bragg l'avait testée sur une structure connue, le diopside, mais personne ne s'en était jamais servi pour une structure inconnue. Il y avait cependant deux difficultés: nous ne disposions pas de mesures quantitatives et n'avions aucune expérience dans la sommation de séries de Fourier à deux variables, bien que nos cours de mathématiques nous aient fourni une expérience considérable dans la sommation des séries à une variable. Travailler sur des sommes partielles de 90 termes en deux variables était une autre paire de manches!
Le département de Manchester vint à notre aide pour le premier problème [...]"


bandes de Beevers-Lipson
source: Wikipedia et Musée des Sciences d'Oxford
"Dans le cas du pentahydrate de sulfate de cuivre, environ 90 plans participaient à l'évaluation.  Divisant les axes x et y en, disons 60 et 30 parties respectivement, il fallait calculer les sommes en 1800 points. La méthode la plus immédiate était de calculer hx+ky, prendre le cosinus, multiplier par Fh,k et sommer les 90 valeurs à chacun des 1800 points. Des additions aussi longues sont excessivement pénibles, surtout quand il faut les faire de tête; il y avait donc une forte motivation pour réduire ces additions. Le matin du 4 Décembre 1933, l'un de nous (H.L.) suggéra qu'il serait bien plus avantageux de développer cos (hx+ky) selon la formule bien connue cos hx cos ky - sin hx sin ky. Bien que cela pût sembler aggraver les choses au premier coup d'œil, dans la mesure où il fallait maintenant ajouter deux termes au mieu d'un seul, cela rendit en fait le calcul bien plus facile. Pour chaque  valeur de h, on pouvait sommer les Fh,k cos ky  pour tous les y, et ultérieurement employer cette somme comme coefficient des valeurs cos hx. Pour chaque valeur de h, la somme ne portait plus que sur 2k nombres au lieu de hk. [...]
Les valeurs de A
. cos hx et B. sin hx peuvent être imprimées sos formes de tables, puis coupées en bandes, en sorte que la sommation de Fourier consiste simplement en la sélection des bandes appropriées posées les unes en dessous des autres, puis additionnées pour fournir les différents sous-totaux. Des tables séparées sont constituées pour chaque valeur de h, avec les valeurs de x en lignes et A en colonnes. "

C.A. Beavers, H. Lipson


Il y a encore un petit trick à assimiler... n'avez vous pas été surpris par l'évocation de calculs faits de tête, alors que les fonctions trigonométriques ont des valeurs bien compliquées? Regardez mieux les bandes ci-contre: elles ne comportent que des nombres entiers.
En fait, la table des A . cos hx, ou plutôt, dans la réalité, la table des A . cos (2πhx / 60) ne contenait que des valeurs arrondies aux entiers. Les intervalles, également par pas entiers, étaient:
  • A = 1,2, ..., 99;
  • x = 1,2, ..., 99;
  • h = 1,2, ..., 15.
Une jolie discrétisation avant l'avènement du calculateur électronique!

Les bandes de Beevers-Lipsons firent même un peu de résistance à l'arrivée de la FFT (1965), puisqu'elles furent utilisées jusqu'en 1971. Toutefois, dès les années 50, l'opérateur s'aidait d'une machine à claculer mécanique pour les sommes. Une utilisatrice particulièrement célèbre du couple gagnant (rayons X, bandes de Beevers-Lipsons) est la chimiste britannique Dorothy Hodgkin : elle découvrit la structure du cholestérol en 1937, de la pénicilline pendant la seconde guerre mondiale (publié en 1945), de la vitamine B12 en 1954 et de l'insuline en 1969 et fut la troisième femme, lauréat du prix Nobel de Chimie (1964).


Le cas de la découverte de l'ADN est lui aussi intéressant: en 1952, Francis Crick avait montré que la transformée de Fourier d'une hélice est une croix en pointillés. Et c'est exactement ce que Rosalind Franklin fut la première à observer en 1953, sur les clichés qu'elle réalisa. James Watson et Francis Crick, qui reçurent le prix Nobel en 1962, la remercièrent de leur avoir fourni ces précieuses images, encore non publiées... ce qui était bien le moins qu'ils pouvaient faire, Crick les lui ayant carrément dérobés à son insu, pour les montrer à un Watson qui se plaignait de n'avoir pu soutirer la moindre information à la chercheuse! Une injustice qui transforma la "Dame du côté obscur de l'ADN" en icône de l'oppression des femmes.

"Dès que je vis cette image, je restais bouche béue et mon pouls s'accéléra [...] La croix noire des réflexions qui dominait l'image ne pouvait provenir que d'une structure hélicoïdale."
J. Watson

ci-contre, un cliché originale de R. Franklin


La cristallographie avait ainsi offert sa plus puissante technique aux chimistes et biochimistes. Pour la découverte de la structure du ribosome en 2000 (prix Nobel 2009), les bandes de papier étaient remisées depuis longtemps, et les ordinateurs tournaient à plein régime!

C'est parce que les figures de diffraction réalisent naturellement une transformation de Fourier que la structure elle-même devient accessible par transformée de Fourier inverse. On peut, dans certains cas, se "contenter" de la transformation directe naturelle pour apprendre des choses étonnantes, voire déroutantes: c'est le cas de la découverte des quasi-cristaux (1982) par Dan Shechtman (prix Nobel 2011). De façon générale, la figure de diffraction hérite des propriétés de symétrie du cristal de base; la surprise fut d'y découvrir des symétries pentagonales et décagonales dont l'impossibilité était bien démontrée dans les réseaux cristallins.





Cliché original (au centre) et mise en évidence des structures pentagonales et décagonales.
À gauche, les pentagones jaune et vert sont obtenus en saautant un sommet sur deux d'un décagone semblable au bleu.
 Dan Shechtman

Pour en savoir plus sur cette passionnate histoire, et retrouver son anticipation médiévale à Isfahan (Iran), rendez- vous sur notre page dédiée!

Les Débuts de l'Optique de Fourier


"J’avais un peu étudié la transformation de Fourier à Bordeaux, pendant le premier trimestre de l’année scolaire 1918-1919, au cours d’Analyse Supérieure du Professeur Cousin, à la demande de mon chef militaire, le Professeur Henri Bénard. Celui-ci me fit appliquer les équations de Fourier à la mesure de coefficients de conductibilité thermique par la propagation en régime variable. Ce fut ma première publication scientifique. J’y parlais de Fourier : j’étais visiblement prédestiné, mais quand je le retrouvais 15 ans plus tard, je l’avais complètement oublié."


l'édition Masson 1970...

... et son auteur

C'est un livre publié à compte d'auteur en 1946 qui marque le début de ce que l'on appellera bientôt Optique de Fourier.Il est difficile d'être moins explicite que son titre! L'auteur, Pierre Michel Duffieux  (1891 – 1976), normalien (1912), en avait exposé les idées dès 1941, mais s'était heurté à une incompréhension totale de l'auditoire:

"En 1941, A. Cotton me pria d’exposer ces résultats dans une réunion de la Société de Physique, Place St-Germain des Prés. Personne ne me demanda d’explication, personne ne me discuta. On me laissait tomber. Mais après la séance, devant des demis, à la brasserie qui est en face des Deux Magots, Fleury et Darmois qui connaissaient les pensées générales m’expliquèrent. Le silence était dû au fait que personne n’avait rien compris; les opticiens n’avaient qu’une vague idée de Fourier et de ses mathématiques; on ne les enseignait pas en certificat de licence. [...] Cotton m’avait dit, en me donnant son opinion sur le manuscrit : en France vous mettrez dix ans pour réussir... à condition que vous reveniez d’Angleterre."
P.M. Duffieux, op. cit.
Tandis qu'il menait une carrière "ordinaire" de professeur à l'université à Besançon -qui a depuis donné son nom à un laboratoire d'optique- Max Born et Emil Wolf attirèrent l'attention sur cet ouvrage dans leur célèbre Principles of Optics (1959). Ce qui lui permit d'être enfin édité en France (Masson, 1970), puis traduit en Anglais (1983).
Duffieux étudiait les interférences lumineuses, un domaine actif depuis le travail inaugural de Fresnel. Le principe repose,comme dans le cas des rayons X évoqué ci-dessus, sur une différence de marche entre les rayons (la contrainte d'emploi des rayons X en cristallographie ne venait que de la taille des distances interatomiques). Le patron de Duffieux, Fabry, avait construit et exploité un interféromètre dans la théorie duquel on trouve la formule mentionnée dans l'extrait ci-dessous:

"Mais en 1934 Fabry m’avait dit : "Ostwald utilise la formule de Van Cittert pour les corrections des défauts de planéité de ses lames d’interféromètre. Je l’ai essayée jadis, elle ne vaut rien". Elle consistait à remplacer le cosinus de la formule des franges:

par l’approximation classique cos x = 1 - x²/2 . La période des franges s’étend de -π à +π, le maximum, "la frange" , est centré sur x = 0 et la formule ainsi corrigée est utilisable sur 30° ou 40° autour du maximum. «Cherchez quelque chose qui fasse intervenir toute la période », ajouta Fabry. Je lui garde, pour cette remarque,une reconnaissance et une estime que rien de ce qui nous a séparés depuis n’a pu éteindre."
P.M. Duffieux, op. cit.


"Au milieu de novembre [...], j’ai envoyé une note avec deux équations l’une en sinus, l’autre en cosinus, donnant : la première la condition de parallélisme optimum, l’autre la position des plans parfaits que l’on pouvait substituer aux surfaces réelles, avec toutes les corrections accessoires désirables. Le surlendemain matin, Fabry me téléphona à Rennes : «Qu’est-ce que c’est que ces équations ? où les avez-vous trouvées ? Je ne les comprends pas et aucun des opticiens que je connais n’en voudra. Trouvez autre chose, mais ça non ; ça ne passera jamais à la Revue d’Optique»
     


J’allais dans mon amphithéâtre vide, qui avait un long tableau noir et 36 places assises pour 70 [étudiants]; les autres s’asseyaient, les jambes pendantes, sur la galerie haute qui courrait sur trois côtés et servait au garçon à ouvrir et fermer mes six fenêtres. J’écrivis mes deux équations sur le tableau, je m’assis en face et je les regardai. Dieudonné vint me voir pour raisons de service.
«Qu’est-ce que vous faites de ces équations ?
- Je m’en suis servi pour étudier les aberrations des franges du Michelson et Fabry me demande où je les ai trouvées et qu’est-ce que c’est.
- Mais ce sont les équations de la transformation de Fourier, série, et réduites au premier terme !
».
C’était vrai, et à travers 15 ans d’abandon je revis le cours de Cousin de 1918. Je pardonne à Dieudonné son mépris pour Euclide et son cri de guerre nicéen : «Mort au triangle!» ."
P.M. Duffieux, op. cit.

Précision (anecdotique), Duffieux a un peu emmêlé les citations: c'est "à bas Euclide!" qu'avait lancé l'enfant terrible de Bourbaki, et la formule, prônant une nécessaire révolution de l'enseignement, avait fait florès (pas toujours bien comprise, hors de son contexte), jusqu'à Léo Ferré la transformant en "il faut mettre Euclide dans une poubelle!". Dieudonné s'en était pris, et avec raison, à l'excès d'exercices stériles qui ne regardaient que le nombril d'un triangle, marque d'un passéisme à enterrer.

"Je m’étais remis à Fourier. [...] Un matin où j’étais très libre, je reçus un ingénieur de l’Institut d’Optique qui représentait la maison Mader-Ott. Il me montra des appareils de mathématiques et les catalogues de la maison Mader. Je lui pris tout de suite un très beau planimètre d’Amsler. Il me proposa un dispositif nouveau qui en faisait un analyseur harmonique, plus lent que le Corradi, mais beaucoup moins cher et en réalité plus rapide quand on ne demandait que les premiers harmoniques. Tandis qu’il montait les deux appareils, je feuilletais la notice qu’il m’avait ouverte et j’eus tout de suite une révélation hallucinante. Il y avait sur le catalogue la série type de Fourier :

Mais je lui substituais la série bien connue que je venais d’enseigner à mes élèves de licence et que je regardais depuis 2 mois :



Ce mélange des deux séries ne me troubla pas et je me dis : "Si tu multiplies tous les rn par le an , tu pourras représenter par cette série toutes les déformations de franges que tu voudras; la relation entre F(x) et I (x) est une question de mathématiques pures" . J’achetais immédiatement l’analyseur avec toutes ses roues dentées  [...] et le représentant de Mader-Ott (Bavière), qui rentrait à Paris eut l’obligeance de me laisser l’analyseur tout monté sur la table.  Quant au catalogue décisif de 1935, je l’ai demandé récemment à M. Bulabois qui a eu longtemps la conduite des travaux pratiques. Il l’avait mis de côté, en ayant fait venir d’autres. Comme je regardais la page de couverture assez sale, mais pas trop, il me dit : «Il a beaucoup servi». C’est ce que je désirais."

P.M. Duffieux, op. cit.


 Comment cela fonctionne-t-il?

Qu'est-ce qu'un planimètre?

Imaginez que vous faites un tour complet du périphérique parisien. Fun, non? Pourriez-vous en profiter pour donner sa longueur? Bien sûr: le compteur kilométrique de votre voiture fait très bien ça pour vous. Pourriez vous en profiter pour calculer aussi la surface de Paris intra muros? Cela poeut vous sembler bien moins naturel, mais, en gros, la réponse est oui, à condition bien sur d'adapter le mécanisme de votre compteur à cette tâche. C'est très exactement ce que fait un planimètre: en parcourant un contour (sur une carte d'échelle connue), il fournit la surface qu'il délimite. L'objet est donc d'une grande utilité, en particulier pour le cadastre... et les vendeurs de peaux de bêtes, mais oui, car l'objet vaut d'autant plus cher que sa surface est grande!



un problème simple à comprendre
l'outil qui le résout: le planimètre

Pour celui qui a fait un peu de calcul intégral, le mystère sera moins dans les mathématiques, puisque la machine exploite la formule de Green-Riemann, qui relie l'aire à une "promenade" le long du bord, que dans l'habileté mécanique à faire en sorte que le dispositif produise, à chaqque instant, une quantité proportionnelle à y.dx -il n'y aura plus alors qu'à les sommer au fur et à mesure
Pour les autres, on peut proposer un modèle approché, mais simple, qui lève ce mystère.
<à venir>

Comment devient-il un analyseur harmonique?

L'appareil d'Amsler est très simple et surtout peu encombrant, ce qui en assure le succès: il se compose de deux bras; à l'extrémité de l'un, la pointe sèche qui décrit la courbe; à l'extrémité de l'autre, un point fixe -d'où son nom: la courbe apparaît comme tracée en coordonnées polaires d'origine ce point. Disques et roulettes de calcul sont logées dans son bras.


Jakob Amsler (1823-1912)
son planimètre polaire (exposition Prendre l'aire, Musée des Arts & Métiers (Paris)

L'adaptation, bien visible ci-dessous et à gauche, consiste en l'ajout d'une sorte de pantographe à support triangulaire, à la pointe duquel  se trouve un triaingle rectangle mobile autour de son sommet, et un ensemble crémaillère -roue dentée. C'est en changeant a taille de celle-ci qu'on changera de coefficient de Fourier!



de gauche à droite:
le planimètre, la crémaillère et sa roue dentée, le pantographe

la pointe sèche suit le tracé de la fonction f
la roue dentée a une taille adaptée à l'harmonique étudiée

L'idée revient en gros à ceci: tout se passe comme si, pendant que l'on suit le tracé d'une fonction f , le système pantographe-crémaillère-roue dentée communiquait au planimètre un mouvement similaire à celui qu'il effectuerait pour calculer l'aire correspondant à l'intégrale de Fourier du n-ième coefficient; On passe du cosinus au sinus en changeant le point d'attache et on change d'harmonique en changeant d'engrenage. Le calcul détaillé avec les figures explicatives (ne retenant que les parties géométriquement utiles de l'appareil) se trouve dans cet article.

Voir une autre description et une explication complète illustrée sur son fonctionnement, et une notice d'époque (en Allemand). Il est également brièvement décrit, avec une photo du coffret, dans cet article sur les analyseurs mécaniques.




Tout ce que vous voulez savoir sur les étoiles... sans y avoir jamais mis le pied!

L'idée que l'on puisse acquérir des données de tempérarure, de composition chimique, de vitesse d'objets extrémement éloignés par la seule étude de spectres vous semble bien peu intuitive? Mais c'est une réaction très saine! Cela n'a rien d'intuitif, mais qu'on puisse y arriver fait partie, non des mystères, mais des beautés de la science. Si vous êtes pressé d'avoir une première idée, ou si vous voulez ensuite retrouver un point de référence, consultez cette page du site Culture Sciences Physique (site de vulgarisation de l'ENS Lyon).

Prélude Chimique: faire parler un Spectre...





Quelle lumière émet un corps chauffé, quelle lumière absorbe-t-il?

C'est en 1859 pour Bunsen et Kirchoff un nouvel angle d'attaque plein de promesses pour l'analyse chimique; ils construisent à cette effet le premier spectroscope. Une lunette pour éclairer, une pour observer, et entre un prisme pour disperser la lumière, pas encore de transformée de Fourier à l'intérieur, visiblement! Vous trouverez leur article et un commentaire de lecture sur BibNum.

La figure ci-contre montre clairement, à partir de la dispersion classique de la lumière blanche par le prieme (Newton), les raies d'émission d'un corps chauffé, et les raies noires d'absorbtion du corps froid: ce sont les mêmes, et donc la réunion des deux spectres  est le spectre complet de la lumière blanche. Ils proposent ainsi une interprétation des raies noires de Fraunhofer dans la lumière solaire, ouvrant par là même une voie royale de l'astrophysique:

cliquez pour agrandir! (source: Wikipedia)

"Si [...] l'analyse par le spectre nous forunit un moyen d'une grande simplicité pour reconnaître les plus petites traces des éléments disséminés dans les corps terrestres, elle ouvre, d'un autre côté, aux investigations de la chimie, un champ jusqu'à présent inexploré, et dont les limites s'étendent même au delà de notre système solaire. [...]
On peut conclure de ce fait que le spectre solaire avec ses raies obscures n’est autre que le spectre renversé de l’atmosphère du soleil. Par conséquent, pour analyser l’atmosphère solaire il suffit de rechercher quels sont les corps qui, introduits dans une flamme, donnent des raies brillantes coïncidant avec les raies obscures du spectre solaire"
Bunsen et Kirchhoff

Fourier fait son entrée... naturellement!

Dans les cas précédents, les physiciens étaient aller chercher un outil qu'ils connaissaient par ailleurs -la série de Fourier- comme on va en chercher une pince ou un tournevis dans son atelier: "si j'essaye avec celui-là, ça ira peut-être mieux...". Ici, changement de registre: non seulement c'est l'intégrale de Fourier qui intervient, mais c'est la mise en équation du problème qui la fait apparaître.


Tout commence avec un célèbre appareil, l'interféromètre de Michelson, que l'on trouve décrit un peu partout (voir par exemple cette animation): un rayon est divisé en deux de façon à pouvoir interférer avec lui-même. La différence de marche, source une fois de plus des interférences, est réglée par le déplacement d'un des miroris réfléchissant (M2, sur ce schéma emprunté à l'article de Wikipedia); elle produit des franges claires et sombres, voire colorées si la source n'est pas monochromatique, ce qui va nous intéresser.

Tous les spectromètres à transformation de Fourier, des modèles héroïques des premiers temps aux appareils les plus récents embarqués pour des missions d'exploration spatiale, incorporent ce dispositif.

En notant x la différence de marche (ce qui revient à prendre pour  le déplacement du miroir d=x/2), un faisceau monochromatique incident de longueur d'onde λ , d'intensité lumineuse I produit pour l'observateur une intensité de sortie

σ , l'inverse de la longueur d'onde λ,  est le nombre d'oscillations de l'onde par unité de longueur, on l'appelle nombre d'onde ou fréquence spatiale.

Une source polychromatique est caractérisée par sa distribution spectrale S(
σ), qui donne sa densité d'énergie selon la fréquence; et c'est celle-ci qui intéresse les astrophysiciens, parce qu'elle va les renseigner sur la composition chimique des atmosphères des étoiles et planètes: c'est là qu'on rejoint notre prélude chimique!
 Chaque "bande infinitésimale" de fréquence spatiale contribue pour
S(σ) cos (2πσx) dσ, et l'on ontient l'intensité de sortie par une sommation, laquelle est réalisée par une intégrale puisque σ varie de façon continue:

ou encore, en introduisant la partie paire de S:


L'appareil ne donne pas accès directement à la quantité qui est l'objet de touttes les convoitises... mais à sa transformée de Fourier!

Transformée cosinus, ou transformée usuelle de la partie paire, ce n'est qu'un détail... la fonction S recherchée s'obtiendra par transformée de Fourier inverse.

Le calculateur sera donc intégré à l'appareil pour fournir au chercheur les résultats en clair.

Spectrum ex Machina (en laboratoire)

Nous avions laissé plus haut un Duffieux redécouvert aux U.S.A. mais bien incompris en France... pas de tout le moncde, cependant. Lui, le pionnier... allait inspirer d'autre pionniers, mais dans le domaine de la spectroscopie astronomique... et l'introduction du calcul sur ordinateur:

On s'est mis à jouer avec une autre possibilité. Par le travail de P.M. Duffieux, on savait évidemment que les transformées de Fourier intervenaient dans la théorie de la diffraction. On dressa donc des plans pour enregistrer des interférogrammes sur une plaque photographique [...] Le motif de Fraunhofer fournirait une sorte de réponse. La méthode n'avait rien d'absurde, mais ne paraissait pas franchement attravtive: telle était la Spectroscopie par Transformée de Fourier, supposée prendre un avantage écrasant sur les spectrographes. [...]"


  • 1956: H. Gebbie et G. Vanasse obtiennent les premiers spectres, analysés avec un IBM 650, deuxième machine commercialisée par la firme... et plus destinée aux applications commerciales qu'au calcul scientifique!
  • 1964-66: J. & P. Connes dirigent la construction du premier F.T.S. (Fourier Transform Spectrograph) au Laboratoire Aimé Cotton de la faculté d'Orsay. C'est un IBM 7040, qui était chargé du calcul de transformée de Fourier. Premier ordinateur de la gamme à transistors, mais sans programme de FFT, il lui fallait 1h30 par spectre! Anecdotiquement, ce fut aussi la première machine à équiper l'Institut de Calcul  de Grenoble, partie de celle  qui ne senommait pas encore, et... ne se nomme déjà plus: Université Joseph Fourier.


IBM 650 (Wilkipedia)

IBM 7040 (Wilkipedia)

"Il y eut un tournant pour d'autres raisons. Soudainement, IBM-France organisa des cours de FORTRAN, et offrit quelques heures gratuites de calcul sur le 704, son tout dernier modèle et le plus agréable à utiliser.[...] Le calculateur trônait au beau milieu de la vitrine, au quartier général d'IBM, Place Vendôme, bien à l'abri d'épaisses parois vitrées. Les parisiens comme les touristes découvraient, bouche bée, la transformée de Fourier en action, entre deux visites aux boutiques de joaillerie tout proches."








"Ces résultats nous semblent marquer l'entrée de la spectroscopie interférentielle de Fourier dans un domaine nouveau, où son utilité ne paraissait pas jusqu'ici évidente [...] L'avantage principal retiré de lemploi de la spectroscopie  de Fourier sera alors une plus grande précision dans la mesure à la fois des intensités et des nombres d'onde."
P. Connes, Discussion terminant l'article

Petit flashback pour raconter comment cette équipe se constitua autour de Pierre Jacquinot... de quoi faire éprouver un peu de nostalgie aux jeunes chercheurs d'aujourd'hui! Voilà qui laisse une impression semblable à celle d'un Didier Daurat recrutant avec le même flair des pilotes de légende pour l'Aéropostale...


"J'avais eu en 1956 ou 57, une idée qui s'est révélée très fructueuse. Celle d'une nouvelle méthode de spectroscopie appelée "spectroscopie de Fourier". Une des premières choses que j'ai donné à Jeanine Connes, était de faire des expériences préliminaires simples pour voir si l'idée était valable... Cela lui a donné le sujet de sa thèse. Puis Pierre Connes s'est mis sur le sujet et il a obtenu des résultats. Or il se trouve qu'une des caractéristiques de cette méthode de spectroscopie, est de nécessiter des gros calculs. D'où l'utilisation d'un ordinateur. C'était même l'une des conditions essentielles de réussite de la méthode de spectroscopie de Fourier. Il y a un autre coté, purement physique, qui fait appel aux interféromètres. Il s'agit d'une technique très belle, mais très difficile. Et petit à petit, madame Connes a été amenée à s'intéresser à l'aspect calcul, mais en utilisant des ordinateurs qui n'étaient pas au laboratoire. Si j'ai bonne mémoire, les calculs se faisaient chez IBM, place Vendôme. Ensuite, on a utilisé les services du Centre Blaise-Pascal, le centre de calcul du CNRS. Les ordinateurs de l'époque étaient des clous par rapport à ceux d'aujourd'hui. Tout cela explique que nous soyons devenus en quelque sorte des spécialistes du calcul dit de Fourier."

"Connes est un monsieur un peu génial, physicien remarquablement imaginatif, très habile expérimentateur. Comment l'ai-je rencontré ? Il se trouve que comme beaucoup d'universitaires, j'ai été amené à faire parti du jury de l'agrégation féminine de physique. En 1952-54, il y avait encore une agrégation féminine. Après l'oral, les membres du jury reçoivent les candidats[...]
Donc pour cette agrégation de 1954, je recevais les candidates, il y avait une certaine Jeannine Roux, épouse Connes. Elle ne devait pas être mariée depuis très longtemps, mais suffisamment pour être enceinte, elle s'était évanouie juste après sa leçon.
"Qu'est-ce que vous voulez faire ?
- je veux faire de la recherche. (j'avais eu une très bonne impression lors de sa leçon)
- je peux vous obtenir un poste au CNRS dans le Laboratoire Aimé Cotton.
- Mon mari vient d'être reçu lui aussi à l'agrégation, il aimerait bien pouvoir venir lui aussi (Il avait été nommé prof dans un lycée parisien).
- Appelez-le si vous voulez, il bricolera au laboratoire.
Et pendant un an, Pierre Connes est venu "bricoler" et il s'est révélé un chercheur de tout premier ordre. "


Spectrum ex Machina (de l'Atmosphère aux Étoiles)

Quelques exemples seulement, pas une liste exhaustive: elle serait trop longue (et sans doute répététive). L'astronomie exploite tout particulièrement la partie infra-rouge du rayonnement.

Depuis le Sol...


Les pionniers n'en sont pas restés aux échantillons de laboratoire, et ont immédiatement tourné leurs spectromètres vers le ciel (au bout d'un téléscope, bien sîr). Jeanine et Pierre Connes, avec Jean-Pierre Maillard, montrent dès 1967 dans l'article Spectroscopie astronomique par Transformation de Fourier les avantages qu'offre cette nouvelle technique en comparant, autant sous l'angle de la qualité que sous celui du temps de calcul, les sprectres obtenus pour Jupiter.




Idéalement située loin de la pollution, dans un air très sec, la Station Scientifique Internationale du JungfrauJoch (alt: 3580m), en Suisse, était dès 1950 équipée d'un spectroscope infrarouge pour l'étude du rayonnement solaire et de l'atmosphère terrestre, pour y détecter la présence de composés plus rares: CO, CH4,puis HCl, HF,...

À partir de 1974 y est installé un spectromètre à transformée de Fourier dont la qualité technique permet l'étude de l'atmosphère au coucher et au lever du soleil. Un deuxième instrument y est installé en 1990; une vingtaine de composants peuvent y être surveillés en permanence, dont ceux qui, fort heureusement pour nous, ne sont présents qu'à l'état de trace, mais que le protocole de Kyoto a désigné comme gaz à effet de serre: hydrofluorocarbures, hexafluorure de soufre..
.
Si l'on veut bien se souvenir que Joseph Fourier fut le premier scientifique à écrire sur l'effet de serre, la présence, 200 ans plus tard, des outils mathématiques qu'il a conçus dans des instruments sophistiqués d'analyse en dit bien plus long sur son rôle que bien des discours!

... ou dans l'Espace!


Source: Wikepedia et Nasa
  • ACE est une mission de surveillance atmosphérique, qui opère depuis un satelitte canadien lancé en 2003. Son principal instrument embarqué est un spectromètre par transformée de Fourier (ACE-FTS) observant dans l’infrarouge et mesurant les profils de concentrations de plus d’une vingtaine de constituants atmosphériques.






Dans un Synchrotron!


Dans le projet SOLEIL (CEA/CNRS, 2006; site web ici), ce sont, à leur tour, les ultra-violets qui sont l'objet de l'attention des chercheurs. On aura donc, au gré de cette page, parcouru tout le... spectre, sauf le rayonnement gamma!

Il s'agit d'explorer l'infiniment petit, cette fois: la structure électronique des atomes et des molécules. Par exemple, les spectres des diverses molécules de monoxyde de carbone, selon les isotopes, ont pu être bien mieux précisés. Voir ce document, dont nous avons extrait les vignettes d'un spectre obtenu, et du spectromètre à transformée de Fourier.







Références

  • E. BRIGHAM, The Fast Fourier Transform and its Applications (Prentice Hall)
  • S. DAVIS, M. ABRAMS, J. BRAULT, Fourier Transform Spectroscopy (Academic Press)
  • M. DERRICK, D. STULIK, J. LANDRY, Infrared Spectroscopy in Conservation Science (The Getty Conservation Institute)
  • H; GOLDSTINE, A History of Numerical Analysis from the 16th through the 19th Century (Spinger)

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