Nous poursuivons l'exploration du vaste monde des applications de la transformation de Fourier; dans cette page, on a regroupé tout ce qui touche à l'optique --en un sens assez large, comme on le verra!

Des cristaux aux quasi-cristaux

Émise par Haüy  en l'an 1781, l'idée qu'ils sont un empilement d'atomes n'est toujours, au début du XX^ème siècle, que l'hypothèse la plus probable! D'autant que de nombreux savants en France sont ce qu'on appelerait probablement aujourd'hui des "atomo-sceptiques", dont le très influent Marcelin Berthelot; il faut en revanche saluer ici la clairvoyance d'un Jean Perrin, atomiste convaincu. Pour en revenir à Haüy, il fut le professeur de Fourier; ni l'un, ni l'autre ne pouvaient deviner que bien des années plus tard, leurs noms seraient associés dans l'histoire de la discipline!

Haüy, Museum d'Histoire Naturelle, Paris (Wikipedia)

"Haüy , ci-devant abbé, est d'une simplicité et d'une modestie fort extraordinaires; il n'est pas vieux, son costume est encore à peu près celui d'un homme d'église; il a en outre refusé de prêter le serment. Il a la voix très nette, se fait parfaitement entendre et parle avec beaucoup d'élégance et de facilité. Il est impossible de s'exprimer en meilleurs termes. [...] Il est tellement timide que si quelqu'un prend la parole pour lui demander un éclaircissement, il se brouille et et répond mal ou ne répond point du tout. Ce n'est pas qu'il ne soit fort instruit, et s'il ne brille pas comme [Lagrange et Laplace]par le génie, il a du moins tout l'éclat de la méthode et l'appareil de la démonstration la plus élégante." Fourier, Note sur ses professeurs à l'École Normale

Ce qu'il faudrait  pour donner des preuves, c'est pouvoir faire des mesures de distance éclairantant leur disposition. Deux outils... (et des gens pour les mettre à profit) vont intervenir.

Prélude: outillage physique

La diffraction de la lumière est connue depuis Fresnel : elle résulte de la nature ondulatoire de la lumière (lire une analyse de son mémoire sur BibNum). Lorsque celle-ci traverse une grille fine, l'optique géométrique prédirait une simple ombre portée de la grille, les rayons poursuivant leur route en ligne droite. Mais si la grille est très fine (du même ordre de taille que la longueur d'onde du rayon), les lois de l'optique géométrique cessent de s'appliquer et chaque trou se comporte comme s'il était une nouvelle source luimneuse: la source unique est, en quelque sorte, fractionnée en une multitudes de sources, d'où le nom. C'est le principe de base pour les interférences lumineuses, qui vont être utilisées ià plusieurs reprises dans cette page.

Mais... il y a un mais: le phénomène ne peut se produire que si la longueur d'onde de la lumière est inférieure au pas de la grille. Dans l'exploration d'un cristal, c'est le réseau d'atomes qui constitue la grille, et  les distance interatomiques (évaluées à l'estime, mais assez correctes) sont inférieures à toutes les longueurs d'onde alors connues dans le spectre.

exemple de diffraction dune source lumineuse par une grille: démonstration par Sylvain Ravy lors d'une conférence	première radiographie: la main de madame Röntgen et sa bague

Les Rayons X ont été déccouvert en 1895 par Wilhelm Röntgen (incidemment, savez vous que son cousin Julius était un compositeur de talent, dont la musique vous pénétrait jusqu'à la moëlle des os, disait Grieg?). Ils lui ont valu le prix Nobel 1901; leur longueur d'onde les rend susceptibles d'être diffractés par le réseau cristallin... il n'y a plus qu'à monter l'expérience. Max Von Laue a des idées pour cela, et des complices: ...Friedrich, assistant de Sommerfeldt, et Knipping, doctotrant de Röntgen.  Sauf que le patron du laboratoire -Sommerfeldt, justement!- ne veut pas, et qu'ils devront attendre une de ses absences pour tenter et réussir l'expérience, en avril 1912. Il s'agit d'observer sur un écran les interférences des rayons X diffractés par un cristal. L'interprétation de Von Laue est erronnée (fluorescence), mais l'avancée lui vaudra le Nobel 1914.

Fourier entre en scène

L'interprétation correcte viendra de William H. Bragg (1862-1942) et William L. Bragg (1890-1971), son fils. Ce dernier énonce la loi éponyme; elle est basée sur un mini-calcul géométrique de la différence de chemin entre deux rayons réfléchis par des atomes situés dans des plans différents distants de d : leur interférence sera constructive si la différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde (en ce cas, la lumière est maximale par somme des amplitudes); les parties noires correspondant à des ondes en opposition de phase: rien de nouveau depuis Fresnel!


Ensuite, il a le génie d'inverser la recherche de Laue: celui-ci voulait aller des cristaux vers les figures de diffraction, Bragg comprend qu'il doit pouvoir remonter des figures de diffraction aux cristaux, c'est à dire exploiter les premières pour comprendre la structure interne des seconds.

C'est, en revanche, son père qui le premier (1915), relie ce travail à l'analyse de Fourier:

la première page de la Bakerian Lecture de Bragg, et le passage crucial

Du Sel de Cuisine à l'ADN

Dès 1913, les Bragg élucident plusieurs sructures: le sel ordinaire (NaCl), la blende (ZnS), le diamant... et encore un prix Nobel dans cette page! (1915, père et fils). Mais leur investigation atteint rapidement ses limites: ils trouvent parce qu'ils ont une idée approximative de ce qu'ils cherchent. Ainsi, la structure du diamant avait été conjecturée 30 ans auparavant par William Barlow (1845 - 1934), un géologue parvenu aux mêmes idées de classification que le chimiste Fédorov, dans son article Probable Nature of the Internal Symmetry of Crystals. (Nature 1883, n°29).

Le cas de la découverte de l'ADN est lui aussi intéressant: en 1952, Francis Crick avait montré que la transformée de Fourier d'une hélice est une croix en pointillés. Et c'est exactement ce que Rosalind Franklin fut la première à observer en 1953, sur les clichés qu'elle réalisa. James Watson et Francis Crick, qui reçurent le prix Nobel en 1962, la remercièrent de leur avoir fourni ces précieuses images, encore non publiées... ce qui était bien le moins qu'ils pouvaient faire, Crick les lui ayant carrément dérobés à son insu, pour les montrer à un Watson qui se plaignait de n'avoir pu soutirer la moindre information à la chercheuse! Une injustice qui transforma la "Dame du côté obscur de l'ADN" en icône de l'oppression des femmes. "Dès que je vis cette image, je restais bouche béue et mon pouls s'accéléra [...] La croix noire des réflexions qui dominait l'image ne pouvait provenir que d'une structure hélicoïdale." J. Watson ci-contre, un cliché originale de R. Franklin

Un petit peu de technique: pourquoi une croix de Saint-André? L'encadré ci-contre, tiré de l' article  De la simple hélice aux nanostructures tubulaires (dans la revue de la SFP, Reflets de la physique, n°44-45), vous l'explique dans les grandes lignes. Il est bon de savoir au préalable ce qu'est la "fonction" ð de Dirac, et que la transformation de Fourier échange ð et 1; nous vous l'avons présentée dans la page Naissance de la Transformée de Fourier. (Cadre à agrandir en cliquant!)

La cristallographie avait ainsi offert sa plus puissante technique aux chimistes et biochimistes. Pour la découverte de la structure du ribosome en 2000 (prix Nobel 2009), les bandes de papier étaient remisées depuis longtemps, et les ordinateurs tournaient à plein régime!

C'est parce que les figures de diffraction réalisent naturellement une transformation de Fourier que la structure elle-même devient accessible par transformée de Fourier inverse. On peut, dans certains cas, se "contenter" de la transformation directe naturelle pour apprendre des choses étonnantes, voire déroutantes: c'est le cas de la découverte des quasi-cristaux (1982) par Dan Shechtman (prix Nobel 2011). De façon générale, la figure de diffraction hérite des propriétés de symétrie du cristal de base; la surprise fut d'y découvrir des symétries pentagonales et décagonales dont l'impossibilité était bien démontrée dans les réseaux cristallins.

Les Débuts de l'Optique de Fourier

l'édition Masson 1970...	... et son auteur	C'est un livre publié à compte d'auteur en 1946 qui marque le début de ce que l'on appellera bientôt Optique de Fourier.Il est difficile d'être moins explicite que son titre! L'auteur, Pierre Michel Duffieux  (1891 – 1976), normalien (1912), en avait exposé les idées dès 1941, mais s'était heurté à une incompréhension totale de l'auditoire: "En 1941, A. Cotton me pria d’exposer ces résultats dans une réunion de la Société de Physique, Place St-Germain des Prés. Personne ne me demanda d’explication, personne ne me discuta. On me laissait tomber. Mais après la séance, devant des demis, à la brasserie qui est en face des Deux Magots, Fleury et Darmois qui connaissaient les pensées générales m’expliquèrent. Le silence était dû au fait que personne n’avait rien compris; les opticiens n’avaient qu’une vague idée de Fourier et de ses mathématiques; on ne les enseignait pas en certificat de licence. [...] Cotton m’avait dit, en me donnant son opinion sur le manuscrit : en France vous mettrez dix ans pour réussir... à condition que vous reveniez d’Angleterre." P.M. Duffieux, op. cit.
Tandis qu'il menait une carrière "ordinaire" de professeur à l'université à Besançon -qui a depuis donné son nom à un laboratoire d'optique- Max Born et Emil Wolf attirèrent l'attention sur cet ouvrage dans leur célèbre Principles of Optics (1959). Ce qui lui permit d'être enfin édité en France (Masson, 1970), puis traduit en Anglais (1983).

Duffieux étudiait les interférences lumineuses, un domaine actif depuis le travail inaugural de Fresnel. Le principe repose,comme dans le cas des rayons X évoqué ci-dessus, sur une différence de marche entre les rayons (la contrainte d'emploi des rayons X en cristallographie ne venait que de la taille des distances interatomiques). Le patron de Duffieux, Fabry, avait construit et exploité un interféromètre dans la théorie duquel on trouve la formule mentionnée dans l'extrait ci-dessous:

"Mais en 1934 Fabry m’avait dit : "Ostwald utilise la formule de Van Cittert pour les corrections des défauts de planéité de ses lames d’interféromètre. Je l’ai essayée jadis, elle ne vaut rien". Elle consistait à remplacer le cosinus de la formule des franges: par l’approximation classique cos x = 1 - x²/2 . La période des franges s’étend de -π à +π, le maximum, "la frange" , est centré sur x = 0 et la formule ainsi corrigée est utilisable sur 30° ou 40° autour du maximum. «Cherchez quelque chose qui fasse intervenir toute la période », ajouta Fabry. Je lui garde, pour cette remarque,une reconnaissance et une estime que rien de ce qui nous a séparés depuis n’a pu éteindre." P.M. Duffieux, op. cit.

"Au milieu de novembre [...], j’ai envoyé une note avec deux équations l’une en sinus, l’autre en cosinus, donnant : la première la condition de parallélisme optimum, l’autre la position des plans parfaits que l’on pouvait substituer aux surfaces réelles, avec toutes les corrections accessoires désirables. Le surlendemain matin, Fabry me téléphona à Rennes : «Qu’est-ce que c’est que ces équations ? où les avez-vous trouvées ? Je ne les comprends pas et aucun des opticiens que je connais n’en voudra. Trouvez autre chose, mais ça non ; ça ne passera jamais à la Revue d’Optique» .

J’allais dans mon amphithéâtre vide, qui avait un long tableau noir et 36 places assises pour 70 [étudiants]; les autres s’asseyaient, les jambes pendantes, sur la galerie haute qui courrait sur trois côtés et servait au garçon à ouvrir et fermer mes six fenêtres. J’écrivis mes deux équations sur le tableau, je m’assis en face et je les regardai. Dieudonné vint me voir pour raisons de service. «Qu’est-ce que vous faites de ces équations ? - Je m’en suis servi pour étudier les aberrations des franges du Michelson et Fabry me demande où je les ai trouvées et qu’est-ce que c’est. - Mais ce sont les équations de la transformation de Fourier, série, et réduites au premier terme !». C’était vrai, et à travers 15 ans d’abandon je revis le cours de Cousin de 1918. Je pardonne à Dieudonné son mépris pour Euclide et son cri de guerre nicéen : «Mort au triangle!» ." P.M. Duffieux, op. cit.

Précision (anecdotique), Duffieux a un peu emmêlé les citations: c'est "à bas Euclide!" qu'avait lancé l'enfant terrible de Bourbaki, et la formule, prônant une nécessaire révolution de l'enseignement, avait fait florès (pas toujours bien comprise, hors de son contexte), jusqu'à Léo Ferré la transformant en "il faut mettre Euclide dans une poubelle!". Dieudonné s'en était pris, et avec raison, à l'excès d'exercices stériles qui ne regardaient que le nombril d'un triangle, marque d'un passéisme à enterrer.

"Je m’étais remis à Fourier. [...] Un matin où j’étais très libre, je reçus un ingénieur de l’Institut d’Optique qui représentait la maison Mader-Ott. Il me montra des appareils de mathématiques et les catalogues de la maison Mader. Je lui pris tout de suite un très beau planimètre d’Amsler. Il me proposa un dispositif nouveau qui en faisait un analyseur harmonique, plus lent que le Corradi, mais beaucoup moins cher et en réalité plus rapide quand on ne demandait que les premiers harmoniques. Tandis qu’il montait les deux appareils, je feuilletais la notice qu’il m’avait ouverte et j’eus tout de suite une révélation hallucinante. Il y avait sur le catalogue la série type de Fourier : Mais je lui substituais la série bien connue que je venais d’enseigner à mes élèves de licence et que je regardais depuis 2 mois :

Ce mélange des deux séries ne me troubla pas et je me dis : "Si tu multiplies tous les rn par les an , tu pourras représenter par cette série toutes les déformations de franges que tu voudras; la relation entre F(x) et I (x) est une question de mathématiques pures" . J’achetais immédiatement l’analyseur avec toutes ses roues dentées  [...] et le représentant de Mader-Ott (Bavière), qui rentrait à Paris eut l’obligeance de me laisser l’analyseur tout monté sur la table.  Quant au catalogue décisif de 1935, je l’ai demandé récemment à M. Bulabois qui a eu longtemps la conduite des travaux pratiques. Il l’avait mis de côté, en ayant fait venir d’autres. Comme je regardais la page de couverture assez sale, mais pas trop, il me dit : «Il a beaucoup servi». C’est ce que je désirais." P.M. Duffieux, op. cit.

Tout ce que vous voulez savoir sur les étoiles... sans y avoir jamais mis le pied!

L'idée que l'on puisse acquérir des données de tempérarure, de composition chimique, de vitesse d'objets extrémement éloignés par la seule étude de spectres vous semble bien peu intuitive? Mais c'est une réaction très saine! Cela n'a rien d'intuitif, mais qu'on puisse y arriver fait partie, non des mystères, mais des beautés de la science. Si vous êtes pressé d'avoir une première idée, ou si vous voulez ensuite retrouver un point de référence, consultez cette page du site Culture Sciences Physique (site de vulgarisation de l'ENS Lyon).

Prélude Chimique: faire parler un Spectre...

Quelle lumière émet un corps chauffé, quelle lumière absorbe-t-il? C'est en 1859 pour Bunsen et Kirchoff un nouvel angle d'attaque plein de promesses pour l'analyse chimique; ils construisent à cette effet le premier spectroscope. Une lunette pour éclairer, une pour observer, et entre un prisme pour disperser la lumière, pas encore de transformée de Fourier à l'intérieur, visiblement! Vous trouverez leur article et un commentaire de lecture sur BibNum. La figure ci-contre montre clairement, à partir de la dispersion classique de la lumière blanche par le prieme (Newton), les raies d'émission d'un corps chauffé, et les raies noires d'absorbtion du corps froid: ce sont les mêmes, et donc la réunion des deux spectres  est le spectre complet de la lumière blanche. Ils proposent ainsi une interprétation des raies noires de Fraunhofer dans la lumière solaire, ouvrant par là même une voie royale de l'astrophysique:	cliquez pour agrandir! (source: Wikipedia)
"Si [...] l'analyse par le spectre nous forunit un moyen d'une grande simplicité pour reconnaître les plus petites traces des éléments disséminés dans les corps terrestres, elle ouvre, d'un autre côté, aux investigations de la chimie, un champ jusqu'à présent inexploré, et dont les limites s'étendent même au delà de notre système solaire. [...] On peut conclure de ce fait que le spectre solaire avec ses raies obscures n’est autre que le spectre renversé de l’atmosphère du soleil. Par conséquent, pour analyser l’atmosphère solaire il suffit de rechercher quels sont les corps qui, introduits dans une flamme, donnent des raies brillantes coïncidant avec les raies obscures du spectre solaire" Bunsen et Kirchhoff

Fourier fait son entrée... naturellement!

Dans les cas précédents, les physiciens étaient aller chercher un outil qu'ils connaissaient par ailleurs -la série de Fourier- comme on va en chercher une pince ou un tournevis dans son atelier: "si j'essaye avec celui-là, ça ira peut-être mieux...". Ici, changement de registre: non seulement c'est l'intégrale de Fourier qui intervient, mais c'est la mise en équation du problème qui la fait apparaître.

Tout commence avec un célèbre appareil, l'interféromètre de Michelson, que l'on trouve décrit un peu partout (voir par exemple cette animation): un rayon est divisé en deux de façon à pouvoir interférer avec lui-même. La différence de marche, source une fois de plus des interférences, est réglée par le déplacement d'un des miroris réfléchissant (M2, sur ce schéma emprunté à l'article de Wikipedia); elle produit des franges claires et sombres, voire colorées si la source n'est pas monochromatique, ce qui va nous intéresser. Tous les spectromètres à transformation de Fourier, des modèles héroïques des premiers temps aux appareils les plus récents embarqués pour des missions d'exploration spatiale, incorporent ce dispositif.

En notant x la différence de marche (ce qui revient à prendre pour  le déplacement du miroir d=x/2), un faisceau monochromatique incident de longueur d'onde λ , d'intensité lumineuse I produit pour l'observateur une intensité de sortie σ , l'inverse de la longueur d'onde λ,  est le nombre d'oscillations de l'onde par unité de longueur, on l'appelle nombre d'onde ou fréquence spatiale. Une source polychromatique est caractérisée par sa distribution spectrale S(σ), qui donne sa densité d'énergie selon la fréquence; et c'est celle-ci qui intéresse les astrophysiciens, parce qu'elle va les renseigner sur la composition chimique des atmosphères des étoiles et planètes: c'est là qu'on rejoint notre prélude chimique!  Chaque "bande infinitésimale" de fréquence spatiale contribue pour S(σ) cos (2πσx) dσ, et l'on ontient l'intensité de sortie par une sommation, laquelle est réalisée par une intégrale puisque σ varie de façon continue: ou encore, en introduisant la partie paire de S:

Transformée cosinus, ou transformée usuelle de la partie paire, ce n'est qu'un détail... la fonction S recherchée s'obtiendra par transformée de Fourier inverse.

... ou dans l'Espace!

Dans un Synchrotron!

Dans le projet SOLEIL (CEA/CNRS, 2006; site web ici), ce sont, à leur tour, les ultra-violets qui sont l'objet de l'attention des chercheurs. On aura donc, au gré de cette page, parcouru tout le... spectre, sauf le rayonnement gamma! Il s'agit d'explorer l'infiniment petit, cette fois: la structure électronique des atomes et des molécules. Par exemple, les spectres des diverses molécules de monoxyde de carbone, selon les isotopes, ont pu être bien mieux précisés. Voir ce document, dont nous avons extrait les vignettes d'un spectre obtenu, et du spectromètre à transformée de Fourier.