Cette page est un préliminaire à notre promenade dans la Théorie Analytique de la Chaleur. Sa lecture n'est pas indispensable pour lire les suivantes, mais elle peut (en tout cas, l'auteur l'espère) aider à mieux appréhender le travail de Fourier:

• en précisant certains éléments historiques qui entourent cette découverte;
• en se plaçant dans un contexte a priori plus naturel et plus accessible parce que plus familier: celui des ondes sonores et des instruments de musique;
• la musique adoucit les mœurs... et peut être aussi les équations! (Promis, il n'y en aura pas trop)... et le Mathouriste se souvient qu'il fut aussi un Jazztouriste!

Analyse Harmonique est, pour le mathématicien ou le physicien, un simple synonyme d' Analyse de Fourier. Ce n'est évidemment pas le sens que donnerait à l'expression un professeur du Conservatoire: pour lui, cela signifierait l'étude d'une partition d'orchestre (ou de chœur), afin de décortiquer l'agencement sonore simultané des instruments (ou des voix). Pourtant, le mot harmonique a d'excellentes raisons de leur être commun. Lue après coup, l'Histoire des Sciences rend inévitable la question:
De fait, tous les ingrédients étaient là... tous, sauf Fourier! "Un seul être vous manque, et tout est dépeuplé..."

Mise en Bouche (Contemporaine)

Le son d'un instrument de musique est une vibration de l'air, elle-même engendrée une vibration d'origine mécanique, par exemple une corde (violon, guitare, piano), une lame de bois (clarinette) ou de métal (harmonica, accordéon). Un diapason émet un son "pur" qui, on le verra un peu plus loin, correspond à une sinusoïde dont la fréquence est de 440 Hertz (ou battements par secondes). Mais personne ne confondrait le La 440 d'une clarinette avec celui d'une trompette: c'est qu'il y a donc autre chose dans le son émis que cette fréquence, dénommée fondamentale. Ce qui donne à chaque instrument son timbre particulier, ce qui "colore" sa fondamentale, ce sont d'autres vibrations produites simultanément par l'instrument; elles dépendent de sa forme, de sa matière, mais ont des fréquences multiples de celle de la fondamentale: ce sont elles qu'on nomme les harmoniques. Et comme une couleur s'obtient en sélectionnant d'abord les couleurs de base qui la composeront, puis en dosant les quantités, un timbre peut se construire en choisissant les harmoniques qui l'accompagneront, puis en les dosant. Ou comme une pâtisserie s'obtient en choisissant les produits de base (farine, sucre, chocolat...) puis en dosant leur proportions respectives. Mais il y a une énome différence: si depuis toujours le peintre à partir des pigments, le cuisinier à partir des ingrédients, le parfumeur à partir des fragrances, ont synthétisé le résultat à déguster avec nos sens, il a fallu attendre le XX^ème siècle et l'électronique pour être capable de faire de même dans le domaine sonore. Dès l'antiquité, les physiciens ont été confronté à un problème qu'on qualifierait aujourd'hui de reverse engineering: faire l'analyse du son pour en trouver les ingrédients et le dosage.
Nous savons faire aujourd'hui ce travail, et, magnifique retour sur investissement de la théorie de Fourier, les instruments de laboratoire qui démontent le signal acoustique pour nous révéler ses secrets ont pour fondement mathématique la transformation de Fourier (voir La Partie 3 de notre promenade), et pour implémentation informatique  l'algorithme de transformation rapide (voir également La Partie 3). Voici, pour vous allécher, un exemple, que nous expliquerons mathématiquement plus loin: si, dans le saxophone, toutes les harmoniques (toutes les multiples de la fréquence de la note émise, ici un La 880Hz) sont présentes, pour la clarinette en revanche, les multiples pairs sont absents, ou négligeables! Deux tuyaux sensiblement de même longueur (si on considère le sax soprano) , le même type de bec et d'anche... à vous d'observer la (les?) différence(s), et rendez-vous en bas de page...

Instruments et solistes	Signal sonore (fonction du temps)	Fréquences présentes

Trouver l'Harmonie: Plus Compliqué qu'on ne Croirait...

Comment est-on arrivé là? L'histoire remonte -au moins!- à Pythagore. On a fait une légende de sa découverte dans l'échoppe d'un forgeron: les marteaux de Pythagore, comme il y a la baignoire d'Archimède et la pomme de Newton. Mais dans toute légende scientifique, il y a un fond de vérité, de sens de l'observation, et de curiosité essentielle pour pousser l'investigation en profondeur. Alors, tant qu'à se servir une légende romancée... n'ayons pas peur de la lire dans un roman!

Quand on y réfléchit bien, tout est arrivé à cause de Lucille, ou tout au moins... d'une de ses sœurs un peu plus âgée. Vous ne connaissez pas Lucille? On vous la présente!
permet d'obtenir la solution de l'équation sous la forme

Analyser et Synthétiser le Son

Gibson ou Fender?

Histoire de ne pas quitter trop vite les cordes vibrantes, posons une question de plus (avec nouveau risque de bagarres, chaque camp ayant ses inconditionnels...)

Le son sec, incisif, plus rock de la Solid Body -la caisse est réduite à une planche pleine- a peu de choses en commun -la note fondamentale, tout de même...- avec celui plus riche, chaud, naturellement jazzy de la Gibson à la profonde caisse de résonance ; or les deux se jouent avec une amplification. Où se cache la différence? Dans la présence ou l'absence d'une caisse de résonance, ce qui modifie le dosage des harmoniques, évidemment: on pourrait le voir sur des spectrogrammes comme ceux de la clarinette et du sax soprano. Plus subtil encore, si vous revenez à B.B. King, vous noterez que sa Gibson est une "demi-caisse", d'épaisseur moitié par rapport à celle qu'emploie Kenny Burrell: on peut parier pour les mêmes harmoniques, en gros, mais avec un dosage légèrement différent.
 

Pionniers de l'Analyse Harmonique du Son

N'hésitez pas à réaliser vous même, grâce à ce site, vos propres courbes de Lissajous correspondant aux intervalles musicaux évoqués plus haut (les rapports de fréquence vous sont rappelés dans la page pour plus de commodité).
Lissajous n'était toutefois que... le deuxième à découvrir "ses" courbes; un dispositif purement mécanique avait été inventé en 1815 par un "sorcier de Salem", l'américain Bowditch (1773-1838), encore afin de comparer deux fréquences, mais celles de deux pendules. Significativement, son appareil fut dénommé harmonographe!


Helmholtz écrit en 1863 une Théorie Physiologique de la Musique, traduite en Français dès 1868. L'ouvrage est remarquablement pédagogique, s'efforçant de présenter les questions abordées sous une forme lisible par tous, tout en ne concédant rien à la rigueur scientifique, cherchant à expliquer et non asséner ex cathedra: bref, l'anti Théorie de la Musique à la sauce Danhauser (conçue en 1872); les explications mathéatiques se trouvent repoussées dans des suppléments en fin d'ouvrage, dont le lecteur peut disposer à sa guise suivant son niveau d'études. Savourons, à titre d'exemple, sa présentation de la sinusoïde, courbe de base pour comprendre toute la physique vibratoire:

"[...] ce qu'il y a de mieux à faire, c'est de tendre le papier sur un cylindre, auquel un mouvement d'horlogerie imprime une rotation  uniforme. On humecte le papier, et on le fait passer sur une flamme de térébenthine, de manière à le couvrir de noir de fumée; on peut alors facilement y tracer des traits déliés avec une pointe d'acier fine, un peu arrondie. La figure [a] été exécutée par un diapason, sur le cylindre tournant du phonotaugraphe de MM. Scott et König.  " Helmholtz, Théorie Physiologique de la Musique (1863)

 

Il paie tribut à Lissajous quand il étudie les cordes frottées (ex: le violon), créant ce qu'il nomme "microscope à vibrations" grâce auquel il observe un petit grain placé sur la corde: une coordonée est donnée par la vibration d'un diaposon portant une loupe, l'autre par celle  de la corde.

"On n'a encore donné aucune théorie mécanique complète du mouvement des cordes ébranlées par l'archet, parce qu'on ignore la façon dont l'archet agit sur le mouvement. Je suis arrivé cependant, dans la limite du possible, en m'appuyant sur une méthode particulière dont le principe a été trouvé par un physicien français, M. Lissajous, à observer la forme de vibration d'un point isolé de'une corde de violon, et au moyen de cette forme qui est relativement très simple, à déterminer le mouvement de la corde entière et l'intensité des harmoniques." Helmholtz, Théorie Physiologique de la Musique (1863)

Stéphane Grappelli Nice-Cimiez, 17/07/1987, 23h

 
Et c'est plus loin Fourier à qui il rend hommage!

"La multiplicité des diverses formes de vibration qu'on peut obtenir ainsi en composant des vibrations pendulaires n'est pas seulement extraordinairement grande; elle dépasse toute limite assignable. C'est ce que le célèbre physicien français Fourier a prouvé dans une loi mathématique, que nous pouvons formuler de la manière suivante, en l'appliquant à notre sujet: toute forme quelconque de vibration, régulière et périodique, peut être considérée comme la somme de vibrations pendulaires, dont les durées sont une, deux, trois, quatre, etc... fois moins grandes que celle du mouvement donné. [...] Les amplitudes des vibrations simples composantes [...] peuvent être déterminées, ainsi que l'a montré Fourier, par des méthodes de calcul particulières qui ne comportent pas une exposition élémentaire. Il en résulte qu'un mouvement donné, régulier et périodique, ne peut être décomposé que d'une seule manière , en un certain nombre de vibrations pendulaires. [...] Il en résulte , par consééquent, que les considérations théoriques, par lesquelles les mathématiciens ont été amenés tout d'abord à ce mode de décomposition des vibrations composées, ont un fondement réel dans la nature des choses." Helmholtz, Théorie Physiologique de la Musique (1863)

"Ces vibrations composantes du mouvement de l'air, se manifestent donc comme exerçant une action dans le monde extérieur, indépendamment de l'oreille et de la théorie mathématique.Il en résulte , par conséquent, que les considérations théoriques, par lesquelles les mathématiciens ont été amenés tout d'abord à ce mode de décomposition des vibrations composées, ont un fondement réel dans la nature des choses." Helmholtz, Théorie Physiologique de la Musique (1863)

Voilà de quoi être en...harmonie avec le vibrant plaidoyer par lequel Fourier introduit son ouvrage:

"L'étude approfondie de la nature est est la source la plus féconde des  découvertes mathématiques. Non seulement cette étude, en offrant aux recherches un but déterminé, a l'avantage d'exclure les questions vagues et les calculs sans issue; elle est encore un moyen assuré de former l'analyse elle-même, et d'en découvrir les éléments qu'il nous importe le plus de connaître, et que cette science doit toujours conserver: ces éléments fondamentaux sont ceux qui se reproduisent dans tous les effets naturels." Fourier, Discours Préliminaire à la Théorie Analytique de la Chaleur (1822)

Les Débuts de la Synthèse

Koenig est probablement le premier à avoir réalisé à la fois des instruments mécaniques d'analyse et de synthèse harmonique. Helmholtz a décrit au début de son livre des sirènes, dont le son est produit par un disque perforé tournant dans un flux d'air soufflé. Le modèle réalisé par Koenig sculpte le son grâce à son bord... qui est le graphe d'un polynôme trigonométrique, enroulé sur le bord du disque -périodicité garantie. Sans doute n'y a-t-il que 3 termes... mais qui peut dire mieux, en matière d'antériorité?


Aujourd'hui, synthétiser se fait avec un... synthétiseur. Mais avant?
D'abord, l'instrument acoustique poussant le plus loin le principe de synthèse harmonique est l'orgue. Il suscite l'intérêt théorique de ... Mersenne et Bernoulli, comme par hasard. Et, ô surprise, voyez qui, en 1865,  est responsable du rapport sur la rénovation de l'orgue de Saint Sulpice, à Paris!


Néanmoins, s'il réalise, par sa mécanique de tirettes, l'utilisation simultanée de plusieurs tuyaux, il faut bien remarquer qu'il s'agit d'une synthèse de sons dont chacun est déjà composé: aucun tuyau n'émet un son pur, sinusoïdal.
Or, un synthétiseur de sons sinusoïdaux a bel et bien existé, avant l'époque des circuits intégrés, dès le temps héroïque des amplis à lampes: c'est l'orgue Hammond, conçu en 1934,  dont le modèle phare B3, a fait les belles heures des églises baptistes et des petits combos jazz des années 1950-60. Avec son pivot central "The Incredible" Jimmy Smith: tendez une petite oreille (et un petit oeil) à Organ Grinder's Swing avec Kenny Burrell à la guitare, pour vous remettre en mémoire les cordes vibrantes à la Gibson,  ou le non moins emblématique Midnight Special. Avant, il y a Milt Buckner et Wild Bill Davis, après, en digne fils spirituel, le jeune et bouillant Joey de Francesco (un excellent concert en compagnie de David Sanborn au sax alto)...

Jimmy Smith... Nice, jardins de Cimiez, 16 Juillet 1993, 23h	... et son B3, ventre ouvert pour aérer les tubes! (c'est chaud, Nice, l'été... ) Nice, jardins de Cimiez, 15 Juillet 1983, 18h

L'idée géniale est de construire tous les sons à partir d'une sinusoïde pure par excellence: celle du courant secteur (60Hz aux USA). Au dessus de chaque touche, des tirettes (bien visibles sur le Midnight Special recommandé, et encore mieux avec Joey de Francesco -le clavier est souvent filmé en gros plan) permettent d'ajouter à chaque son des harmoniques choisies, chacune avec 8 possibiltés de niveau différentes! C'est donc la mise en œuvre exacte de la synthèse de Fourier, l'instrument qui est le plus proche de sa théorie! Après quoi, vous n'oserez plus jamais prétendre que Fourier, ça ne swingue pas...

Analyse et Synthèse: d'autres Machines Extraordinaires! L'ampleur des calculs nécessités par l'évaluation des coefficients de Fourier, ainsi que leur caractère fastidieux, ont fortement motivé la recherche d'une automatisation -dans un premier temps, une mécanisation- de ces calculs. Un premier et magnifique exemple est celui des calculateurs de marées de Lord Kelvin: vous pouvez vous y rendre sans plus attendre puisqu'il s'agit seulement de manipuler des polynômes trigonométriques et non des séries; une machine effectue l'analyse, une autre la synthèse. Un second, tout aussi fascinant, est une machine construite en 1897 par Albert Michelson (le célèbre physicien de l'expérience éponyme, démontrant l'invariance de la vitesse de la lumière): elle peut effectuer à elle-seule l'analyse et et la synthèse!  Son fonctionnement est présenté en détails dans cette excellente préesntation vidéo de Bill Hammack: Cette première machine peut sommer 20 termes, ou calculer 20 coefficients de Fourier; mais fort de son succès, Michelson put obtenir les financements pour en construire une à 80 termes dès l'année suivante. Machine avec laquelle, grâce aux graphes tracés, il a peut-être pris conscience de ce que l'on appelle le phénomène de Gibbs..En tout cas, il a suscité l'intervention et la clarification donnée par Gibbs. Il n'était que... le second, mais l'article premier, publié en en 1848 par Henry Wilbraham, était passé inaperçu en dépit de sa clarté.

 

"Ce n'est pas de la Musique, c'est du Bruit !!! "

Que de fois cet anathème n'aura-t-il pas été lancé! Beethoven, Berlioz, Stravinski ou Varèse en savent quelque chose, leur seule faute étant d'avoir écrit de la musique contemporaine (étonnant, non?) et même pire: en avance sur leur temps.
Mais disposons nous d'un critère objectif et scientifique pour distinguer les deux? Déjà, Helmholtz tente de répondre, toutefois assez lucide pour affirmer le caractère flou et subjectif de la frontière:

"La première et la plus importante différence entre les impressions auditives, est celle qui existe entre les bruits et les sons musicaux. Le bourdonnement, le gémissement, le sifflement du vent, le murmure de l'eau, le roulement d'une voiture sur le pavé, sont des exemples de la première espèce de sensation auditive, les sons de tous les instruments de musique donnent l'exemple de la seconde espèce. Le son et le bruit peuvent, il est vrai, s'associer dans des rapports très variables, et se confondre dans la transition de l'un à l'autre, mais les extrêmes sont très nettement séparées. [...] Une sensation musicale apparait à l'oreille comme un son parfaitement calme, uniforme et invariable. [...] Il lui correspond, par conséquent, une sensation simple d'une nature régulière, tandis que, dans un bruit, de nombreuses sensations auditives sont irrégulièrement mélangées, et se heurtent l'une à l'autre. On peut effectivement composer un bruit avec des sons, par exemple, en frapppant à la fois les touches d'un piano comprises dnas l'étendue d'une ou deux octaves. D'après cela, il est évident que les sons musicaux constituent les éléments simples et réguliers des sensations auditives. " Helmholtz, Théorie Physiologique de la Musique (1863)

 
Et à une extrême, justement, il y a le bruit blanc, souvent utilisé par les acousticiens pour faire des mesures pratiques, qu'il s'agisse de qualité des salles de concert ou d'isolation phonique des logements. Il s'agit d'une émission sonore où toutes les fréquences sont présentes, (presque) au même niveau. Le ressenti à l'oreille est un bruit totalement neutre (alors que le bruit de la mer, ou celui d'une salle de concert pendant que le public s'installe, fournissent à l'oreille assez d'éléments pour les distinguer, et les identifier: il y a mélange, excès de fréquences entendues, certes, mais les inégalités de leurs amplitudes permettent de les typer).
Pourquoi blanc, au fait? Par analogie avec la décomposition de la lumière blanche, réussie par Newton à l'aide d'un prisme: tout le spectre des longueurs d'onde audible est présent dans l'un comme tout le spectre des radiations visibles dans l'autre! C'est d'ailleurs Newton qui emploie le premier ce mot dans une lettre à Oldenburg (19/02/1672) et l'officialise dans son Optique (1704)
 
Sur la vie du mot spectre en physique, puis en mathématiques, on pourra consulter cet article de J. Mawhin; autre agréable introduction (où l'on reparle de cordes vibrantes...), celui de San Vu Ngoc sur le site Images des Mathématiques (CNRS). Si, en mathématiques, le spectre désigne aujourd'hui l'ensemble des valeurs propres, il le doit justement aux modes propres de vibration!

La Musique des Spectres

Un courant de musique du XXème siècle, né vers 1970, a fait de l'étude fine du son par son spectre un principe de base pour la composition; et de l'analyse par ordinateur un outil fondamental. Le son comme matériau avait déjà suscité l'intérêt de deux grands maîtres de cette époque, Olivier Messiaen, et, plus encore, Edgard Varèse, le premier à mêler électronique et instruments habituels dans sa scandaleuse (à l'époque) et célébrissime (aujourd'hui) partition, Déserts (1954). Mais c'était encore trop tôt pour tirer parti de l'ordinateur. La génération suivante arrive au bon moment: en janvier 1973, les compositeurs Tristan Murail, Michaël Lévinas et Roger Tessier, qui viennent de se rencontrer à la Villa Médicis, fondent un ensemble, L'Itinéraire, dédié à la création contemporaine. Ils sont rapidement rejoints par Hugues Dufourt et Gérard Grisey. Un courant, qui est aussi une alternative au sérialisme en vogue, voit le jour: celui de la musique spectrale, expression forgée par Hugues Dufourt. Sollicité par l'auteur de ces lignes pour apporter son soutien à l'érection d'une nouvelle statue de Fourier à Auxerre, Hugues Dufourt lui a fait la surprise d'offrir, pour les 250 ans de Fourier, un texte ample et original sur ce qui le lie à Fourier: vous pouvez le télécharger ici.

Remarque: quand la Physique permet d'éviter (temporairement) les douloureux problèmes de Mathématiques:

Notre oreille est limitée: nous ne percevons les fréquences qu'entre 20Hz et 20000Hz. Il en résulte que pour elle, toute série (somme infinie d'harmoniques) se réduit physiologiquement à une somme finie. Alors, tous les problèmes mathématiquement ardus: la série converge-t-elle? (soit: peut on donner un sens raisonnable à une somme infinie?) peut-on la dériver terme à terme comme une brave et honnête somme finie, ce qui est utile à la vérification de l'équation? (hélas, la réponse est non, quoiqu'il ait fallu du temps pour s'en apercevoir) se trouvent évacués "en pratique". Revers de la médaille, la forme initiale de la corde, par exemple, ne sera pas forcément représentable par une somme finie... mais représentable avec un certain degré d'approximation, très certainement: les lecteurs qui le connaissent savent que le théorème d'approximation trigonométrique de Weirstrass peut voler à notre secours.   Cette remarque peut vous aider (si vos connaissances mathématiques n'ent sont pas encore là...) à faire temporairement comme si ces difficultés n'existaient pas, en lisant la théorie de Fourier. Ne soyez pas dupe, il faudra y revenir... un peu plus tard, mais ce n'est pas une raison pour se priver du plaisir de parcourir cet ouvrage exceptionnel.

Fourier et les Ondes:  la Musique ne s'arrête pas là!

Au terme de cette introduction, vous devez pouvoir (l'auteur l'espère) aborder plus facilement notre lecture commentée de la Théorie Analytique de la Chaleur. À moins que vous ne préfériez poursuivre en musique! Mais comme il y aura un peu plus d'équations, nous y avons consacré une page distincte. N'ayez pas peur pour autant, ce sera avec modération! Et vous n'allez quand même pas passer à côté de liens vers d'excellents concerts... allez, un petit sommaire pour vous allécher: